【数学】2020届北京一轮复习通用版2-3二次函数与幂函数

【数学】2020届北京一轮复习通用版2-3二次函数与幂函数

‎2.3　二次函数与幂函数 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.二次函数 ‎1.了解二次函数的图象与性质 ‎2.结合二次函数的图象,求二次函数的最值、单调区间 ‎3.掌握三个“二次”之间的关系 ‎2017北京文,11‎ 二次函数的值域 数形结合法 ‎★★★‎ ‎2014北京文,8‎ 二次函数的最值 函数的应用问题、待定系数法 ‎2011北京文,8‎ 二次函数的应用 面积公式、方程法 ‎2.幂函数 ‎1.了解幂函数的概念 ‎2.结合函数=x,y=x2,y=x3,y=‎1‎x,y=x‎1‎‎2‎的图象,了解它们的变化情况 ‎2012北京文,5‎ 幂函数 指数函数、函数的零点 ‎★★☆‎ 分析解读　　本节重点考查二次函数、一元二次方程及二次不等式的综合应用以及幂函数的图象及性质,重点考查等价转化和数形结合的思想.以二次函数为载体,解决二次函数的单调区间、二次函数在给定的闭区间上的最值以及有关参数的取值范围问题,关键是抓住函数图象的对称轴;幂函数问题主要是考查幂函数在第一象限内的图象及性质.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　二次函数 ‎1.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于　　　　. ‎ 答案　9‎ 考点二　幂函数 ‎2.已知a,b∈R,若a0,‎f(1)=4m+2<0,‎f(2)=6m+5>0‎⇒‎m<-‎1‎‎2‎,‎m∈R,‎m<-‎1‎‎2‎,‎m>-‎5‎‎6‎.‎ 故m的取值范围是‎-‎5‎‎6‎,-‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)抛物线与x轴的交点的横坐标均落在区间(0,1)内,如图所示,‎ 则f(0)>0,‎f(1)>0,‎Δ≥0,‎‎0<-m<1‎⇒‎m>-‎1‎‎2‎,‎m>-‎1‎‎2‎,‎m≥1+‎2‎或m≤1-‎2‎,‎‎-10),g(x)=logax的图象可能是(　　)‎ 答案　D　‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)‎ A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件　　　　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　A　‎ ‎2.(2014浙江文,9,5分)设θ为两个非零向量a,b的夹角.已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1(　　)‎ A.若θ确定,则|a|唯一确定　　　　B.若θ确定,则|b|唯一确定　　　　‎ C.若|a|确定,则θ唯一确定　　　　D.若|b|确定,则θ唯一确定 答案　B　‎ ‎3.(2015湖北,17,5分)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a=　　　　时,g(a)的值最小. ‎ 答案　2‎2‎-2‎ ‎4.(2015广东,21,14分)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).‎ ‎(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;‎ ‎(2)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(3)当a≥2时,讨论f(x)+‎4‎x在区间(0,+∞)内的零点个数.‎ 解析　(1)f(0)=a2+|a|-a(a-1)=|a|+a.‎ 当a≤0时, f(0)=0≤1对于任意的a≤0恒成立;‎ 当a>0时, f(0)=2a,令2a≤1,解得0a,‎ 则f '(x)=‎‎2x-(2a+1),　x≤a,‎‎2x-(2a-1),　　　　x>a.‎ 当x≤a时, f '(x)=2x-(2a+1)=2(x-a)-1<0,‎ 所以f(x)在区间(-∞,a]上单调递减;‎ 当x>a时, f '(x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+1>0,‎ 所以f(x)在区间(a,+∞)上单调递增.‎ ‎(3)令h(x)=f(x)+‎4‎x,由(2)得,‎ h(x)=‎x‎2‎‎-(2a+1)x+2a+‎4‎x,　0a,‎ 则h'(x)=‎‎2x-(2a+1)-‎4‎x‎2‎,　0a,‎ 当0a时,因为a≥2,所以x>2,所以0<‎4‎x‎2‎<1,‎ 所以h'(x)=2(x-a)+‎1-‎‎4‎x‎2‎>0,‎ 所以h(x)在区间(a,+∞)上单调递增.‎ 因为h(1)=4>0,h(2a)=2a+‎2‎a>0,‎ ‎①若a=2,则h(a)=-a2+a+‎4‎a=-4+2+2=0,‎ 此时h(x)在(0,+∞)上有唯一一个零点;‎ ‎②若a>2,则h(a)=-a2+a+‎4‎a=-a‎3‎‎-a‎2‎-4‎a=-a‎2‎‎(a-1)-4‎a<0,此时h(x)在区间(0,a)上和(a,+∞)上各有一个零点,共两个零点.‎ 综上,当a=2时, f(x)+‎4‎x在区间(0,+∞)内有一个零点;‎ 当a>2时, f(x)+‎4‎x在区间(0,+∞)内有两个零点.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.(2019届北京朝阳期中,4)已知x>y>0,则下列不等关系中正确的是(　　)‎ A.cos x>cos y　　　　B.log3xb>c　　　　B.a>c>b　　　　C.c>a>b　　　　D.c>b>a 答案　C　‎ ‎3.(2017北京西城二模,7)已知函数f(x)=x|x|.若存在x∈[1,+∞),使得f(x-2k)-k<0,则k的取值范围是(　　)‎ A.(2,+∞)　　　　B.(1,+∞)　　　　C.‎1‎‎2‎‎,+∞‎　　　　D.‎‎1‎‎4‎‎,+∞‎ 答案　D　‎ ‎4.(2017北京朝阳一模,6)已知函数f(x)=‎|log‎4‎x|,04.‎若a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是(　　)‎ A.(24,25)　　　　B.(18,24)　　　　C.(21,24)　　　　D.(18,25)‎ 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.(2017北京石景山一模,12)已知函数f(x)=x‎2‎‎+x,x≥0,‎x-x‎2‎,x<0.‎若f(a)>f(2-a),则a的取值范围是　　　　. ‎ 答案　a>1‎ ‎6.(2019届北京杨镇一中10月月考,9)若幂函数f(x)的图象经过点(‎2‎,2),则f(x)=　　　　,函数g(x)=lnxx·f(x)的单调递减区间为　　　　. ‎ 答案　x2;‎‎0,‎‎1‎e