高中数学必修5第1章1_1_2同步训练及解析

高中数学必修5第1章1_1_2同步训练及解析

人教A高中数学必修5同步训练 ‎1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是(　　)‎ A．8　　　　　　　　　 B．2 C．6 D．2 解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝2.‎ ‎2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为(　　)‎ A. B. C. D．－ 解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcos C ‎＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19.‎ ‎∴c＝.‎ 由＝得sin A＝.‎ ‎3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．‎ 解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为‎2a，故顶角的余弦值为＝.‎ 答案： ‎4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．‎ 解：法一：根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B.‎ ‎∵B＝60°，2b＝a＋c，‎ ‎∴()2＝a2＋c2－2accos 60°，‎ 整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.‎ ‎∴△ABC是正三角形．‎ 法二：根据正弦定理，‎ ‎2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.‎ 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，‎ ‎∴C＝120°－A，‎ ‎∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，‎ 整理得sin(A＋30°)＝1，‎ ‎∴A＝60°，C＝60°.‎ ‎∴△ABC是正三角形．‎ 课时训练 一、选择题 ‎1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)‎ A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝ 解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．‎ ‎2．在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C．0 D. 解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝＝0.‎ ‎3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是(　　)‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．‎ ‎4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为(　　)‎ A. B. C. D.或 解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，‎ ‎∴cos A＝＝－，‎ 又∵0＜A＜π，∴A＝，故选C.‎ ‎5．在△ABC中，下列关系式 ‎①asin B＝bsin A ‎②a＝bcos C＋ccos B ‎③a2＋b2－c2＝2abcos C ‎④b＝csin A＋asin C 一定成立的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．‎ ‎6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝‎2a，则cos B等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.∵b2＝ac，c＝‎2a，‎ ‎∴b2＝‎2a2，‎ ‎∴cos B＝＝ ‎＝.‎ 二、填空题 ‎7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.‎ 解析：由余弦定理，‎ 得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，‎ 即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－)，‎ AC2＋‎5AC－24＝0.‎ ‎∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．‎ 答案：3‎ ‎8．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．‎ 解析：解方程可得该夹角的余弦值为，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×＝21，∴第三边长是.‎ 答案： ‎9．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．‎ 解析：由正弦定理，‎ 得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8.‎ 不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，‎ 则cos B＝＝，‎ ‎∴B＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．已知在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝3，求角C.‎ 解：A为b，c的夹角，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ ‎∴16＝9＋c2－6×c，‎ 整理得‎5c2－‎18c－35＝0.‎ 解得c＝5或c＝－(舍)．‎ 由余弦定理得cos C＝＝＝0，‎ ‎∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.‎ ‎11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．‎ 解：由题意可知，‎ ‎(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，‎ 于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，‎ 即＝，‎ 所以cos C＝，所以C＝60°.‎ ‎12．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．‎ 解：由余弦定理知cos B＝，代入c＝acos B，‎ 得c＝a·，∴c2＋b2＝a2，‎ ‎∴△ABC是以A为直角的直角三角形．‎ 又∵b＝asin C，∴b＝a·，∴b＝c，‎ ‎∴△ABC也是等腰三角形．‎ 综上所述，△ABC是等腰直角三角形． ‎