【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第九章第六讲　圆锥曲线的综合问题作业

【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第九章第六讲　圆锥曲线的综合问题作业

第六讲　圆锥曲线的综合问题 ‎1.[2020广东七校第二次联考]已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎3‎‎2‎,焦距为2‎3‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若斜率为-‎1‎‎2‎的直线与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),O为坐标原点,证明:直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列.‎ ‎2.[2020广东四校联考]设斜率不为0的直线l与抛物线x2=4y交于A,B两点,与椭圆x‎2‎‎6‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1交于C,D两点,记直线OA,OB,OC,OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,k3,k4.‎ ‎(1)若直线l过点(0,4),证明:OA⊥OB;‎ ‎(2)求证:k‎1‎‎+‎k‎2‎k‎3‎‎+‎k‎4‎的值与直线l的斜率的大小无关.‎ ‎3.[2020成都市高三摸底测试]已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-‎3‎,0),F2(‎3‎,0),且经过点A(‎3‎,‎1‎‎2‎).‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,记点P关于x轴对称的点为P',若直线P'Q与x轴相交于点D,求△DPQ面积的最大值.‎ ‎4.[2019安徽五校二检]已知点A,B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧),且|AB|=a(a>0),过点A,B分别作x轴的垂线,与抛物线y2=2px(p>0)在第一象限分别交于D,C两点.‎ ‎(1)若a=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合,求直线CD的斜率;‎ ‎(2)若O为坐标原点,△OCD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求S‎1‎S‎2‎的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎5.[2020贵阳市高三摸底测试]已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F1(-‎3‎,0),且椭圆C经过点P(‎3‎,‎1‎‎2‎).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设椭圆C与y轴的正半轴交于点D,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点(l不经过点D),且AD⊥BD,证明:直线l经过定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎6.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是椭圆上任意一点,且△MF1F2的周长为4+2‎2‎,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设直线l是圆O :x2+y2=‎4‎‎3‎在动点P(x0,y0)(x0·y0≠0)处的切线,l与椭圆C交于不同的两点Q,R,证明:∠QOR的大小为定值.‎ ‎7.[2020广东七校联考]已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=8x上相异的两点,且满足x1+x2=4.‎ ‎(1)若直线AB经过点F(2,0),求|AB|的值;‎ ‎(2)是否存在直线AB,使得线段AB的垂直平分线交x轴于点M,且|MA|=4‎2‎?若存在,求直线AB的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎8.[2019福建福州质检]已知圆O:x2+y2=r2(r>0),椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的短半轴长等于圆O的半径,且过椭圆C的右焦点的直线l0与圆O相切于点D(‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若动直线l与圆O相切,且与椭圆C相交于不同的两点A,B,求点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值.‎ ‎9.[创新题]椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率e=‎6‎‎3‎.‎ ‎(1)设E是直线y=x+2与椭圆的一个交点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程.‎ ‎(2)已知N(0,1),是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A,B,使得点N在线段AB的垂直平分线上?若存在,求出直线l在y轴上截距的范围;若不存在,说明理由.‎ ‎10.[2019湖北武汉联考][交汇题]已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎1‎‎2‎,半焦距为c,过点B(a,-c)作x轴,y轴的垂线,垂足分别为B1,B2,且四边形OB1BB2(O为坐标原点)的面积为2.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)已知经过点B的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,设直线B1M与直线B1N的倾斜角分别为α,β,且tan αtan β≠1,求tan(α+β)的取值范围.‎ 第六讲　圆锥曲线的综合问题 ‎1.(1)由题意,得ca‎=‎3‎‎2‎,‎‎2c=2‎3‎,‎解得a=2,‎c=‎3‎.‎ 又b2=a2- c2=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y2=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=- ‎1‎‎2‎x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 由y=- ‎1‎‎2‎x+m,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎消去y,得2x2- 4mx+4(m2- 1)=0.‎ 则Δ=16m2- 32(m2- 1)=16(2- m2)>0,且x1+x2=2m,x1x2=2(m2- 1).‎ 故y1y2=(- ‎1‎‎2‎x1+m)(- ‎1‎‎2‎x2+m)=‎1‎‎4‎x1x2- ‎1‎‎2‎m(x1+x2)+m2.‎ ‎∴kOP·kOQ=y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=‎1‎‎4‎x‎1‎x‎2‎‎- ‎1‎‎2‎m(x‎1‎+x‎2‎)+‎m‎2‎x‎1‎x‎2‎=‎1‎‎4‎=‎kPQ‎2‎,‎ 即直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列.‎ ‎2.由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎(1)依题意,得x‎1‎‎2‎‎=4y‎1‎,‎x‎2‎‎2‎‎=4y‎2‎,‎两式相乘得(x1x2)2=16y1y2,‎ 由直线l过点(0,4),得直线l的方程为y=kx+4,将直线l的方程代入抛物线方程x2=4y,得x2- 4kx- 16=0,易知Δ>0.‎ ‎∴x1x2=- 16,∴y1y2=16,‎ ‎∴OA·OB=x1x2+y1y2=0,‎ ‎∴OA⊥OB.‎ ‎(2)设C(x3,y3),D(x4,y4).‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎‎=4y,‎消去y得x2- 4kx- 4m=0,易知Δ>0,则x1+x2=4k,x1x2=- 4m,‎ k1+k2=y‎1‎x‎1‎‎+y‎2‎x‎2‎=x‎1‎‎4‎+‎x‎2‎‎4‎=k.‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎4‎=1,‎消去y得(2+3k2)x2+6kmx+3m2- 12=0,‎ 易知Δ=(6km)2- 4(2+3k2)(3m2- 12)>0,‎ 则x3+x4=‎- 6km‎2+3‎k‎2‎,x3x4=‎3m‎2‎- 12‎‎2+3‎k‎2‎,‎ k3+k4=y‎3‎x‎3‎‎+‎y‎4‎x‎4‎=2k‎+mx‎3‎+‎mx‎4‎=2k‎+‎m(x‎3‎+x‎4‎)‎x‎3‎x‎4‎=2k‎+‎- 6km‎2‎‎3m‎2‎- 12‎=‎‎- 8km‎2‎‎- 4‎.‎ ‎∴k‎1‎‎+‎k‎2‎k‎3‎‎+‎k‎4‎=- m‎2‎‎- 4‎‎8‎,是一个与直线l的斜率k的大小无关的值.‎ ‎3.(1)由椭圆的定义,可知2a=|AF1|+|AF2|=‎(2‎3‎‎)‎‎2‎+(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=4,解得a=2.‎ 又b2=a2- (‎3‎)2=1,‎ ‎∴椭圆C的标准方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y2=1.‎ ‎(2)由题意,设直线l的方程为x=my+4(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则P'(x1,- y1).‎ 由x=my+4,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎消去x得(m2+4)y2+8my+12=0.‎ ‎∵Δ=16(m2- 12)>0,∴m2>12.‎ 则y1+y2=‎- 8mm‎2‎‎+4‎,y1y2=‎12‎m‎2‎‎+4‎.‎ ‎∵直线P'Q的斜率kP'Q=y‎2‎‎+‎y‎1‎x‎2‎‎- ‎x‎1‎‎=‎y‎2‎‎+‎y‎1‎m(y‎2‎- y‎1‎)‎,‎ ‎∴直线P'Q的方程为y+y1=y‎2‎‎+‎y‎1‎m(y‎2‎- y‎1‎)‎(x- x1),‎ 令y=0,可得x=m(y‎2‎- y‎1‎)‎y‎1‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎+‎my1+4=‎2my‎1‎y‎2‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎+‎4=‎2m·‎‎12‎m‎2‎‎+4‎‎- 8mm‎2‎‎+4‎‎+‎4=1,‎ ‎∴D(1,0).‎ ‎∴S△DPQ=|S△BDQ- S△BDP|=‎1‎‎2‎|BD||y1- y2|=‎3‎‎2‎‎(y‎1‎+y‎2‎‎)‎‎2‎- 4‎y‎1‎y‎2‎‎=‎‎6‎m‎2‎‎- 12‎m‎2‎‎+4‎.‎ 令t=m‎2‎‎- 12‎,t∈(0,+∞),‎ 则S△DPQ=‎6tt‎2‎‎+16‎‎=‎‎6‎t+‎‎16‎t≤‎3‎‎4‎,当且仅当t=4即m=±2 ‎7‎时等号成立,‎ ‎∴△DPQ面积的最大值为‎3‎‎4‎.‎ ‎4.(1)由题意知A(p‎2‎,0),又a=p,则B(‎3p‎2‎,0),D(p‎2‎,p),C(‎3p‎2‎,‎3‎p),‎ 所以直线CD的斜率kCD=‎3‎p- p‎3p‎2‎‎- ‎p‎2‎‎=‎‎3‎- 1.‎ ‎(2)设直线CD的方程为y=kx+b(k≠0),C(x1,y1),D(x2,y2).‎ 由y=kx+b,‎y‎2‎‎=2px,‎消去x得ky2- 2py+2pb=0,‎ 易知Δ=4p2- 8pkb>0,即kb0,y1y2=‎2pbk>0,可知k>0,b>0.‎ 因为|CD|=‎1+‎k‎2‎|x1- x2|=a‎1+‎k‎2‎,‎ 点O到直线CD的距离d=‎|b|‎‎1+‎k‎2‎,‎ 所以S1=‎1‎‎2‎·a‎1+‎k‎2‎·‎|b|‎‎1+‎k‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎ab.‎ 又S2=‎1‎‎2‎(y1+y2)·|x1- x2|=‎1‎‎2‎·‎2pk·a=apk,‎ 所以S‎1‎S‎2‎‎=‎kb‎2p.‎ 因为0b>0),焦距为2c,另一个焦点为F2,‎ 则c=‎3‎,F2(‎3‎,0).‎ 在Rt△PF2F1中,|PF1|=‎|F‎1‎F‎2‎‎|‎‎2‎+|PF‎2‎‎|‎‎2‎‎=‎‎7‎‎2‎.‎ 由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=‎7‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=4,则a=2,b=a‎2‎‎- ‎c‎2‎=1,‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y2=1.‎ ‎(2)由(1)得D(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1,‎消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2- 4=0,易知Δ>0,‎ 则x1+x2=‎- 8km‎1+4‎k‎2‎,x1x2=‎4m‎2‎- 4‎‎1+4‎k‎2‎,‎ y1+y2=k(x1+x2)+2m=‎2m‎1+4‎k‎2‎,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=m‎2‎‎- 4‎k‎2‎‎1+4‎k‎2‎.‎ 由AD⊥BD得DA·DB=x1x2+(y1- 1)(y2- 1)=0,即‎5m‎2‎- 2m- 3‎‎1+4‎k‎2‎=0,‎ 所以5m2- 2m- 3=0,解得m=1或m=- ‎3‎‎5‎.‎ 当m=1时,直线l经过点D,舍去.‎ 当m=- ‎3‎‎5‎时,直线l的方程为y=kx- ‎3‎‎5‎,‎ 所以直线l经过定点,且该定点的坐标为(0,- ‎3‎‎5‎).‎ ‎6.(1)因为以坐标原点O为圆心,椭圆C的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点,所以b=c,可得a=‎2‎c.因为△MF1F2的周长为4+2‎2‎,所以a+c=2‎+‎‎2‎,所以c=‎2‎,a=2,b=‎2‎,所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)解法一　由题意知,直线l的斜率存在且不为0,设Q(x1,y1),R(x2,y2),直线l的方程为y=kx+m.‎ 因为l为圆O的切线,所以‎|m|‎‎1+‎k‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎,即3m2=4+4k2　①.‎ 将y=kx+m与椭圆方程联立,消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2- 4=0,易知Δ>0,‎ 所以x1+x2=‎- 4km‎2k‎2‎+1‎,x1x2=‎2m‎2‎- 4‎‎2k‎2‎+1‎,‎ x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=‎3m‎2‎- 4k‎2‎- 4‎‎2k‎2‎+1‎　②.‎ 由①②得x1x2+y1y2=0,所以OQ⊥OR,∠QOR=π‎2‎,即∠QOR的大小为定值.‎ 解法二　由题意知,直线l的方程为x0x+y0y=‎4‎‎3‎,且x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=‎‎4‎‎3‎.记Q(x1,y1),R(x2,y2).‎ 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1,‎x‎0‎x+y‎0‎y=‎4‎‎3‎,‎消去y得(y‎0‎‎2‎‎+‎2x‎0‎‎2‎)x2- ‎16‎‎3‎x0x‎+‎‎32‎‎9‎- 4y‎0‎‎2‎=0,易知Δ>0,‎ 所以x1+x2=‎16‎‎3‎x‎0‎y‎0‎‎2‎‎+2‎x‎0‎‎2‎,x1x2=‎32‎‎9‎‎- 4‎y‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎‎+2‎x‎0‎‎2‎,‎ y1y2=‎1‎y‎0‎‎2‎(‎4‎‎3‎‎ ‎- x0x1)(‎4 ‎‎3‎‎ ‎- x0x2)=‎1‎y‎0‎‎2‎[‎16‎‎9‎‎-‎‎4‎‎3‎x0(x1+x2)‎+‎x‎0‎‎2‎x1x2]=‎16‎‎9‎‎- 4‎x‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎‎+2‎x‎0‎‎2‎,‎ 从而x1x2+y1y2=‎32‎‎9‎‎- 4‎y‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎‎+2‎x‎0‎‎2‎‎+‎16‎‎9‎‎- 4‎x‎0‎‎2‎y‎0‎‎2‎‎+2‎x‎0‎‎2‎=‎16‎‎3‎‎- 4(x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎)‎y‎0‎‎2‎‎+2‎x‎0‎‎2‎=‎‎16‎‎3‎‎- ‎‎16‎‎3‎y‎0‎‎2‎‎+2‎x‎0‎‎2‎=0,‎ 所以OQ⊥OR,∠QOR=π‎2‎,即∠QOR的大小为定值.‎ ‎7.(1)解法一　①若直线AB的斜率不存在,则直线AB的方程为x=2.‎ 由y‎2‎‎=8x,‎x=2,‎解得x=2,‎y=4‎或x=2,‎y=- 4,‎ 即A(2,4),B(2,- 4)或A(2,- 4),B(2,4),‎ 所以|AB|=8.‎ ‎②若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x- 2)(k≠0),‎ 由y‎2‎‎=8x,‎y=k(x- 2),‎消去y得k2x2- (4k2+8)x+4k2=0,Δ>0,‎ 故x1+x2=‎4k‎2‎+8‎k‎2‎=4,无解.‎ 综上,可得|AB|=8.‎ 解法二　直线AB过抛物线y2=8x的焦点F(2,0),根据抛物线的定义,得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=8.‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线AB,设直线AB的方程为y=mx+b(m≠0),‎ 由y‎2‎‎=8x,‎y=mx+b,‎消去y,得m2x2+(2mb- 8)x+b2=0　(*),‎ 故x1+x2=- ‎2mb- 8‎m‎2‎=4,‎ 所以b=‎4‎m- 2m.‎ 所以x1x2=b‎2‎m‎2‎=(‎4‎m‎2‎- 2)2.‎ 所以|AB|=‎1+‎m‎2‎|x1- x2|=‎1+‎m‎2‎·‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎- 4‎x‎1‎x‎2‎‎=‎(1+m‎2‎)[‎4‎‎2‎- 4(‎4‎m‎2‎- 2‎)‎‎2‎]‎=‎‎8‎m‎4‎‎- 1‎m‎2‎.‎ 因为y1+y2=m(x1+x2)+2b=4m+2b=‎8‎m,所以线段AB的中点为C(2,‎4‎m).‎ 所以线段AB的垂直平分线方程为y- ‎4‎m=- ‎1‎m(x- 2),即x+my- 6=0.‎ 令y=0,得x=6,所以点M的坐标为(6,0).‎ 所以点M到直线AB的距离|CM|=‎(6- 2‎)‎‎2‎+‎‎16‎m‎2‎‎=‎‎4‎m‎2‎‎+1‎‎|m|‎.‎ 易知|MA|2=(‎|AB|‎‎2‎)2+|CM|2,‎ 所以(4‎2‎)2=(‎4‎m‎4‎‎- 1‎m‎2‎)2+(‎4‎m‎2‎‎+1‎‎|m|‎)2,解得m=±1.‎ 当m=1时,b=2;当m=- 1时,b=- 2.‎ 将m=1,‎b=2‎和m=- 1,‎b=- 2‎分别代入(*)式检验,得Δ=0,不符合题意.‎ 故假设不成立,即不存在符合题意的直线AB.‎ ‎8.(1)解法一　由题意知r2=(‎1‎‎2‎)2+(‎3‎‎2‎)2=1,所以b=1.‎ 易知过点D与圆O相切的直线l0的方程为y- ‎3‎‎2‎=- ‎3‎‎3‎(x- ‎1‎‎2‎),即x‎+‎‎3‎y- 2=0.‎ 令y=0,得x=2,即c=2,从而a2=b2+c2=5.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎5‎‎+‎y2=1.‎ 解法二　由题意知r2=(‎1‎‎2‎)2+(‎3‎‎2‎)2=1,所以b=1.‎ 设椭圆的右焦点坐标为(c,0),则过该点与圆O相切于点D(‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎)的直线l0的方程为y- ‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎‎1‎‎2‎‎- c(x- ‎1‎‎2‎),化简得‎3‎x- (1- 2c)y- ‎3‎c=0.‎ 又点O到直线l0的距离等于半径1,即‎|- ‎3‎c|‎‎(‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎[- (1- 2c)]‎‎2‎=1,解得c=2,从而a2=b2+c2=5.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎5‎‎+‎y2=1.‎ ‎(2)设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d.‎ 若直线l⊥x轴,则弦AB的垂直平分线与x轴重合,所以d=0;‎ 若直线l⊥y轴,则l与C只有一个交点,不符合题意.‎ 解法一　若直线l不与坐标轴垂直,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 因为直线l与圆O相切,所以‎|m|‎‎1+‎k‎2‎=1,即|m|=‎1+‎k‎2‎.‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎‎5‎‎+y‎2‎=1,‎消去y得(1+5k2)x2+10kmx+5m2- 5=0.易知Δ>0.‎ 则x1+x2=- ‎10km‎1+5‎k‎2‎,y1+y2=k(x1+x2)+2m=‎2m‎1+5‎k‎2‎,‎ 弦AB的中点的坐标为(- ‎5km‎1+5‎k‎2‎,m‎1+5‎k‎2‎),‎ 所以弦AB的垂直平分线的方程为y- m‎1+5‎k‎2‎=- ‎1‎k(x‎+‎‎5km‎1+5‎k‎2‎),即x+ky‎+‎‎4km‎1+5‎k‎2‎=0,‎ 所以点O到弦AB的垂直平分线的距离d=‎|‎4km‎1+5‎k‎2‎|‎‎1+‎k‎2‎.将|m|=‎1+‎k‎2‎代入上式,得d=‎|4k|‎‎1+5‎k‎2‎‎=‎‎4‎‎1‎‎|k|‎‎+5|k|‎≤‎4‎‎2‎‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,当且仅当|k|=‎5‎‎5‎,|m|=‎30‎‎5‎时,等号成立.‎ 综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值为‎2‎‎5‎‎5‎.‎ 解法二　若直线l不与坐标轴垂直,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点M(x0,y0).‎ 易知x0≠0,y0≠0,由点A,B在椭圆上,得x‎1‎‎2‎‎5‎‎+y‎1‎‎2‎=1　①,‎x‎2‎‎2‎‎5‎‎+y‎2‎‎2‎=1　②,‎ 由①- ②,得‎1‎‎5‎(x1- x2)(x1+x2)+(y1- y2)(y1+y2)=0,故kAB=y‎1‎‎- ‎y‎2‎x‎1‎‎- ‎x‎2‎=- ‎1‎‎5‎·x‎1‎‎+‎x‎2‎y‎1‎‎+‎y‎2‎=- x‎0‎‎5‎y‎0‎.‎ 则直线l的方程为y- y0=- x‎0‎‎5‎y‎0‎(x- x0),化简得x0x+5y0y- x‎0‎‎2‎- 5y‎0‎‎2‎=0.‎ 因为直线l与圆O相切,所以1=‎|- x‎0‎‎2‎- 5y‎0‎‎2‎|‎x‎0‎‎2‎‎+25‎y‎0‎‎2‎,即x‎0‎‎2‎‎+‎5y‎0‎‎2‎‎=‎x‎0‎‎2‎‎+25‎y‎0‎‎2‎.‎ 易知弦AB的垂直平分线的方程为y- y0=‎5‎y‎0‎x‎0‎(x- x0),即5y0x- x0y- 4x0y0=0.‎ 所以点O到弦AB的垂直平分线的距离d=‎|- 4x‎0‎y‎0‎|‎x‎0‎‎2‎‎+25‎y‎0‎‎2‎‎=‎|4x‎0‎y‎0‎|‎x‎0‎‎2‎‎+5‎y‎0‎‎2‎=‎‎4‎‎|x‎0‎y‎0‎|+|‎5‎y‎0‎x‎0‎|‎≤‎4‎‎2‎‎5‎‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎,当且仅当x‎0‎‎2‎=5y‎0‎‎2‎且x‎0‎‎2‎‎+‎5y‎0‎‎2‎‎=‎x‎0‎‎2‎‎+25‎y‎0‎‎2‎时,等号成立.‎ 综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值为‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎9.(1)∵e=‎6‎‎3‎,∴b‎2‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎3‎,椭圆的方程可化为x‎2‎‎3‎b‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1.‎ 由x‎2‎‎3‎b‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1,‎y=x+2,‎消去y化简得4x2+12x+12- 3b2=0,由Δ=144- 16×(12- 3b2)≥0,解得b2≥1,即b≥1,‎ ‎∴|EF1|+|EF2|=2a=2‎3‎b≥2‎3‎,当且仅当b=1时,|EF1|+|EF2|取得最小值,为2‎3‎,‎ ‎∴|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程为x‎2‎‎3‎‎+‎y2=1.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为t.‎ 当k=0时,直线l的方程为y=t,易知- 10,即t2<1+3k2.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q,‎ 则x1+x2=- ‎6kt‎1+3‎k‎2‎,x1x2=‎3t‎2‎- 3‎‎1+3‎k‎2‎,y1+y2=k(x1+x2)+2t=‎2t‎1+3‎k‎2‎,∴线段AB的中点Q的坐标为(‎- 3kt‎1+3‎k‎2‎,t‎1+3‎k‎2‎),‎ 由题意知,直线NQ的斜率为- ‎1‎k,即t‎1+3‎k‎2‎‎- 1‎‎- 3kt‎1+3‎k‎2‎=- ‎1‎k,化简得1+3k2=- 2t,代入t2<1+3k2得t2<- 2t,解得- 21,∴t<- ‎1‎‎2‎,故- 2b>0)的离心率为‎1‎‎2‎,得ca‎=‎‎1‎‎2‎　②.‎ 由①②解得a=2,c=1,所以b2=a2- c2=3.‎ 所以椭圆C的标准方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)由(1)得B1(2,0),B(2,- 1).‎ 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,‎ 直线l与椭圆x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1相切,不符合题意.‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x- 2)(k≠0),‎ 由y+1=k(x- 2),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎消去y并整理得(4k2+3)x2- (16k2+8k)x+16k2+16k- 8=0,‎ 则Δ=‎(16k‎2‎+8k)‎‎2‎- 4(4k2+3)(16k2+16k- 8)=- 192k+96>0,解得k<‎1‎‎2‎.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=‎16k‎2‎+8k‎4k‎2‎+3‎,x1x2=‎16k‎2‎+16k- 8‎‎4k‎2‎+3‎.‎ 所以kB‎1‎M‎+kB‎1‎N=y‎1‎x‎1‎‎- 2‎+y‎2‎x‎2‎‎- 2‎=k(x‎1‎- 2)- 1‎x‎1‎‎- 2‎+‎k(x‎2‎- 2)- 1‎x‎2‎‎- 2‎=2k- (‎1‎x‎1‎‎- 2‎‎+‎‎1‎x‎2‎‎- 2‎)=2k- x‎1‎‎+x‎2‎- 4‎‎(x‎1‎- 2)(x‎2‎- 2)‎=2k- x‎1‎‎+x‎2‎- 4‎x‎1‎x‎2‎‎- 2(x‎1‎+x‎2‎)+4‎=2k- ‎16k‎2‎+8k‎4k‎2‎+3‎‎- 4‎‎16k‎2‎+16k- 8‎‎4k‎2‎+3‎‎- 2×‎16k‎2‎+8k‎4k‎2‎+3‎+4‎=2k+3- 2k=3,‎ 即tan α+tan β=3.‎ tan αtan β=y‎1‎x‎1‎‎- 2‎·y‎2‎x‎2‎‎- 2‎=(k- ‎1‎x‎1‎‎- 2‎)(k- ‎1‎x‎2‎‎- 2‎)=k2- k(‎1‎x‎1‎‎- 2‎‎+‎‎1‎x‎2‎‎- 2‎)‎+‎‎1‎‎(x‎1‎- 2)(x‎2‎- 2)‎=k2- k(x‎1‎+x‎2‎)- 4k- 1‎x‎1‎x‎2‎‎- 2(x‎1‎+x‎2‎)+4‎=k2- k·‎16k‎2‎+8k‎4k‎2‎+3‎- 4k- 1‎‎16k‎2‎+16k- 8‎‎4k‎2‎+3‎‎- 2·‎16k‎2‎+8k‎4k‎2‎+3‎+4‎=k2- k(16k‎2‎+8k)- (4k+1)(4k‎2‎+3)‎‎16k‎2‎+16k- 8- 2(16k‎2‎+8k)+4(4k‎2‎+3)‎=k2- ‎4k‎2‎- 12k- 3‎‎4‎=3k‎+‎‎3‎‎4‎,‎ 因为tan αtan β≠1,‎ 所以k≠‎1‎‎12‎.‎ 所以tan(α+β)=tanα+tanβ‎1- tanαtanβ‎=‎3‎‎1- (3k+‎3‎‎4‎)‎=‎‎12‎‎1- 12k,‎ 又k<‎1‎‎2‎,所以tan(α+β)的取值范围为(- ∞,- ‎12‎‎5‎)∪(0,+∞).‎