中考数学存在性问题复习

中考数学存在性问题复习

初中数学 二次函数中的图形构建及存在性问题 一、二次函数中有关面积的存在性问题 例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结 ‎(1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；‎ ‎(2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；‎ ‎(3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. ‎ 答案：解：（1）因为抛物线与轴交于点两点，设抛物线的函数关系式为：‎ ‎∵抛物线与轴交于点 ‎∴‎ ‎∴‎ 所以，抛物线的函数关系式为： ‎ 又 因此，抛物线的顶点坐标为 ‎ ‎(2）连结∵是的两条切线，‎ ‎∴∴‎ 又四边形的面积为∴∴‎ 又∴‎ 因此，点的坐标为或 ‎ 当点在第二象限时，切点在第一象限.‎ 在直角三角形中，‎ ‎∴∴‎ 过切点作垂足为点 ‎∴‎ 因此，切点的坐标为 ‎ 设直线的函数关系式为将的坐标代入得 解之，得 所以，直线的函数关系式为 ‎ 当点在第三象限时，切点在第四象限.‎ 同理可求：切点的坐标为直线的函数关系式为 因此，直线的函数关系式为 或 ‎ ‎(3）若四边形的面积等于的面积 又 ‎∴‎ ‎∴两点到轴的距离相等，‎ ‎∵与相切，∴点与点在轴同侧，‎ ‎∴切线与轴平行，‎ 此时切线的函数关系式为或 当时，由得，‎ 当时，由得， ‎ 故满足条件的点的位置有4个，分别是 ‎ ‎ 说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.‎ 强化训练 ‎★1、（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．‎ ‎(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；‎ ‎ (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．‎ 图2‎ x y C B ‎_‎ D ‎_‎ A O 答案：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 图3‎ ‎∴ 解之得：；故为所求 ‎(2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点 设BD的解析式为，则有，，‎ 故BD的解析式为；令则，故 ‎(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，‎ 易知BN=MN=1， 易求 ‎；设，‎ 依题意有：，即：‎ 解之得：，，故 符合条件的P点有三个：‎ ‎★2、．矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O(0，0)、B(0，3)、D(－2，0)，直线AB交x轴于点A(1，0)．‎ ‎(1)求直线AB的解析式；‎ ‎(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；‎ O A G B D C E H x y F ‎(3)过点E作x轴的平行线EF交AB于点F．将直线AB沿轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H．请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S△PAG＝S△PEH．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题 例2 (甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？‎ ‎（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）设该抛物线的解析式为，‎ 由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知. ‎ 即抛物线的解析式为． ………………………1分 把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 ‎ 解得.‎ ‎∴ 抛物线的解析式为y = x2－2x－3． ……………………………………………3分 ‎∴ 顶点D的坐标为. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x2－2x－3”不扣分.‎ ‎（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下：‎ 过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.‎ 在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴ . …………………………6分 在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ . …………………………7分 在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ . …………………………8分 ‎∴ ， 故△BCD为直角三角形. …………………………9分 ‎（3）连接AC，可知Rt△COA∽ Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）． ………10分 过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，可知Rt△CAP1 ∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，‎ 求得符合条件的点为． …………………………………………11分 过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA∽ Rt△COA∽ Rt△BCD，‎ 求得符合条件的点为P2（9，0）． …………………………………………12分 ‎ ∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）.‎ 三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题 例3（10重庆潼南）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.‎ ‎(1）求抛物线的解析式；‎ ‎(2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎(3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.‎ 答案：解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)‎ ‎∴‎ ‎ 解得： b=－ c=－1‎ ‎∴二次函数的解析式为 ‎ ‎(2）设点D的坐标为（m，0） (0＜m＜2）‎ ‎∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得， ‎ ‎∴‎ ‎∴DE=‎ ‎∴△CDE的面积=××m ‎==‎ 当m=1时，△CDE的面积最大 ‎∴点D的坐标为（1，0）‎ ‎(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设y=0则 解得：x1=2 x2=－1‎ ‎∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）‎ 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ‎∴ 解得：k=-1 b=-1‎ ‎∴直线BC的解析式为: y=－x－1‎ 在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1‎ 由勾股定理得：AC=‎ ‎∵点B(－1,0) 点C（0，－1）‎ ‎∴OB=OC ∠BCO=450‎ ‎①当以点C为顶点且PC=AC=时，‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PH⊥y轴于H ‎∴∠HCP=∠BCO=450‎ CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1=， k2=－‎ ‎∴P1（，－） P2（－，）‎ ‎②以A为顶点，即AC=AP=‎ 设P(k, －k－1)，过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣‎ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2‎ ‎(2－k)2+(－k－1)2=5‎ 解得：k1=1,k2=0(舍)‎ ‎∴P3(1, －2) ‎ ‎③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)‎ 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L，∴L(k,0)‎ ‎∴△QPC为等腰直角三角形， PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA=k ‎ ‎∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜‎ 在Rt△PLA中(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2‎ 解得：k=∴P4(,－) ‎ 综上所述： 存在四个点：P1（，－） ‎ P2（-，） P3(1, －2) P4(,－)‎ 三、二次函数中构建四边形的存在性问题 ‎（一）二次函数中构建梯形的存在性问题 例4 (10山东临沂）如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、‎ ‎ B(2，0)两点，且与y轴交于点C；‎ ‎ (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状；‎ ‎ (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四 ‎ 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；‎ ‎ (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点 ‎ 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。‎ 答案：[解] (1) 根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解这个方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+x+1，当 x=0时，y=1，‎ ‎ ∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC===。‎ ‎ 在△BOC中，BC===。‎ ‎ AB=OA+OB=+2=，∵AC 2+BC 2=+5==AB 2，∴△ABC是直角三角形。‎ ‎ (2) 点D的坐标为(，1)。‎ ‎ (3) 存在。由(1)知，AC^BC。‎ ‎ j 若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线 y A B C O x P y A B C O P x BC的解析式为y= -x+1，直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -x+b， 把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b= -，‎ ‎ ‎ ‎∴直线AP的解析式为y= -x-。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，‎ ‎ ∴点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=，‎ ‎ x2= -(舍去)。当x=时，y= -，∴点P(，-)。‎ ‎ k 若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x+1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的， 所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求得b= -4，‎ ‎ ∴直线BP的解析式为y=2x-4。∵点P既在拋物线 上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等， 即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。‎ ‎ 当x= -时，y= -9，∴点P的坐标为(-，-9)。‎ ‎ 综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9)‎ ‎。‎ ‎★强化训练．★‎ ‎1、 (10山东省淄博)已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．‎ ‎(1）求满足条件的所有点B的坐标；‎ ‎(2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；‎ ‎(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．‎ ‎【答案】解：作AC⊥x轴，由已知得OC＝4，AC＝3，OA＝＝5．‎ ‎(1）当OA＝OB＝5时，‎ 如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（－5，0）．‎ 如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）．‎ x y B C A O x y B C A O ‎(2)‎ ‎(1)‎ 当OA＝AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC＝OC，则OB＝8，点B的坐标为（－8，0）． ‎ 当AB＝OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD＝OA，可知OD＝8．由∠AOB＝∠OAB＝∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则，解得OB＝，点B的坐标为（－，‎ ‎0）．‎y B C A x O ‎(3)‎ ‎(4)‎ y A B D x O ‎(2）当AB＝OA时，抛物线过O（0，0），A（－4，3），B（－8，0）三点，设抛物线的函数表达式为，可得方程组，解得a＝，，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎(当OA＝OB时，同理得．‎ ‎(3）当OA＝AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC＝∠PBE，∠ACO＝∠PEB＝90°，△AOC∽△PBE，．设BE＝4m，PE＝3m，则点P的坐标为（4m－8，－3m），代入，解得m＝3．‎ 则点P的坐标为（4，－9），‎ S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝48．‎ 若OP∥AB（图略），根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（－12，－9），‎ S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝48．‎ ‎(5)‎ O y B C A x P E ‎(6)‎ x y B A O C P F ‎(当OA＝OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC＝∠PBF，∠ACO＝∠PFB＝90°，△AOC∽△PBF，．设BF＝4m，PF＝3m，则点P的坐标为（4m－5，－3m），代入，解得m＝．‎ 则点P的坐标为（1，－），‎ S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝．‎ 若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，则∠ABC＝∠POF，∠ACB＝∠PFO＝90°，△ABC∽△POF，．设点P的坐标为（－n，－3n），代入，解得n＝9．则点P的坐标为（－9，－27），S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝75．‎ ‎（二）二次函数中构建平行四边形的存在性问题 例5、、如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。‎ 解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c根据题意，得 a- b+c=0 a=‎ ‎9a+3b+c=0 解之，得 b=‎ c=-1 c=-1‎ ‎ ∴所求抛物线的表达式为y=x²-x-1‎ ‎ （2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可。‎ ‎ 又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2 .‎ 而当x=4时，y=；当x=-4时，y=7，‎ 此时P1（4，）P2（-4,7）‎ ‎②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可 又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1‎ ‎∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3‎ 而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）‎ 综上，满足条件的P为P1（4，）P2（-4,7）P3（2，-1）‎ 例6、平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．‎ ‎（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．‎ ‎（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．‎ ‎★强化训练．★‎ ‎1、（莆田）(14分)已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：‎ ‎ (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2、（10贵州遵义）如图，已知抛物线的顶点坐 标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两 点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，‎ 交AC于点D．‎ ‎(1)求该抛物线的函数关系式；‎ ‎(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；‎ ‎(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，‎ 问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，‎ 求点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 答案：解：（1）‎ ‎∵抛物线的顶点为Q（2，-1）‎ ‎∴设 将C（0，3）代入上式，得 ‎∴， 即 ‎(2）分两种情况：‎ ‎ ①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)‎ ‎ 令=0, 得 解之得, ‎ ‎∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0)‎ ‎∴P1(1,0)‎ ‎②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)‎ ‎∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=‎ 当∠D2AP2=时, ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2‎ 又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称.‎ 设直线AC的函数关系式为 将A(3,0), C(0,3)代入上式得 ‎, ∴‎ ‎∴‎ ‎∵D2在上, P2在上,‎ ‎∴设D2(,), P2(,)‎ ‎∴()+()=0‎ ‎, ∴, (舍)‎ ‎∴当=2时, ‎ ‎==-1‎ ‎ ∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)‎ ‎∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1)‎ ‎ (3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,‎ 平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.‎ 当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形 ‎∵P(2,-1), ∴可令F(,1)‎ ‎∴‎ 解之得: , ‎ ‎∴F点有两点,即F1(,1), F2(,1)‎ ‎3、如图11，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．‎ M C B O A 图11‎ ‎(1）线段的长为 ，点的坐标为 ；‎ ‎(2）求△的面积；‎ ‎(3）求过，，三点的抛物线的解析式；‎ ‎(4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该 抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形 为平行四边形，求点的坐标．‎ 答案：解：（1）4 ；. ‎ ‎(2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，‎ ‎ ∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM ‎ ‎ 又 ∵ OA=2BC ‎ ∴ AM＝2CM ，CM＝AC ‎ ‎ 所以 ‎ ‎(注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）‎ ‎(3）设抛物线的解析式为 ‎　　　由抛物线的图象经过点,,.所以 ‎　　　　　 ‎ ‎　　　解这个方程组，得，， ‎ 所以抛物线的解析式为 ‎ ‎ (4）∵ 抛物线的对称轴是CD，‎ ‎ ① 当点E在轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点； ‎ ‎② 当点E在轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可得.所以. ‎ ‎ 同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为，将代入，可得.所以.‎ 综上所述，点F的坐标为，. ‎ ‎4、如图，在直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为(6，6)，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B，且3a－b＝－1．‎ ‎(1)求a、b、c的值．‎ ‎(2)动点E、F同时分别从点A、B出发，分别沿A→B、B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E、F随之停止运动．设运动时间为t秒，△BEF的面积为S．①试求出S与t的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以点E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此时点R的坐标；若不存在，请说明理由．‎ O A B C E F x y O A B C E F x y ‎（备用图）‎ ‎5、已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．‎ y x O y x O B A D C ‎(x=m)‎ ‎(F2)F1‎ E1 (E2)‎ 解：（1）根据题意，得 解得．‎ ‎． （2分）‎ ‎（2）当时，‎ 得或，‎ ‎∵，‎ 当时，得，‎ ‎∴，‎ ‎∵点在第四象限，∴． （4分）‎ 当时，得，∴，‎ ‎∵点在第四象限，∴． （6分）‎ ‎（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则 ‎，点的横坐标为，‎ 当点的坐标为时，点的坐标为，‎ ‎∵点在抛物线的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∴． （9分）‎ 当点的坐标为时，点的坐标为，‎ ‎∵点在抛物线的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴（舍去），，‎ ‎∴，‎ ‎∴． （12分）‎ 注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．‎ ‎19. (郴州)如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． ‎ ‎（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；‎ ‎（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； ‎ 图11‎ 图12‎ ‎（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．‎ ‎ ‎ ‎25 ‎ ‎（1）设正比例函数解析式为，将点M（，）坐标代入得 ‎，所以正比例函数解析式为 2分 同样可得，反比例函数解析式为 3分 ‎（2）当点Q在直线DO上运动时，‎ 设点Q的坐标为， 4分 于是，‎ 而，‎ 所以有，，解得 6分 所以点Q的坐标为和 7分 ‎（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，‎ 而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值． 8分 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，‎ 由勾股定理可得，‎ 所以当即时，有最小值4，‎ 又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，‎ 所以OQ有最小值2． 9分 ‎ 由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 ‎． ‎ ‎21. (崇左)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ B A C x y ‎（0，2）‎ ‎（－1，0）‎ ‎（第25题）‎ ‎（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（1）过点作轴，垂足为，‎ ‎； 1分 又，‎ ‎， 2分 ‎ 3分 点的坐标为； 4分 ‎（2）抛物线经过点，则得到， 5分 解得，所以抛物线的解析式为； 7分 ‎（3）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：‎ 若以点为直角顶点；‎ 则延长至点，使得，得到等腰直角三角形， 8分 过点作轴，‎ ‎；‎ ‎ 10分 ‎，可求得点； 11分 若以点为直角顶点；‎ 则过点作，且使得，得到等腰直角三角形， 12分 过点作轴，同理可证； 13分 ‎，可求得点； 14分 经检验，点与点都在抛物线上． 16分 ‎22. （达州）（9分）如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.‎ ‎(1)求a的值及直线AC的函数关系式；‎ ‎(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.‎ ‎①求线段PM长度的最大值；‎ ‎②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由. ‎ 解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分 ‎∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）‎ 设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b ‎6=-2k+b解得 k=-2‎ b=2‎ ‎∴直线AC为y=-2x+23分 ‎（2）①设P的横坐标为a(-2≤a≤1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6）4分 ‎∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92‎ ‎=-2a+122+92‎ ‎∴当a=-12时，PM的最大值为926分 ‎②M1（0，6）7分 M2-14，6789分 ‎ ‎25.解：（1）∵对称轴………1分 ‎ 又∵OC=3OB=3，，‎ ‎ ∴C（0，－3）………2分 ‎ 方法一：把B(1,0)、C(0，－3)代入得：‎ ‎ 解得：‎ ‎ ∴…………………4分 ‎ 方法二：∵B（1，0），∴A(-4，0)‎ 可令 把C(0，-3)代入得：‎ ‎∴………………4分 ‎（2）方法一：过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。‎ ‎∵‎ ‎ ＝……………5分 ‎∵A(-4，0)，C(0，-3)‎ 设直线AC的解析式为 代入求得：……………6分 令，‎ ‎ …………7分 当时，DM有最大值3‎ 此时四边形ABCD面积有最大值。…………8分 方法二：过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作∥x轴交抛物线于，从图象中可判断当嗲D在下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。‎ 则=‎ ‎= …………5分 令 则…………7分 当时，四边形ABCD面积有最大值。…………8分 ‎（3）如图所示，讨论：①过点C作∥x轴交抛物线于点，过点作∥‎ AC交x轴于点，此时四边形为平行四边形，…………9分 ‎∵C(0，-3)‎ 令得：‎ ‎∴。∴‎ ‎②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C(0，-3)‎ ‎∴可令，由得：‎ 解得或，此时存在点和 …………14分 综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是，，‎