四川省绵阳市南山中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学文试题

四川省绵阳市南山中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学文试题

‎2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　)‎ A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，直线l的斜率等于，设出直线的倾斜角，由倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围可求直线的倾斜角.‎ ‎【详解】直线l的斜率的绝对值等于，‎ 线l的斜率等于，设直线的倾斜角为，则，‎ 则或，‎ ‎60°或120°.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的取值范围，体现了分类讨论的数学思想.‎ ‎2.圆的半径为（ ）‎ A. 1 B. 3 C. 2 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 配方化标准方程，即可求解.‎ ‎【详解】圆的标准方程为，则半径为1，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程互化，属于基础题.‎ ‎3.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 抛物线的标准方程为所以准线方程为 ‎4.直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化方程为斜截式即可.‎ ‎【详解】直线用斜截式表示为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的互化，属于基础题.‎ ‎5.在空间直角坐标系中，点关于平面yOz对称的点的坐标是（ ）‎ A. 4， B. ‎ C. 4， D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称关系，即可求解.‎ ‎【详解】空间直角坐标系中，点关于平面yOz对称的点的坐标是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查空间直角坐标的对称问题，对于常考的对称关系要熟练掌握，属于基础题.‎ ‎6.经过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两直线的交点，利用垂直关系设出所求直线方程，即可求解.‎ ‎【详解】联立可得，，即交点，‎ 设与直线垂直的直线方程是，‎ 把点代入可得：，解得．‎ 要求的直线方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查两直线的位置关系，涉及相交、垂直问题，属于基础题.‎ ‎7.设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 问题转化为圆心到直线的距离，即可求解.‎ ‎【详解】圆的圆心坐标为，半径，‎ 圆心C到直线的距离，‎ 圆上的点到直线距离的最小值为．‎ 即从村庄外围到小路的最短距离为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离最小值，考查数形结合思想转化为圆心到直线的距离，属于基础题.‎ ‎8.椭圆与具有相同的（ ）‎ A. 长轴 B. 焦点 C. 离心率 D. 顶点 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为标准方程，与按选项逐项对比，即可求解.‎ ‎【详解】椭圆的离心率为：；‎ 标准方程，‎ 的离心率为：，‎ 所以椭圆与具有相同的离心率．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，化标准方程是关键，属于基础题.‎ ‎9.已知圆的圆心为C及点，则过M且使圆心C到它的距离最大的直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何关系，到直线l的距离的最大值为，即可求解.‎ ‎【详解】由题意可知，到直线l的距离，‎ 当时，为所求距离的最大值，‎ ‎，‎ 所以所求直线的斜率，‎ 直线方程为即，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查圆心与过定点的直线距离的最大值，利用点与直线距离的平面几何性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则 ‎△OAB的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.‎ 考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.‎ ‎11.已知分别为双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点,所以 代入得:,当且仅当时取等号,即,又点是双曲线左支上任意一点,所以,即，.‎ 考点：双曲线的几何定义及双曲线的性质和均值不等式.‎ ‎12.已知抛物线：的焦点为，点，直线与抛物线交于点（在第一象限内)，与其准线交于点，若，则点到轴距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作抛物线准线的垂线，垂足为．根据三角形相似可得直线的倾斜角为，从而斜率为，进而可求得，于是可求得点的纵坐标，根据点在曲线上可得其横坐标，即为所求．‎ ‎【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为，设准线与y轴交于点．‎ 过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴,‎ ‎∴直线的倾斜角为，‎ ‎∴，解得．‎ 又由得，即，‎ ‎∴．‎ 设，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又点第一象限，‎ ‎∴，即点到轴距离为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线定义的运用和平面几何图形的性质，解题的关键是根据平面图形的性质得到直线的倾斜角，进而得到参数，然后再根据定义进行转化后可得所求距离，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.如果直线l与直线垂直，则直线l的斜率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出已知直线的斜率，利用两直线垂直的关系，即可求解.‎ ‎【详解】直线l与直线垂直，‎ 且的斜率，‎ 则直线l的斜率．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查两直线的位置关系，属于基础题.‎ ‎14.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，‎ 代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+64 k2-64k-20=0，‎ ‎∴，解得 k=-，故直线l的方程为 x+2y-8=0‎ 考点：直线与圆锥曲线的关系 ‎15.从点作圆的切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用切线的性质，可得在以（为已知圆的圆心）直径的圆上，AB就为两圆的相交弦，求出两圆的相交弦方程即可求解.‎ ‎【详解】圆的圆心为，半径为2，‎ 以、为直径的圆的方程为 ‎，‎ 化为一般方程是；‎ 将两圆的方程相减可得公共弦AB的直线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查圆的切线性质，两圆的位置关系，考查等价转化思想，属于中档题.‎ ‎16.设，是椭圆C：的左、右焦点，过的直线l与C交于A，B两点．若，且：：3，则椭圆的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件设出，结合椭圆的定义，把用表示，即可求解.‎ ‎【详解】设，，因，则，‎ 由椭圆的定义得，即，，‎ 所以，，‎ 则椭圆的离心率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质，椭圆离心率的求解，利用椭圆的定义是解题的关键，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知圆过两点，，且圆心在直线上，求此圆的标准方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆心为的垂直平分线与直线的交点，即可求解.‎ ‎【详解】由已知得：AB的垂直平分线方程为：‎ 代入直线得圆心：，‎ 又半径，‎ 则圆方程为：‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程，确定圆心位置是解题的关键，属于基础题.‎ ‎18.已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．‎ ‎(1)若l1∥l2，求b的取值范围；‎ ‎(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．‎ ‎【答案】（1）(－∞，－6)∪(－6,0]‎ ‎（2）2‎ ‎【解析】‎ 解：(1)因为l1∥l2，‎ 所以－b－(a2＋1)a2＝0，‎ 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2‎ ‎＝－(a2＋)2＋．‎ 因为a2≥0，所以b≤0．‎ 又因为a2＋1≠3，所以b≠－6．‎ 故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．‎ ‎(2)因为l1⊥l2，‎ 所以(a2＋1)－a2b＝0．‎ 显然a≠0，所以ab＝a＋，‎ ‎|ab|＝|a＋|≥2，‎ 当且仅当a＝±1时等号成立，‎ 因此|ab|的最小值为2．‎ ‎19.已知抛物线C的顶点在原点，且其准线为．‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）如果直线l的方程为：，且其与抛物线C交于A，B两点，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线的准线方程，即可求出抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）设直线与y轴的交点为D，，，联立直线与抛物线方程，即可求解.‎ ‎【详解】（1）可设抛物线的方程为，，‎ 准线方程为，由抛物线的准线方程为，‎ 可得，则抛物线方程为；‎ ‎（2）联立得，‎ 设，，可得，，‎ ‎，‎ 设直线与y轴的交点为D，则，‎ 又抛物线的焦点坐标为，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的关系，属于基础题.‎ ‎20.已知双曲线C：的上焦点为．‎ ‎（1）若双曲线C是等轴双曲线，且，求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若经过原点且倾斜角为的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件，以及，即可求解；‎ ‎（2）由已知条件求出点坐标，利用双曲线的定义求出关系，求出离心率，再由离心，进而求出渐近线方程.‎ ‎【详解】（1）由双曲线为等轴双曲线，则，‎ 又，则，，‎ 故双曲线的标准方程为；‎ ‎（2）由题意得，又OA的倾斜角为，，‎ 则，‎ 又，则，‎ 则渐近线方程为：‎ ‎【点睛】本题考查等轴双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，解题中要合理应用双曲线的定义，要注意双曲线焦点的位置，属于基础题.‎ ‎21.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13;圆弧C2过点A(29,0).‎ ‎(1)求圆弧C2的方程.‎ ‎(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (x-14)2+y2=225(5≤x≤29) (2) 不存在，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5, -12).‎ 则线段AM中垂线的方程为y-6=2(x-17),令y=0,得圆弧C2所在圆的圆心为(14,0),‎ 又圆弧C2所在圆的半径为r2=29-14=15,所以圆弧C2的方程为(x-14)2+y2=225(5≤x≤29).‎ ‎(2)假设存在这样的点P(x,y),‎ 则由PA=PO,得x2+y2+2x-29=0,‎ 由 解得x=-70(舍去).‎ 由 解得x=0(舍去),‎ 综上知,这样的点P不存在.‎ ‎【误区警示】求圆弧C2的方程时经常遗漏x的取值范围,其错误原因是将圆弧习惯认为或误认为圆.‎ ‎22.已知椭圆的两个焦点分别是，，且点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于异于的不同两点，，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由焦距得，又椭圆经过点，代入求解即可；‎ ‎（2）由题意，直线斜率不等于0，设直线的方程为，，，直线与椭圆联立得，，点到直线的距离为，的面积 ，利用韦达定理带入得，令，则即可的最值.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意，焦距，∴，‎ ‎∴椭圆.‎ 又椭圆经过点，∴，‎ 解得或(舍)，∴.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)由(1)，得点，‎ 由题意，直线的斜率不等于0，设直线的方程为，，，‎ 联立，消去，得，‎ ‎∴，‎ ‎，，‎ ‎∵，‎ 化简，得，‎ 又点到直线的距离为，‎ ‎∴的面积 ，‎ 令，则，‎ 而函数在时单调递增，‎ ‎∴在时单调递减，‎ ‎∴当时即时，的面积有最大值.‎ 点睛：圆锥曲线最值与范围问题的常见求法：‎ ‎(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；‎ ‎(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：‎ ‎①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎③利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎