2020高考理科数学二轮分层特训卷：仿真模拟专练 （七）
专练(七)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·武汉市高中毕业生调研]已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|lg(x－1)≤0}，则A∩B＝( )
A．(0，2) B．(1，2)
C．(1，2] D．(0，2]
答案：B
解析：通解 因为A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0
sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.则下列命题为假命题的是( )
A．p∨q B．p∧q
C．q D．綈p
答案：B
解析：取x＝，y＝，则sin x>sin y，但x0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案：B
解析：由f(1)＝得a2＝.又a>0，所以a＝，因此f(x)＝|2x－4|.因为y＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B.
5．[2019·广东江门二中月考]已知正项数列{an}是公比为q的等比数列，若a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为( )
A．－ B．1
C．－或1 D.或1
答案：B
解析：由题意知2a3＝a1＋a2，则2a1q2＝a1＋a1q，因为a1≠0，所以2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.因为数列{an}是正项数列，所以q＝1.故选B.
6．[2019·东北师大附中模拟]连接正八边形的三个顶点而形成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有( )
A．40个 B．30个
C．20个 D．10个
答案：A
解析：分为两类：第一类，有一条公共边，三角形共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边，三角形共有8个．由分类加法计数原理知，与正八边形有公共边的三角形共有32＋8＝40(个)．故选A.
7．[2019·湖北荆、荆、襄、宜四地七校联考]斗拱是中国古代建筑中特有的一种结构，集承重与装饰作用于一体．在立柱顶、额枋和檐檩间或构架间，从枋上加的一层层探出成弓形的承重结构叫拱，拱与拱之间垫的方形木块叫斗，合称斗拱．如图是散斗的三视图，则它的体积为( )
A. B.
C．53 D.
答案：B
解析：由所给三视图可知该几何体下半部分是一个棱台，且该棱台上底面是边长为3的正方形，下底面是边长为4的正方形，高为1，上半部分为一个棱柱截去中间一个小棱柱所得的组合体．
散斗的下半部分的体积为V1＝×1×(3×3＋4×4＋)＝，
上半部分的体积为V2＝1.5×4×4－1×2×4＝16，
所以所求的体积为V＝＋16＝.故选B.
8．[2019·辽宁瓦房店三中月考]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则角B等于( )
A．60°或120° B．30°或150°
C．60° D．120°
答案：A
解析：解法一 由a＝1，b＝，A＝30°及正弦定理得sin B＝＝.
∵0a，∴B>A，∴B＝60°或120°，故选A.
9．[2019·福建龙岩质检]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(－2，0)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：A
解析：由已知得c＝2，＝，并结合a2＋b2＝c2，解得a＝，b＝1，故双曲线方程为－y2＝1，故选A.
10．[2019·南昌市重点高中高三年级第一次模拟]执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )
A．log26 B．log27
C．3 D．2log23
答案：C
解析：执行程序框图：i＝2，S＝log23＝；i＝3，S＝log23·log34＝·＝；i＝4，S＝；i＝5，S＝；i＝6，S＝；i＝7，S＝＝3，结束循环．输出S＝3，故选C.
11．[2019·天津部分区质量调查]已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数根a，b，c，则a＋b＋c的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：假设a，过P作圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求△PMN面积的最小值，并求出此时P点坐标．
解析：(1)由题意知F，C(0，1)，∵0，∴x>1.
设两条切线的斜率分别为k1，k2，
则k1＋k2＝，k1k2＝.
S△PMN＝|(y0－k1x0)－(y0－k2x0)||x0|＝|k1－k2|x.
∵|k1－k2|2＝(k1＋k2)2－4k1k2＝－＝，
∴|k1－k2|＝，
∴S△PMN＝.
令2y0－1＝t(t>0)，则y0＝，
f(t)＝＝＝＋＋1，
而＋＋1≥2＋1＝2，
当且仅当＝，即t＝1时，“＝”成立．
此时，P(±，1)，
∴S△PMN的最小值为2，此时P(±，1)．
20．(12分)[2019·湖北武汉调研测试]已知函数f(x)＝ex＋1－aln(ax)＋a(a>0)．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若关于x的不等式f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋1－ln x＋1，
则f′(x)＝ex＋1－，
∴切线的斜率k＝f′(1)＝e2－1，
又f(1)＝e2＋1，
∴切线方程为y－f(1)＝f′(1)·(x－1)，
即y－(e2＋1)＝(e2－1)(x－1)，
整理得(e2－1)x－y＋2＝0.
(2)由f(x)＝ex＋1－aln(ax)＋a＝ex＋1－aln x－aln a＋a(a>0，x>0)，
得f′(x)＝ex＋1－＝，
令g(x)＝xex＋1－a，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又g(0)＝－a<0，g(a)＝aea＋1－a>0，
∴存在x0∈(0，a)，使得g(x0)＝0，
即x0ex0＋1＝a，ln a＝ln x0＋x0＋1.
∴00，f(x)单调递增，
∴f(x)在x＝x0处取得最小值，为f(x0)＝ex0＋1－aln x0－aln a＋a，
即f(x0)＝－aln x0－aln a＋a
＝a
＝a
＝a.
由f(x)>0恒成立，知f(x0)>0，
即a>0，∴－x0－2ln x0>0.
令h(x)＝－x－2ln x，则h′(x)＝－－1－＝－<0，h(x)单调递减，
又当x→0时，h(x)→＋∞，h(1)＝0，
∴由h(x)>0得00.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)是否存在常数a，使不等式|f(x)|<8的解集恰为(－1，3)？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)当a＝2时，f(x)＝
当x≤－1时，f(x)＝－4≥0不成立；
当－1
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