2018-2019学年江苏省扬州中学高一下学期期中考试 数学

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2018-2019学年江苏省扬州中学高一下学期期中考试 数学

‎2018-2019学年江苏省扬州中学高一下学期期中考试 数学 2019.4‎ 一、选择题(每小题5分,合计50分)‎ ‎1.若直线过点(,-3)和点(,-4),则该直线的方程为( ★ ) ‎ ‎ A.y=x-4 B. y=x+4 C . y=x-6 D. y=x+2‎ ‎ 2. 不等式的解集为( ★ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.如果A(3, 1)、B(-2, k)、C(8, 11)在同一直线上,那么k的值是( ★ )‎ ‎ A. -6 B. -7 C. -8 D. -9 ‎ ‎4.下列四个命题中错误的是( ★  ) ‎ A.若直线,b互相平行,则直线,b确定一个平面 B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线 C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线 D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面 ‎5. 在△ABC中,=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是( ★ )‎ A.无解 B.一解 C. 二解 D.不能确定 ‎ ‎6.设m,n是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:‎ ‎①⇒β∥γ;②⇒m⊥β;③⇒α⊥β;④⇒m∥α.其中正确的命题是( ★  )‎ A.①④ B.②③‎ C.①③ D.②④‎ ‎7. 在△ABC中,若,则△ABC的形状是( ★ )‎ A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 ‎ ‎8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中点,则异面直线C1E与BC所成的角的 余弦值是( ★ )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知b>>0且+b=1,则有 ( ★ )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. 2+b2>b>>>2b ‎ ‎10.三棱柱的侧棱垂直于底面,且,,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ★ )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每小题5分,合计30分).‎ ‎11.不等式的解集为___▲____. ‎ ‎12.若圆锥的母线长是5,高是 4,则该圆锥的体积是__▲____.‎ ‎13.过点,在轴上和轴上的截距分别是且满足的直线方程为 ___▲____. ‎ ‎14. 若钝角三角形三边长分别是,则三角形的周长为__▲___.‎ ‎15.已知直线:,则恒过定点___▲____. ‎ ‎16. 在中,若,则的最小值为_ ▲ _.‎ 三、解答题(10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分)‎ ‎17.(5分+5分)在直三棱柱中, , 为棱上任一点.‎ ‎(1)求证:直线∥平面;‎ ‎(2)求证:平面⊥平面.‎ ‎18. (4分+8分)在锐角中,已知.‎ ‎(1) 求的值; (2) 若,,求的值.‎ ‎19. (6分+6分)如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB.‎ ‎(1)求证:PA⊥CD;‎ ‎(2)求二面角C﹣PB﹣A的余弦值.‎ ‎20.(4分+8分)直线过点且斜率为>,将直线绕点按逆时针方向旋转45°得直线,若直线和分别与轴交于,两点.(1)用表示直线的斜率;(2)当为何值时,的面积最小?并求出面积最小时直线的方程.‎ ‎21.(4分+8分)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段AB,AC和以BC为直径的半圆弧组成,其中AC为2百米,AC⊥BC,∠A为.若在半圆弧,线段AC,线段AB上各建一个观赏亭D,E,F,再修两条栈道DE,DF,使DE∥AB,DF∥AC.记∠CBD=θ(≤θ<).‎ ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ F ‎ E ‎(第21题图)‎ ‎(1)试用θ表示BD的长;‎ ‎(2)试确定点E的位置,使两条栈道长度之和最大.‎ ‎22. (6分+6分)已知函数,‎ ‎(1)若存在,使得不等式有解,求实数的 取值范围;‎ ‎(2)若函数满足,若对任意且,不等式 恒成立,求实数m的最大值.‎ ‎ 高一数学期中试卷答案2019.4‎ 一选择题:‎ A C D C B C D A B C ‎ 二、填空题:‎ ‎11. 12. 13. 或; 14. 9 ‎ ‎15. 16. ‎ 三、解答题:‎ ‎17. (1)证明:由直三棱柱,得………………………………2分 ‎ ………………………5分 ‎(2)因为三棱柱为直三棱柱,所以,又,‎ 而,,且,‎ 所以……………8分 又,所以平面⊥平面…………………………………10分 ‎18. 解:(1)因为锐角△ABC中,,所以 又A+B+C=p, 所以. ……….4分 ‎ ‎(2),,即,‎ ‎ ……….6分 将,,代入余弦定理:得: ‎ ‎, ……….11分 即. ………..12分 ‎19. 解析:(1)连接OC,由AD=BD知,点D为AO的中点,‎ 又∵AB为圆的直径,∴AC⊥BC,‎ ‎∵AC=BC,∴∠CAB=60°,‎ ‎∴△ACO为等边三角形,∴CD⊥AO. ……….2分 ‎∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D,‎ ‎∴PD⊥平面ABC,又CD⊂平面ABC,‎ ‎∴PD⊥CD,PD∩AO=D,‎ ‎∴CD⊥平面PAB,PA⊂平面PAB,‎ ‎∴PA⊥CD. ……….6分 ‎(2)过点D作DE⊥PB,垂足为E,连接CE,‎ 由(1)知CD⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,‎ ‎∴CD⊥PB,又DE∩CD=D,‎ ‎∴PB⊥平面CDE,又CE⊂平面CDE,‎ ‎∴CE⊥PB,‎ ‎∴∠DEC为二面角C﹣PB﹣A的平面角.……….9分 设AB=4,则由(1)可知CD=,PD=BD=3,‎ ‎∴PB=3,则DE==,‎ ‎∴在Rt△CDE中,tan∠DEC==,‎ ‎∴cos∠DEC=,即二面角C﹣PB﹣A的余弦值为.……….12分 ‎20. 解:(1)设直线的倾斜角为,则直线的倾斜角为,‎ ‎ ………4分 ‎(2)直线的方程为,直线的方程为 令,得,∴‎ ‎ ……….6分 ‎∵,∴ ≥‎ ‎ ………9分 由得舍去,∴当时,的面积最小,最小值为,此时直线的方程是.………12分 ‎21. 解:(1)连结DC.在△ABC中,AC为2百米,AC⊥BC,∠A为,‎ 所以∠CBA=,AB=4,BC=2.因为BC为直径,所以∠BDC=,‎ 所以BD=BCcosθ=2cosθ. ……….4分 ‎(2)在△BDF中,∠DBF=θ+,∠BFD=,BD=2cosθ,‎ 所以==,‎ 所以DF=4cosθsin(+θ),且BF=4cosθ,所以DE=AF=4-4cosθ,‎ ‎ ……….6分 ‎ 所以DE+DF=4-4cosθ+4cosθsin(+θ)=sin2θ-cos2θ+3‎ ‎ =2 sin(2θ-)+3. ………8分 ‎ ‎ 因为≤θ<,所以≤2θ-<,‎ 所以当2θ-=,即θ=时,DE+DF有最大值5,此时E与C重合.………11分 答:当E与C重合时,两条栈道长度之和最大……….12分 ‎22. 解:(1).‎ 对任意,有:‎ ‎.‎ 因为,所以,所以,‎ 因此在R上递增.………………………………………2分 令,则且 ‎,所以,‎ 即在时有解.‎ 当时,,所以.…………………………6分 ‎(2)因为,所以(), ………7分 所以.‎ 不等式恒成立,‎ 即,‎ ‎, ………………10分 因为,由基本不等式可得:,当且仅当时,等号成立.‎ 所以,则实数m的最大值为.…………………………12分
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