2020届全国高考一轮复习文科数学综合检测二（全国卷）
2021届高考一轮复习综合检测二(全国卷)
数 学（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2019·甘青宁联考)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|y＝}，则A∩B等于( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{－2，－1} D．{－2，－1,0}
2．若a，b均为实数，且＝2＋i3，则ab等于( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
3．(2019·四川省成都市外国语学校期中)函数f(x)＝的图象大致是( )
4.如图，在△OAB中， P为线段AB上的一点， ＝x＋y，且＝2，则( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
5．若m＝log3，n＝7－0.1，p＝log425，则m，n，p的大小关系为( )
A．m>p>n B．p>n>m
C．p>m>n D．n>p>m
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为( )
A．15 B．37 C．83 D．177
7．在公比为q的正项等比数列{an}中，a4＝1，则当2a2＋a6取得最小值时，log2q等于( )
A. B．－ C. D．－
8.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为( )
A. B. C. D.
9.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
10．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且asin 2B＋bsin A＝0，若a＋c＝2，则边b的最小值为( )
A. B．3 C．2 D.
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若(＋)·＝0，则此双曲线的标准方程可能为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
12．(2020·湖南省长沙市长郡中学月考)已知函数f(x)＝g(x)＝ex(e是自然对数的底数)，若关于x的方程g(f(x))－m＝0恰有两个不等实根x1，x2，且x1
an恒成立，则实数λ的取值范围是________．
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin B＋csin C＝a.
(1)求A的大小；
(2)若a＝，B＝，求△ABC的面积．
18.(12分)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.
(1)证明：AE⊥平面ECD；
(2)求点C1到平面AEC的距离．
19．(12分)某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，随机抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”分为五个评分标准：1分(很不满意)；2分(不满意)；3分(一般)；4分(满意)；5分(很满意)．其统计结果如下表(住宿满意度为x，餐饮满意度为y)．
餐饮满意度y
人数
住宿满意度x
1
2
3
4
5
1
1
1
2
1
0
2
2
1
3
2
1
3
1
2
5
3
4
4
0
3
5
4
3
5
0
0
1
2
3
(1)求“住宿满意度”分数的平均数；
(2)求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；
(3)为提高对酒店的满意度，现从2≤x≤3且1≤y≤2的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率．
请在第22～23题中任选一题作答．
20．(12分)(2019·甘青宁联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.
(1)求C的方程；
(2)若斜率为－的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
21．(12分)设函数f(x)＝－x2＋ax＋2(x2－x)ln x.
(1)当a＝2时，讨论函数f(x)的单调性；
(2)若x∈(0，＋∞)时， f(x)＋x2>0恒成立，求整数a的最小值．
22．(10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6cos θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．
23．(10分)设函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋a|(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；
(2)若关于x的不等式f(x)<＋a在x∈[1,2]上有解，求实数a的取值范围．
参考答案
1.答案 D
解析 因为A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x≤0}，
所以A∩B＝{－2，－1,0}．
2.答案 C
解析 因为＝2＋i3＝2－i，
所以a＋bi＝(1－i)(2－i)＝1－3i，
因此a＝1，b＝－3，则ab＝－3.
3.答案 D
解析 函数定义域为，即{x|x>－1}，所以排除A，B选项；因为f(x)＝x为单调递减函数，f(x)＝在[－1，＋∞)时为单调递减函数，由复合函数单调性可知f(x)＝为单调递增函数，所以排除C选项．综上可知，D为正确选项．
4.答案 A
解析 由题可知＝＋，又＝2，所以＝＋B＝＋(－)＝O＋ ，所以x＝，y＝，故选A.
5.答案 B
解析 log3∈(－1,0)，7－0.1∈(0,1)，log425＝log25∈(2,3)，故p>n>m.
6.答案 B
解析 执行程序，可得
S＝0，i＝1，不符合，返回循环；
S＝2×0＋1＝1，i＝3，不符合，返回循环；
S＝2×1＋3＝5，i＝5，不符合，返回循环；
S＝2×5＋5＝15，i＝7，不符合，返回循环；
S＝2×15＋7＝37，i＝9，符合，输出S＝37.
故选B.
7.答案 A
解析 2a2＋a6≥2＝2＝2，当且仅当q4＝2时取等号，所以log2q＝log22＝，故选A.
8.答案 A
解析 设圆的半径为r，则圆的面积S圆＝πr2，正六边形的面积S正六边形＝6××r2×sin60°＝r2，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率P＝＝＝，故选A.
9.答案 C
解析 由长方体∠DAD1＝45°，∠CDC1＝30°，设AD＝DD1＝1，CD＝.连接BC1，BD.
由AD1∥BC1，所以异面直线AD1与DC1所成的角等于∠BC1D.
在△BDC1中，BC1＝，BD＝2，C1D＝2，由余弦定理可得cos∠BC1D＝＝＝，
所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是.
10.答案 D
解析 根据asin 2B＋bsin A＝0，由正弦定理可得sin Asin 2B＋sin Bsin A＝0⇒cos B＝－，
∵00恒成立，
∴g(f(x))＝ef(x)＝m，∴f(x)＝ln m，
作函数f(x)，y＝ln m的图象如下，
结合图象可知，存在实数t＝ln m(0＝恒成立，
只需λ>max，
当n＝1时，取得最大值1，∴λ>1.
17.解 (1)因为bsin B＋csin C＝a，
由正弦定理可得，b2＋c2＝a，
即b2＋c2－a2＝bc，
再由余弦定理可得2bccos A＝bc，
即cos A＝，所以A＝.
(2)因为B＝，所以sin C＝sin(A＋B)＝，
由正弦定理＝，可得b＝.
所以S△ABC＝absin C＝.
18.(1)证明 因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，
所以AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥CD.
又CD⊥AD，AA1∩AD＝A，AA1，AD⊂平面AA1D1D，
所以CD⊥平面AA1D1D，所以CD⊥AE.
因为AA1⊥AD，AA1＝AD，
所以四边形AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.
又CD∩ED＝D，CD，ED⊂平面ECD，
所以AE⊥平面ECD.
(2)解 连接CD1，AC1，点C1到平面AEC的距离即点C1到平面AD1C的距离．
在△ACD1中，AC＝2，D1A＝4，CD1＝2，
S△ACD1＝××
4＝4，
又因为AD⊥CD，AD⊥DD1，DD1∩CD＝D，DD1，CD⊂平面CDD1C1，所以AD⊥平面CDD1C1，
设点C1到平面AD1C的距离为h.
因为VC1－AD1C＝VA－C1D1C，
所以S△AD1C·h＝S△C1D1C·AD，
即4h＝4×，即h＝.
19.解 (1)＝＝3.16.
(2)当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为＝3，
其方差为
＝2.
(3)符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a，b，c，“住宿满意度”为3的3人分别记为d，e，f.从这6人中抽取2人有如下情况，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种情况．所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率P＝＝.
20.(1)解 由题意可得解得
又b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设直线l的方程为y＝－x＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，
则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，
且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，
故y1y2＝
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝，
kOPkOQ＝＝＝＝k，
即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
21.解 (1)由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝2时，f(x)＝－x2＋2x＋2(x2－x)ln x，
所以f′(x)＝－2x＋2＋2(2x－1)ln x＋2(x2－x)·＝(4x－2)ln x，
由f′(x)＞0，可得(4x－2)ln x＞0，
所以或
解得x>1或00，所以0
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