河北省2020届高三上学期一轮复习收官考试数学（文）试题

河北省2020届高三上学期一轮复习收官考试数学（文）试题

河北省“五个一”名校联盟2020届高三一轮复习收官考试数学(文)试卷 一、选择题 ‎1.( )‎ A. 0 B. 32i C. -32 D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，即可求解.‎ ‎【详解】.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查复数的指数幂运算，属于基础题.‎ ‎2.已知全集为R，集合，，则A∩B=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，再由交集定义即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.‎ ‎3.某学校组织高三年级的300名学生参加期中考试，计划从这些考生中用系统抽样的方法选取10名学生进行考场状态追踪．现将所有学生随机编号后安排在各个考场，其中001～030号在第一考场，031～060号在第二考场，…，271～300号在第十考场．若在第五考场抽取的学生编号为133，则在第一考场抽到的学生编号为( )‎ A. 003 B. ‎013 ‎C. 023 D. 017‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样原则，每相邻两组号码相隔30，即可求得结果.‎ ‎【详解】设第一考场抽到的学生编号为，‎ 则，.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查系统抽样的抽取方法，属于基础题.‎ ‎4.设变量x，y满足不等式组则的最大值等于( )‎ A. 15 B. ‎20 ‎C. 25 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，即可求出目标函数的最大值.‎ ‎【详解】作出不等式所表示的可行域，如下图示：‎ 令，当目标函数过点是，取得最大值，‎ 由，得，即点坐标为，‎ 的最大值为25.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，求线性目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎5.如图所示程序框图的功能为计算数列{2n-1}前6项的和，则判断框内应填( )‎ A. ? B. ？ C. ? D. ?‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据满足条件退出循环体，即可求解.‎ ‎【详解】程序框图的功能为计算数列{2n-1}前6项的和，‎ 故时,退出循环体.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查程序框图中的条件语句，认真审题是解题的关键，属于基础题.‎ ‎6.函数的单调增区间是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数化为，求的单调减区间，即可求解.‎ ‎【详解】，的递增区间需满足 ‎，‎ 解得.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查三角函数的单调区间，注意“”的系数为负数，要先化为正数，然后再求单调区间，属于易错题.‎ ‎7.已知双曲线渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用渐近线与圆相切，求出渐近线的斜率，再由渐近线的斜率与离心率关系，即可求解.‎ ‎【详解】圆心为，半径为1，‎ 故渐近线的斜率为，即，‎ ‎.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查直线圆的位置关系，双曲线的渐近线与离心率的关系，属于基础题,‎ ‎8.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，，则此三角形最大内角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件把用表示，判断最大边，用余弦定理求出最大边所对的角余弦，即可求解.‎ ‎【详解】， ① ‎ ‎ ②‎ 由①②可得，所以边最大，故最大内角为，‎ ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考题考查余弦定理解三角形，判断边关系是解题的关系，属于中档题.‎ ‎9.已知，则sin2α=( )‎ A. 0或1 B. 0或‎-1 ‎C. 0 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，化切为弦以及二倍角公式，求出或，再利用结合二倍角公式，即可求解.‎ ‎【详解】，可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查条件等式求三角函数值，化简是解题的关键，灵活应用诱导公式和二倍角公式化同角尤为重要，属于中档题.‎ ‎10.已知，设，，，则下列不等关系中正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先比较出大小关系，再利用余弦函数单调性，即可得结论.‎ ‎【详解】，‎ ‎，同理，，‎ 在区间上是单调递减，‎ ‎，即.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查作差法与函数的单调性比较大小，属于中档题.‎ ‎11.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图作出直观图，即可求解.‎ ‎【详解】由三视图得出三棱锥的直观图，如下图所示:‎ 其中平面，平面，‎ 可求得，‎ 在中，，‎ 可求边上的高为6，所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查三视图求三棱锥的表面积，将三视图还原为直观图是解题的关键，属于中档题 ‎12.在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=30°，，若将△ABD沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BDC外接球的表面积是( )‎ A. 4π B. 5π C. 6π D. 8π ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件折叠后，平面平面，转化为线面垂直关系，再结合球的的性质，确定球心位置，求出半径，即可求解.‎ ‎【详解】取中点，设的外心为，连，‎ 则 分别过作的平行线，交于点，‎ 即，‎ 为的外心，‎ 平面平面，平面，‎ 平面，平面，‎ 同理平面，分别为，外心，‎ 为三棱锥的外接球的球心，为其半径,‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，应用球的性质确定外接球的球心，是解题的关键，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.已知函数在点P处的切线与直线平行，则点P坐标为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用，结合在曲线上，即可求解.‎ ‎【详解】设，，‎ 当时，；当时，；‎ 故点P坐标为 .‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.‎ ‎14.桌子上有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球，2个白球，随机拿起两个球放入一个盒子中，则放入的球均是红球的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对5个球编号，列出所有随机拿起两个球取法，再求出两球都是红球取法个数，根据古典概型概率求法，即可求解.‎ ‎【详解】3个红球记为，2个白球记为，‎ 随机拿起两个球放入一个盒子所有情况，‎ ‎，‎ 共有10种取法，其中都是红球有3种，‎ 放入的球均是红球的概率为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率求法，属于基础题.‎ ‎15.若是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量方向上的投影为________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数量的积的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】向量在向量方向上的投影为.‎ 故答案为:-1‎ ‎【点睛】本题考查向量的投影，转化为向量的数量积和模长来计算是解决问题的关键，属于基础题.‎ ‎16.已知F为双曲线的左焦点，M，N为C上的点，点D(5，0)满足，向量的模等于实轴长的2倍，则△MNF的周长为________．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ D(5，0)为双曲线的右焦点，，直线过右焦点且与右支交于两点，利用双曲线的定义，即可求出结论.‎ ‎【详解】M，N为C上的点，点D(5，0)满足，‎ 所以直线过右焦点且与右支交于两点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 周长为36.‎ 故答案为:36‎ ‎【点睛】本题考查双曲线定义在解题的中应用，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.下表列出了10名5至8岁儿童的体重x(单位kg)(这是容易测得的)和体积y(单位dm3)(这是难以测得的)，绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合y与x的关系：‎ 体重x ‎17.00 10.50 13.80 15.70 11.90 10.20 15.00 17.80 16.00 12.10‎ 体积y ‎16. 70 10.40 13.50 15.70 11.60 10.00 14.50 17.50 15.40 11.70‎ ‎(1)求y关于x的线性回归方程(系数精确到0.01)；‎ ‎(2)某5岁儿童的体重为‎13.00kg，估测此儿童的体积．‎ 附注：参考数据：，，，，‎ ‎，，137×14=1918.00．‎ 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中提供的公式以及数据，即可求解；‎ ‎（2）将代入（1）中回归方程，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）由参考公式和参考数据可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）将某5岁儿童的体重代入回归方程得：‎ ‎，‎ 所以预测此儿童的体积是.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程，以及应用回归方程进行预测，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.已知数列是等比数列，其前n项和．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据前n项和与通项关系，即可求解；‎ ‎（2）求出的通项公式，用错位相减法或裂项相消法求其和.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时，，‎ 因为数列是等比数列，‎ ‎，‎ 解得；‎ ‎（2），‎ 则，‎ ‎= ，‎ ‎ =，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查前项和与通项的关系以及等比数列的通项公式，考查错位相减法求前项和，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎19.如图所示，已知在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，且．‎ ‎(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；‎ ‎(2)若点M是线段PB的中点，且PA⊥AB，求四面体MPAC的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可证，结合，可证平面，即可证结论；‎ ‎（2）点M是线段PB的中点，四面体MPAC的体积等于四面体体积的一半，利用（1）中的结论，求出面积，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）在平面内，过点作，垂足为，‎ 由已知，在四边形中，‎ 所以四边形是正方形，所以，‎ ‎，‎ 又平面，‎ 平面，平面，‎ 平面平面；‎ ‎（2）由题意知，为中点，‎ 所以到平面的距离等于，‎ ‎，由（1）得平面，‎ ‎，又平面，‎ 平面，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，要注意平面图形中垂直的隐含条件的挖掘，考查四面体的体积，要充分利用等体积转化，属于中档题.‎ ‎20.已知平面内一个动点M到定点F(3，0)的距离和它到定直线l：x=6的距离之比是常数．‎ ‎(1)求动点M的轨迹T的方程；‎ ‎(2)若直线l：x+y-3=0与轨迹T交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线与T交于C，D两点，试问A，B，C，D是否在同一个圆上?若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）四点共圆，圆方程为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按求轨迹方法，把条件用数学关系式表示，化简，即可求解；‎ ‎（2）先求出直线与椭圆交点坐标，再求出直线垂直平分线方程，若四点共圆，此圆以为直径，故只需证明中点与的距离是否等于.‎ ‎【详解】（1）设是点到直线的距离，的坐标为，‎ 由题意，所求的轨迹集合是，‎ 由此得，化简得T：；‎ ‎（2）将直线方程与椭圆方程联立，由，‎ 得，中点，‎ 的垂直平分线方程为，‎ 由消去得，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 设线段的中点为，则，‎ ‎，所以，‎ ‎，‎ 所以四点在以为圆心，以为半径的圆上，‎ 此圆方程为.‎ ‎【点睛】本题考查用直译法求轨迹方程，考查直线与椭圆的相交关系，考查四点是否共圆，注意韦达定理、圆的性质的合理运用，属于中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若恰有两个极值点，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，为常数函数，无单调性；当时，单调增区间是，单调减区间是；当时，单调增区间是，单调减区间是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导，对分类讨论，即可求解；‎ ‎（2）函数有两个极值点，转化为导函数在定义域内有两个不同的零点，通过分离参数，构造新函数，把两个零点转为新函数的图像与直线有两个交点，利用求导作出新函数的图像，即可求解.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，常数函数，无单调性；‎ 当时，令；‎ 当时，令；‎ 综上所述，当时，为常数函数，无单调性；‎ 当时，单调增区间是，单调减区间是；‎ 当时，单调增区间是，单调减区间是； ‎ ‎（2）由题意，的定义域为，‎ 且，若在上有两个极值点，‎ 则在上有两个不相等的实数根，‎ 即 ①有两个不相等的正的实数根，‎ 当时，不是的实数根，‎ 当时，由①式可得，‎ 令，，‎ 单调递增，又；‎ 单调递增，且；‎ 单调递减，且；‎ 因为；‎ 所以左侧，；‎ 右侧，；‎ ‎，；‎ 所以函数的图像如图所示：‎ 要使在上有两个不相等的实数根，‎ 则 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的单调性、函数的图像、函数的零点，分离参数构造函数是解题的关键，考查分类讨论、等价转化等数学方法，考查数形结合思想，是一道较难的综合题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线(α为参数)经过伸缩变换得到曲线C2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C2的普通方程；‎ ‎(2)设曲线C3的极坐标方程为，且曲线C3与曲线C2相交于M，N两点，点P(1，0)，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将方程消去参数化为普通方程，根据坐标伸缩关系，即可求得结论；‎ ‎（2）将C3的极坐标方程化为直角坐标方程，点P在曲线C3上，再将C3化为过定P(1，0)的直线参数方程，代入曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由 ‎，代入，得 的普通方程是；‎ ‎（2）由，得的普通方程为，‎ 点在曲线上，且此直线的倾斜角为，‎ 所以的参数方程为为参数），‎ 将的参数方程代入曲线得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程普通方程互化，伸缩变换后的曲线方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查应用直线参数的几何意义求解线段长度问题，属于中档题.‎ ‎23.设不等式的解集与关于x的不等式的解集相同．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)求函数的最大值．‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论去绝对值，求出的解，利用一元二次不等式的解与二次函数的关系，即可求出值；‎ ‎（2）利用柯西不等式即可求解.‎ ‎【详解】（1）当时，不等式 可化为；‎ 当时，不等式 可化为；‎ 当时，不等式 可化为；‎ 综上所述，原不等式的解集为；‎ 所以的解集为，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）知定义域为，且，‎ ‎，‎ 当且仅当时，‎ 即时，函数有最大值.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解与二次函数的关系，考查利用柯西不等式求最值，所以中档题.‎