2019-2020学年辽宁省锦州市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年辽宁省锦州市高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年辽宁省锦州市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设为虚数单位，复数，则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意首先由复数的运算法则求得z的值，然后求解其共轭复数的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，则，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．若直线与平行，则的值为（ ）‎ A．2 B．1或3 C．3 D．2或3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据直线平行得到，排除重合情况，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为直线与平行 所以，解得或 ‎ 当时，这两条直线重合，排除，故.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据直线平行求参数，忽略掉重合的情况是容易犯的错误.‎ ‎3．如图，在三棱柱中，为的中点，若，则下列向量与相等的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用空间向量加法和减法的运算，求得的表达式.‎ ‎【详解】‎ 由于是的中点，所以.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量加法和减法的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎4．十三届全国人大二次会议于年月日至日在北京召开，会议期间工作人员将其中的个代表团人员（含、两市代表团）安排至，，三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若、两市代表团必须安排在宾馆入住，则不同的安排种数为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】按入住宾馆的代表团的个数分类讨论.‎ ‎【详解】‎ 如果仅有、入住宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有安排种数，‎ 如果有、及其余一个代表团入住宾馆，则余下两个代表团分别入住，此时共有安排种数，‎ 综上，共有不同的安排种数为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误.‎ ‎5．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，‎ 与抛物线方程联立，消元整理得：，‎ 解得，又，‎ 所以，‎ 从而可以求得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.‎ ‎6．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ‎ ‎ ‎ 则，，，，‎ 则，，‎ 故可得，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题.‎ ‎7．已知点，若点P在圆上运动，则面积的最小值为（ ）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知条件推导出圆心，且圆的半径，的方程为 ‎，点 到的距离，，由此能求出面积的最小值.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程，得，‎ 圆的圆心，且圆的半径，‎ 由，可得，‎ 的方程为，即，‎ 点到的距离，‎ 与给定的圆相离，‎ 圆上到的距离的最小值，‎ 又，‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的标准方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及直线与圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎8．过椭圆的左焦点做轴的垂线交椭圆于点，为其右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】把代入椭圆方程求得的坐标，进而根据，推断出，整理得，解得即可．‎ ‎【详解】‎ 已知椭圆的方程，由题意得把代入椭圆方程，‎ 解得的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣），∵，∴，‎ 即．∴，∴＝或＝﹣（舍去）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的方程及其简单的几何性质，也考查了直角三角形的性质，属于基础题．‎ ‎9．直线与抛物线和圆从左到右的交点依次是A，B，C，D，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知圆的方程，抛物线的焦点为，直线 过点，则，因为，有 ‎，求出，再根据，计算求出结果即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知圆的方程，抛物线的焦点为（也是圆的圆心），‎ 直线过点，则，‎ 因为，解得，‎ 设，‎ 则， ‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎10．已知双曲线C的焦点为，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，则C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设则，，由双曲线的定义可得，，在和中，利用余弦定理求出，进而求出双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 如图，设则，，‎ 由双曲线的定义可得， ‎ 在和中，由余弦定理得 ‎ 又互补，，‎ 两式消去，可得，‎ 所以，，‎ 所以双曲线的标准方程可得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标准方程及其简单性质，考查了数形结合思想，转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.‎ ‎11．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将本题转化为直线与半圆的交点问题，数形结合，求出的取值范围 ‎【详解】‎ 将曲线的方程化简为 ‎ 即表示以 为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：‎ 由圆心到直线 的距离等于半径2，可得： ‎ 解得 或 结合图象可得 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了转化能力，在解题时运用点到直线的距离公式来计算，数形结合求出结果，本题属于中档题 ‎12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于D、E两点，，且轴.若点P是圆上的一个动点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设，‎ 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，，‎ 将代入椭圆方程得，‎ 所以，，‎ 设，‎ 则，‎ 所以的取值范围是.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量且与互相垂直，则k的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由向量，‎ 则，，‎ 因为与互相垂直，‎ 所以，即，‎ 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量的坐标运算以及空间的向量积，属于基础题.‎ ‎14．设，若是纯虚数，则________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】利用复数的概念即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解方程可得.‎ 故答案为：-2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的概念，需理解纯虚数的定义，属于基础题.‎ ‎15．由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 圆心坐标，半径 ‎ 要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小，‎ 此时最小值为圆心到直线的距离，‎ 此时，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.‎ ‎16．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】先由双曲线渐近线求出，记双曲线的右焦点为，利用，得，再由两点之间线段最短求出的最小值，然后得出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由双曲线方程，得，所以渐近线方程为 比较方程，得 所以双曲线方程为，点 记双曲线的右焦点为，且点在双曲线右支上，所以 所以 由两点之间线段最短，得最小为 因为点在圆上运动 所以最小为点F到圆心的距离减去半径2‎ 所以 所以的最小值为7‎ 故答案为7.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，平面中线段和最小问题，利用双曲线定义进行线段转化是解本题的关键，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．求分别满足下列条件的直线l的方程.‎ ‎（1）已知点，l过点，P到l距离为1‎ ‎（2）l过点且在x轴，y轴上截距的绝对值相等 ‎【答案】(1) 或；(2) 或或 ‎【解析】（1）分类讨论l斜率存在不存在，当l斜率不存在时，直线；当l斜率存在时，利用点斜式以及点到直线的距离公式即可求解.‎ ‎（2）分类讨论当截距为，直线过原点；然后分截距相等或互为相反，利用截距式设出直线方程，将点代入直线方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解（1）当l斜率不存在时，满足条件 当l斜率存在时，设 即 由，‎ 得即 综上或 ‎（2）当直线过原点时为 当直线截距相等时，设为代入，‎ 则，即：‎ 当直线截距互为相反数时，‎ 设为代入，‎ 则，即：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点斜式、截距式方程，考查了分类讨论的思想，属于基础题.‎ ‎18．已知圆外有一点，过点作直线．‎ ‎(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．‎ ‎【答案】（1）或（2）．‎ ‎【解析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;‎ ‎(2)先求出直线方程，然后求得圆心与直线的距离,由弦长公式即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 解: (1)由题意可得,直线与圆相切 当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意 当斜率存在时，设直线的方程为,即 ‎∴,解得 ‎∴直线的方程为 ‎∴直线的方程为或 ‎(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为 圆心到直线的距离为 ‎∴弦长为 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.‎ ‎19．已知四棱锥的底面为直角梯形，，°，底面，且，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求与所成角的余弦值；‎ ‎（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用面面垂直的性质，证明CD⊥平面PAD．‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，写出向量与的坐标，然后由向量的夹角公式求得余弦值，从而得所成角的大小.‎ ‎（3）分别求出平面的法向量和面的一个法向量，然后求出两法向量的夹角即可．‎ 试题解析：证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为.‎ ‎（1）证明：因 由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.‎ ‎（2）因 ‎（3）平面的一个法向量设为，‎ ‎ ‎ 平面的一个法向量设为，‎ ‎ ‎ ‎ 所求二面角的余弦值为 ‎20．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是抛物线上异于的两点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点．‎ ‎【答案】（1）y2=4x； （2）直线AB过x轴上一定点（8，0）.‎ ‎【解析】（I）利用抛物线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；（Ⅱ）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以.‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：①当直线的斜率不存在时，设，，‎ 因为直线，的斜率之积为，所以，化简得.‎ 所以，，此时直线的方程为.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设其方程为，，，‎ 联立得化简得.‎ 根据根与系数的关系得，‎ 因为直线，的斜率之积为，‎ 所以，‎ 即.即，‎ 解得（舍去）或.‎ 所以，即，所以，‎ 即.‎ 综上所述，直线过轴上一定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用直线过定点问题，抛物线的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，设而不求整体代换方法的应用，分类讨论的思想，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理是常用手段，属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2，且过点和．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF2的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求△ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程．‎ ‎【答案】（1） （2）y=‎ ‎【解析】（1）将两点代入椭圆方程，求出a，b，然后求解椭圆的标准方程．‎ ‎（2）设AF2的方程为x=ty+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积结合基本不等式求解最值，然后求解BC的方程即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）将两点代入椭圆方程，有解得，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）因为A在x轴上方，可知AF2斜率不为0，故可以设AF2的方程为x=ty+1，，‎ 得，所以，‎ 设原点到直线AF2的距离为d，则，‎ 所以S△ABC=2S△OAB ‎=‎ ‎=‎ ‎=，△ABC面积的最大值为．‎ 在t=0时取到等号成立，此时AB的方程为：x=1，‎ 可得，A（1，），B（1，-），C（-1，），‎ 此时BC的方程为：y=，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ ‎22．已知动点M在椭圆上，过点M作y轴的垂线，垂足为N，点P满足.‎ ‎（1）求点P的轨迹方程E；‎ ‎（2）已知点，若直线与P点轨迹交于G，H两点，证明：论k取何值时，直线AG和AH的斜率之积均是定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析 ‎【解析】（1）设P点坐标,则有点M坐标为，利用相关点法即可求解.‎ ‎（2）设，可得，计算 然后将直线与椭圆方程联立，消去，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，代入斜率之积式子化简即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设P点坐标,则有点M坐标为，‎ 因为M在椭圆上，所以将点坐标代入椭圆，‎ 可得 所以点P的轨迹方程为 ‎（2）证明：设，‎ 于是，‎ 直线与圆联立，‎ 于是有 由此可得 代入中可得，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了动点的轨迹方程，直线与圆的位置关系中定值问题，考查了计算能力，属于中档题.‎