【数学】2020届一轮复习（文理合用）第6章第7讲数学归纳法（理）作业
对应学生用书[练案45理]
第七讲 数学归纳法(理)
A组基础巩固
一、选择题
1．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋( B )
A． B．π
C．π D．2π
2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是( D )
A．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立
C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立
D．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题成立
[解析] 相邻两个正奇数相差2，故D选项正确．
3．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( C )
A．2 B．3
C．5 D．6
[解析] 当n＝1时，21＝2＝12＋1，
当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，
当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，
当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，
当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，
当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0应取5.
4．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是( C )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
5．用数学归纳证明12＋22＋32＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋32＋22＋12＝时，第二步证明由n＝k到n＝k＋1时，左边应添加的式子是( B )
A．(k＋1)2
B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2＋2k2
D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
[解析] 观察已知等式知，由n＝k到n＝k＋1时应添加的式子是(k＋1)2＋k2.故选B．
6．(2018·河南驻马店名校联考)某个命题和正整数n有关，如果当n＝k，k为正整数时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝7时命题不成立，那么可以推得( A )
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝8时该命题不成立
D．当n＝8时该命题成立
[解析] 由原命题与其逆否命题的真假性相同，得已知当n＝7时命题不成立，那么可以推得当n＝6时该命题不成立．
7．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出一般结论( C )
A．f(2n)> B．f(n2)≥
C．f(2n)≥ D．以上都不对
[解析] f(2)＝，f(4)＝f(22)>，
f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，
f(32)＝f(25)>，
由此可推知f(2n)≥，故选C．
8．对于不等式
的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 .
[解析] 不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.
12．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝ .
[解析] 由(S1－1)2＝S，得S1＝；
由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝；
由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得 S3＝.
猜想Sn＝.
三、解答题
13．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[证明] ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
14．设n∈N*，n>1，求证：1＋＋＋…＋>.
[解析] 解法一：(用数学归纳法证明)
①当n＝2时，不等式左边＝1＋>＝右边．
②假设n＝k(k>1，k∈N*)时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋>，
那么当n＝k＋1时，
有1＋＋＋…＋＋>＋＝>＝＝.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②可知对任意n∈N*，n>1，
1＋＋＋…＋>均成立．
解法二：(构造数列法)
记an＝1＋＋＋…＋－，
则a2＝1＋－＝1－>0，
且当n≥2时an＋1－an＝－＋
＝＝>0，
∴当n>1时{an}是递增数列，
∴当n>1时an>0，即1＋＋…＋>.
B组能力提升
1．(2018·河南中原名校质量考评)已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是( A )
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
[解析] f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.故选A．
2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取( B )
A．7 B．8
C．9 D．10
[解析] ∵左边＝1＋＋＋…＋＝2－，代入验证可知n的最小值为8.故选B．
3．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面的个数为( B )
A．2f(k) B．f(k)＋k－1
C．f(k)＋k D．f(k)＋2
[解析] 增加一条棱与前面k条棱中不相邻的棱作对角面，有k－2个，同时，一个侧面变成了对角面，故共增加了k－2＋1＝k－1个对角面．故选B．
4．(2018·辽宁葫芦岛期末)在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，
得S2＝2(2×2－1)a2，
即a1＋a2＝6a2，
∴a2＝a1＝＝.
又S3＝3(2×3－1)a3，得a3＝＝，同理得a4＝，…，猜想an＝.
5．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[解析] (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，
∴a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：①当n＝1时，左边＝a1＝1，
右边＝＝1，左边＝右边，结论成立．
②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，
即ak＝，那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，
∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，
这表明n＝k＋1时，结论成立，
由①②知猜想an＝(n∈N*)成立．
注本题不用“归纳——猜想——证明”的方法也可求出数列通项，
∵Sn＝2n－an，
∴Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，
两式相减得an＋1＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，
∴an＋1－2＝(an－2)，又S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1，
∴{an－2}是首项为－1，公比为的等比数列，
∴an－2＝－，∴an＝2－.
