【数学】2021届一轮复习人教版（文）第2章第8节　函数的图象学案

【数学】2021届一轮复习人教版（文）第2章第8节　函数的图象学案

第八节　函数的图象 ‎[最新考纲]　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题．‎ ‎1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)化简函数的解析式；‎ ‎(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；‎ ‎(4)描点连线．‎ ‎2．利用图象变换法作函数的图象 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；‎ ‎③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；‎ ‎④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．‎ ‎(3)伸缩变换 ‎①y＝f(x)的图象 ‎＝f(ax)的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象 ‎＝af(x)的图象．‎ ‎(4)翻转变换 ‎①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；‎ ‎②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．‎ ‎1．关于对称的三个重要结论 ‎(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．‎ ‎(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎2．函数图象平移变换八字方针 ‎(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．‎ ‎(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到． (　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称． (　　)‎ ‎(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同． (　　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)‎ A．y轴对称　　　　　　　B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 C　[∵f(x)＝－x是奇函数，‎ ‎∴图象关于原点对称．]‎ ‎2．函数y＝21－x的大致图象为(　　)‎ A　　　　　B　 　　　C　　　　D A　[y＝21－x＝，因为0＜＜1，所以y＝为减函数，取x＝0，则y＝2，故选A.]‎ ‎3．李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图象是(　　)‎ A　　　　　　　　 B C　　　　　　　　　D C　[距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，后段比前段下降得快．]‎ ‎4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．‎ ‎(－1,1]　[在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．‎ ‎]‎ 考点1　作函数的图象 ‎　函数图象的常用画法 ‎(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出图象．‎ ‎(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．‎ ‎(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作出．‎ ‎　作出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.‎ ‎[解]　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图1实线部分．‎ 图1　　　　　　　图2‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2.‎ ‎(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图3.‎ 图3　　　　　　图4‎ ‎(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图4.‎ ‎　(1)画函数的图象一定要注意定义域．‎ ‎(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．‎ 考点2　函数图象的辨识 ‎　辨析函数图象的入手点 ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．‎ ‎　(1)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)‎ A　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D ‎(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)‎ A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D ‎(1)D　(2)B　[(1)∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，‎ ‎∴f(x)是奇函数．又∵f(π)＝＝＞0，∴选D.‎ ‎(2)当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各选项可知，应选B.‎ ‎　通过图象变换识别函数图象要掌握的两点 ‎(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；‎ ‎(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换．‎ ‎　1.函数y＝在[－6,6]的图象大致为(　　)‎ A　　　 　B　　　　　C　　　　 D B　[设f(x)＝(x∈[－6,6])，则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除选项C；当x＝－1时，f(－1)＝－＜0，排除选项D；当x＝4时，f(4)＝≈7.97，排除选项A.故选B.]‎ ‎2．如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　)‎ A　　　　　B　　　　　C　　　　　D C　[当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.]‎ 考点3　函数图象的应用 ‎　利用函数图象的直观性求解相关问题，关键在于准确作出函数图象，根据函数解析式的特征和图象的直观性确定函数的相关性质，特别是函数图象的对称性等，然后解决相关问题．‎ ‎　研究函数的性质 ‎　(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)‎ D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ ‎(2)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．‎ ‎(1)C　(2)　[(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．‎ ‎(2)函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为.‎ ‎]‎ ‎　利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系．如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．‎ ‎　解不等式 ‎　设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为(　　)‎ A．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ B．(－∞，－1)∪(0,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ D．(－1,0)∪(0,1)‎ D　[因为f(x)为奇函数，所以不等式＜0可化为＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．]‎ ‎　当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．‎ ‎　求参数的取值范围 ‎　(1)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．‎ ‎(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(1)(0,1]　(2)[－1，＋∞)　[(1)作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，‎ 由图可知k∈(0,1]．‎ ‎(2)如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．]‎ ‎　当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围．‎ ‎　1.(2019·贵阳市监测考试)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)‎ A．函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称 B．函数f(x)在(－∞，1)上是增函数 C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 A　[因为y＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误；易知函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误；易知函数f(x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.]‎ ‎2.已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)＞f(－x)－2x的解集是________．‎ ‎(－1,0)∪(1，]　[由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)＞－x.在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．‎ ‎]‎ ‎3．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．‎ 　[先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.]‎