2018-2019学年福建省福州市八县（市）一中高一上学期期末考试数学试题 （解析版）

2018-2019学年福建省福州市八县（市）一中高一上学期期末考试数学试题 （解析版）

‎2018--2019学年度第一学期八县（市）一中期末联考 高中一年数学科试卷 考试日期: 2019年1月24日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的）‎ ‎1.若角终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用三角函数的定义，即可求出.‎ 详解：角终边经过点，则 ‎ 由余弦函数的定义可得 ‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题.‎ ‎2.函数的一条对称轴是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ，当 时，选C.‎ ‎【点睛】函数的性质 ‎(1).‎ ‎(2)周期 ‎(3)由 求对称轴 ‎(4)由求增区间; 由求减区间 ‎3.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解得集合B,再由交集定义即可得解.‎ ‎【详解】解: 集合=,.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了交集及其运算,属简单题 ．‎ ‎4. ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据向量加法运算得，根据向量减法得= ‎ 故选D ‎5.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，首先找到2适合的函数解析式，代入写出新的表达式，将新的表达式写出后，再根据新的x的取值，找到相应解析式重新代入，直到找到最终解析式求解即可.‎ ‎【详解】，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】该题考查分段函数的应用，解答本题的关键是根据x的取值范围，代入对应的函数解析式求解.‎ ‎6.已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：利用三角函数的定义，求出tanθ，利用诱导公式化简代数式，代入即可得出结论．‎ 详解：∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，‎ ‎∴tanθ=3，‎ ‎∴= ‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查了三角函数的化简求值，化简过程中常用的公式有：用sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化；常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.‎ ‎7.若向量，，则在方向上的投影为（ ）‎ A. -2 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为 =-2‎ 故选A ‎8.若对于任意实数都有，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用代替式中可得，联立解方程组可得，代值计算即可.‎ ‎【详解】对于任意实数恒有，‎ 用代替式中可得，‎ 联立两式可得，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.‎ ‎9.若向量 为互相垂直的单位向量， 且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围是 (　 )‎ A. B. (－∞，－2)∪‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与夹角为锐角，可得且不共线，再代入向量解不等式即可得到答案．‎ ‎【详解】由题意可得：‎ ‎∵与夹角为锐角，‎ ‎∴（）12m＞0，且不共线 ‎∴‎ 当时，可得m＝﹣2‎ 所以实数λ的取值范围是 （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当 与 的夹角为锐角可得，且不共线，但是学生容易忽略两个向量共线并且同向的情况.‎ ‎10.已知函数在R上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为减函数，利用对数函数单调递减、二次函数单调递减，结合对数函数的定义域以及分界点处两函数的单调性与整体保持一致得到不等式组，从而可得的范围.‎ ‎【详解】函数在上单调递减，‎ 所以对数函数单调递减函数、二次函数单调递减，‎ ‎，解得，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.‎ ‎11.已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A. （0，] B. （0，2] C. [，] D. [，]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，令是减区间的子集，即可的结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 函数在上单调递减，‎ 周期，解得，‎ 的减区间满足：‎ ‎，‎ 取，得，解之得，‎ 即的取值范围是[，]，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，属于中档题. 函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.‎ ‎12.将函数和直线的所有交点从左到右依次记为 ，若P点坐标为，则=（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 6 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出函数f（x）与g（x）的图象，结合图象求出两函数的交点坐标，‎ 再计算与它的模长．‎ ‎【详解】函数f（x）＝与g（x）＝x﹣1的所有交点 从左往右依次记为A1、A2、A3、A4和A5，‎ 且A1和A5，A2和A4，都关于点A3对称，‎ 如图所示；‎ 则5（1，），‎ 所以＝10．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图象与平面向量的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）‎ ‎13.已知角的终边经过点，且>，<则的取值范围是__________‎ ‎【答案】(-2,3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知角在第二象限，从而得到关于a的不等关系，解得结果.‎ ‎【详解】已知α的终边经过点（3a﹣9，a+2），且sinα＞0，cosα＜0，‎ 所以：，解得﹣2＜a＜3．‎ 故答案为：（﹣2，3）．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数值的符号，终边相同的角，考查不等式组的解法，计算能力，是基础题．‎ ‎14.已知函数 ，且 那么其图象经过的定点坐标是___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 借助过定点，令，可得的图象恒过定点的坐标.‎ ‎【详解】令，求得，且，‎ 即时，总有，‎ 所以的图象恒过定点坐标为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.‎ ‎15.已知,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用以及诱导公式，直接求出sin与cos的关系，求出结果．‎ ‎【详解】因为＋＝－，所以sin＝sin ‎＝－sin＝－cos＝－.‎ 故答案为-.‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查利用诱导进行化简求值，注意角的变换的技巧，是快速解答本题是关键，考查计算能力，转化思想．‎ ‎16.已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式可得，f（x）＝2sin（）+a，结合正弦函数的性质可知函数f（x）在x∈（0，π）上关于直线x对称，从而可求α+β，代入即可求解.‎ ‎【详解】∵f（x）＝＝2sin（）+a，‎ ‎∵∈（0，π），‎ ‎∴π．‎ ‎∵方程在区间上有两个不相等的实数根，‎ ‎∴y＝与y＝2sin（）的图象在有两个交点，‎ 且α与β关于直线x对称，‎ ‎∴α+β，‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、函数的零点转化为图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，写明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知四点A（-3，1），B（-1，-2），C（2，0），D（）‎ ‎（1）求证：；‎ ‎(2) ，求实数m的值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 或1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出算出（2）由向量的平行进行坐标运算即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)依题意得，‎ 所以 所以.‎ ‎(2)，‎ 因为 所以 整理得 所以，实数m的值为或1.‎ ‎18.已知是的三个内角，向量，，且.‎ ‎(1)求角； (2)若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)先由平面向量的数量积得到三角函数的关系式，再利用配角公式化简函数表达式，再利用三角函数的性质进行求解；(2)利用二倍角公式和诱导公式、两角和的正切公式进行求解.‎ 试题解析：(1)由得，即，‎ ‎,，所以. ‎ ‎（2）若，得;‎ ‎=‎ ‎19.已知函数其中.‎ ‎(1)求函数的定义域；‎ ‎(2)若函数的最小值为，求的值 ‎【答案】（1）(－2,3)；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对数的性质：真数大于0，即可求解定义域；‎ ‎（2）根据对数的运算性质，转化为二次函数问题求解a的值．‎ ‎【详解】解：(1)要使函数有意义，则有 解之得 所以函数的定义域为(－2,3)．‎ ‎(2)函数可化为 ‎ ‎∵ ‎ ‎∵ ‎ 即由 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的最值，属于基础题．‎ ‎20.已知函数，其中，函数图像上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将向左平移个单位，得到函数图象，求函数的单调递增区间。‎ ‎【答案】(1)；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 由已知利用周期公式可求，可求，，． 结合范围，可求的值， 即可得解函数解析式 ．‎ ‎（2）根据函数的图象变换规律，可求函数解析式，进而根据余弦函数的单调性即可计算得解 ．‎ ‎【详解】解：函数，其中，‎ 函数的最小正周期为，解得，函数在处取到最小值，‎ 则，且，即，‎ 令可得则函数；‎ 函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍纵坐标不变，可得再向左平移个单位可得 令，．‎ 解得的单调递增区间为 ‎【点睛】本题主要考查了周期公式， 函数的图象变换规律， 正弦函数的图象和性质的综合应用， 考查了计算能力属于基础题 ．‎ ‎21.为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形MNPQ点M,N的中点S，，，现要在该矩形的区域内（含边界），且与M,N等距离的一点O设一个宣讲站，记O到三个乡镇的距离之和为L(km).‎ ‎（Ⅰ）设，试将L表示为x的函数并写出其定义域；‎ ‎（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定宣讲站O的位置，使宣讲站O到三个乡镇的距离之和L(km)最小． ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）位置O满足：时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据锐角三角函数的定义表示出OM，ON，OS，从而得出L关于x的函数；‎ ‎（II）利用反解法确定函数的取之范围，从而求出L（x）取得最小值时x的大小．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）过O作OA⊥MN，垂足为T，则T为MN的中点，‎ ‎∴MTMN＝5，‎ ‎∴OM＝ON，OS＝5OT＝55tanx，‎ ‎∴L55tanx（0≤x）．‎ ‎（Ⅱ）　L（x）＝5（1），‎ ‎ ‎ 令 ，‎ 则 ，‎ 得：或（舍）， ‎ 当时，，取最小值，‎ 即宣讲站位置O满足：时 可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小．‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式的求解，利用反解法确定函数最值，属于中档题．‎ ‎22.已知向量， 设函数．‎ ‎（1）求的值域；‎ ‎（2）设函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 若不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量的数量积和三角形函数的性质即可求出值域；‎ ‎（2）先求出h（x），由不等式f（x）+h（x）+sin2x﹣m＜0有解，转化为m＞f（x）+h（x）+sin2x，根据二次函数的性质即可求出．‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎，‎ ‎ ‎ 的值域为 ‎（2）函数，的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，‎ ‎，，‎ 依题意，不等式在有解，‎ 设 ‎，‎ 令，‎ 则 函数的值域为.‎ ‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函向量的数量积，正余弦函数的单调性、定义域和值域，二次函数的性质，不等式成立的问题，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎