【数学】2018届一轮复习人教A版 函数及其表示 学案
1.函数与映射
函数
映射
两集合
A、B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应关系fA→B
如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应
集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应
名称
称fA→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应fA→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应fA→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.
(2)函数的三要素定义域、对应关系和值域.
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法.
3.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集
，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
4.常见函数定义域的求法
类型
x满足的条件
，n∈N＋
f(x)≥0
与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)(a>0，a≠1)
f(x)>0
logf(x)g(x)
f(x)>0，且f(x)≠1，
g(x)>0
tan f(x)
f(x)≠kπ＋，k∈Z
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数fA→B，其值域是集合B.( × )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × )
(3)映射是特殊的函数.( × )
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，fx→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.( × )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )
1.下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A.f(x)＝|x| B.f(x)＝x－|x|
C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝－x
答案 C
解析 将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等.
对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；
对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；
对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；
对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，
故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C.
2.函数f(x)＝的定义域为( )
A. B.(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
答案 C
解析 要使函数f(x)有意义，需使解得x>2或0
0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图像，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图像，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图像，故选B.
题型二 函数的定义域
命题点1 求给定函数解析式的定义域
例2 (1)函数f(x)＝＋的定义域为( )
A.(－3,0] B.(－3,1]
C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)函数f(x)＝的定义域是( )
A.(－1，＋∞) B.[－1，＋∞)
C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.[－1,1)∪(1，＋∞)
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由题意知解得－30且x－1≠0，得x>－1，且x≠1，故选C.
命题点2 求抽象函数的定义域
例3 (1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 016]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A.[0,2 015] B.[0,1)∪(1,2 015]
C.(1,2 016] D.[－1,1)∪(1,2 015]
(2)若函数f(x)的定义域为(0,1]，则函数f的定义域为( )
A.[－5,4] B.[－5，－2)
C.[－5，－2]∪[1,4] D.[－5，－2)或(1,4]
答案 (1)B (2)D
解析 (1)令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t≤2 016.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2 016，解得0≤x≤2 015，故函数f(x＋1)的定义域为[0,2 015].
所以使函数g(x)有意义的条件是解得0≤x<1或11) (2)2x＋7 (3)＋
解析 (1)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝，
∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1).
(2)(待定系数法)
设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴解得
∴f(x)＝2x＋7.
(3)(消去法)
在f(x)＝2f()－1中，用代替x，
得f()＝2f(x)－1，
将f()＝－1代入f(x)＝2f()－1中，
可求得f(x)＝＋.
思维升华 函数解析式的求法
(1)待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(4)消去法已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝_____________.
答案 (1)x2－1(x≥1) (2)－x(x＋1)
(3)lg(x＋1)＋lg(1－x) (－10，所以f()＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
6.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为_______.
答案 －
解析 当a>0时，1－ a<1,1＋a>1.
这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a，解得a＝－，
不合题意，舍去.
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a，解得a＝－.
综上可知，a的值为－.
7.设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为__________.
答案
解析 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；若x>0，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.故x的集合为.
8.(2015·浙江)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝_____，f(x)的最小值是_____.
答案 0 2－3
解析 ∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；
当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为2－3.
9.已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式.
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，又f(0)＝0，
∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.
又∵f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，
∴解得
∴f(x)＝x2＋x.
10.根据如图所示的函数y＝f(x)的图像，写出函数的解析式.
解 当－3≤x<－1时，函数y＝f(x)的图像是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－；
当－1≤x<1时，同理可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，
将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f(x)＝x－；
当1≤x<2时，f(x)＝1.
所以f(x)＝
B组 专项能力提升
(时间15分钟)
11.若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________.
答案 [0,3)
解析 因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，
即函数y＝ax2＋2ax＋3的图像与x轴无交点.
当a＝0时，函数y＝的图像与x轴无交点；
当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得00)，若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是____________.
答案
解析 当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x2的值域是[0,1]，
g(x)＝2acos－3a＋2 (a>0)的值域是[2－2a,2－a]，为使存在x1，x2∈[0,1]使得f(x1)＝g(x2)成立，需[0,1]∩[2－2a,2－a]≠∅.由[0,1]∩[2－2a,2－a]＝∅，得1<－2a＋2或2－a<0，解得a<或a>2.所以，若存在x1，x2∈[0,1]使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是≤a≤2.
14.已知x∈R，定义A(x)表示不小于x的最小整数.如A()＝2，A(－0.4)＝0，A(－1.1)＝－1.若A(2x＋1)＝3，则实数x的取值范围是__________.
答案
解析 由题中定义可知A(2x＋1)＝3等价于2<2x＋1≤3，解得
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