西藏拉萨市2019-2020学年高二上学期期末考试联考数学（理）试题

西藏拉萨市2019-2020学年高二上学期期末考试联考数学（理）试题

‎2019-2020学年第一学期拉萨市高中期末联考 高二理科数学 试卷 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.如果，那么下列不等式正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质判断，错误的不等式可以举反例说明．‎ ‎【详解】但，，A错，B错；，C正确；，D错．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查判断不等式的正确性，掌握不等式的性质是解题关键．对错误的不等式可通过举反例判断．‎ ‎2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用正弦定理求解．‎ ‎【详解】由题意，‎ 由得．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，已知两角和一角对边求另一角的对边，可用正弦定理求解．‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分必要条件的定义判断．‎ ‎【详解】，‎ ‎∴命题是真命题，是假命题．‎ 题中应为必要不充分条件．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充要必要条件的定义是解题关键．‎ ‎4.幻方，是中国古代一种填数游戏．阶幻方是指将连续个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的个数的和都相等．中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个三阶幻方（如图），即现在的如图．若某3阶幻方正中间的数是2018，则该幻方中的最小数为（ ）‎ A 2013 B. ‎2014 ‎C. 2015 D. 2016‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三阶幻方对应关系可得结果.‎ ‎【详解】由题意得3阶幻方正中间的数是5时，幻方中的最小数为1；‎ 因此3阶幻方正中间的数是2018时幻方中的最小数为，选B.‎ ‎【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5.已知椭圆左、右焦点分别为，点M是椭圆C 上的动点（不与顶点重合），那么的周长为（ ）‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 10 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，根据椭圆定义可得．‎ 详解】由题意，∴，‎ 又，∴的周长是．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，掌握椭圆定义是解题关键．椭圆上任一点与椭圆两焦点形成的三角形（称为焦点三角形）的周长为定值．‎ ‎6.下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若为真命题，则为真命题 B. 已知，那么的最小值为2‎ C. 命题“，”的否定是“，”‎ D. 命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对各个命题分别判断．‎ ‎【详解】A. 若为真命题，则都是真命题，∴为真命题，正确．‎ B.当时，，B错；‎ C. 命题“，”的否定是，，C错；‎ D. 命题“若，则”的否命题为“若，则”，D错．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时可对各个命题分别判断，然后得出正确结论．‎ ‎7.如图，在直三棱柱中，,则异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：∵A‎1C1∥AC，‎ ‎∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA‎1C1，‎ 易求 A1B＝，‎ ‎∴cos∠BA‎1C1＝‎ 故选：A.‎ 考点：异面直线及其所成的角 ‎8.中，角，，所对的边分别为、、，若，则为（ ）‎ A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA ‎∴sin（A+B）＜sinBcosA ‎∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA ‎∴sinAcosB＜0 又sinA＞0‎ ‎∴cosB＜0 即B为钝角 故选A ‎9.等差数列的前项和为，且，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质和求和公式，求得， ，求得，得到数列的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式，求得，令，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由等差数列的性质可知，因为，则有，即，‎ 又因为，解得，即，‎ 所以公差，所以，‎ 所以，‎ 令，解得或（舍），‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及通项公式和前n项和的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，以及等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知双曲线经过点，那么该双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入点人坐标求出参数，然后可得渐近线方程．‎ ‎【详解】由题意，，又，∴渐近线方程为．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题时可先由点的坐标代入后求出参数，再根据双曲线的渐近线的定义写出方程．‎ ‎11.已知数列为各项均不相等的等比数列，其前n项和为，且，，成等差数列，则（ ）‎ A. 3 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，成等差数列求出数列的公比，然后再表示出后求值．‎ ‎【详解】设数列公比为，则，‎ ‎∵，，成等差数列，∴，即，解得，‎ ‎．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前项和，利用等差数列的性质求出数列公比，然后可求得比值．‎ ‎12. 如图所示，已知双曲线：的右焦点为，双曲线的右支上一点 ，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的性质，推出，，通过求解三角形转化求解离心率即可．‎ ‎【详解】解：双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，可得，，，‎ ‎，所以，可得，‎ ‎，‎ 所以双曲线的离心率为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题：（把答案填在题中横线上）‎ ‎13.设实数x，y满足的约束条件，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．‎ ‎【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当直线过点时，是最小值，当过点时，是最大值，∴取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域．‎ ‎14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若、，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用余弦定理求出，用二倍角公式变形再由正弦定理转化．‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理，考查正弦的二倍角公式，属于中档题．‎ ‎15.已知等比数列的公比为q，能够说明“若，则为递增数列”是假命题的一组整数，，的值为依次________.‎ ‎【答案】（答案不唯一）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只要即可，任意举例即可．‎ ‎【详解】如，，数列不是递增数列．‎ 故答案为：（答案不唯一）．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的单调性，掌握等比数列的单调性是解题基础．数列是等比数列，公比为，若或，则数列是递增数列，若或，则数列是递减数列，若，则数列是摆动数列，若，则数列是常数列．‎ ‎16.阿基米德（公元前287年一公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件求出可得椭圆标准方程．‎ ‎【详解】设椭圆方程为，则由已知得，解得 ‎，‎ 椭圆方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，解题时根据题意求出是求解的最基本的方法．‎ 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.在等差数列中，若，.‎ ‎（1）求数列的公差d及通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由公差和首项列方程组，解出后可得通项公式；‎ ‎（2）数列的和用分组求和法计算．‎ ‎【详解】（1）记数列公差为，则，解得，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1），‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查分组（并项）求和法．掌握等差数列与等比数列的前项和公式是解题基础．‎ ‎18.在中,分别为内角所对的边，且满足.‎ ‎(Ⅰ)求的大小；‎ ‎(Ⅱ)现给出三个条件：①； ②；③.‎ 试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分)‎ ‎【答案】解：(Ⅰ)依题意得，即． …………3分 ‎,．．． …………6分 ‎(Ⅱ)方案一：选择①②‎ 由正弦定理，得． …………9分 ‎，‎ ‎． …………12分 方案二：选择①③‎ 由余弦定理， …………9分 即，解得，‎ 所以． …………12分 说明：若选择②③，由得，不成立，这样的三角形不存在．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用两角和公式对已知等式化简求得的值，进而求得；（2）选择①②利用正弦定理先求得的值，进而利用三角形面积公式求得三角形的面积.‎ 试题解析：（1），‎ ‎∴.‎ ‎（2）选①②：，，，，‎ ‎∴.‎ ‎.‎ 选①③：，‎ ‎∴，，‎ ‎.‎ 若选择②③，由得：，‎ 不成立，这样的三角形不存在.‎ 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.‎ ‎19.己知数列的前n项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用，证明数列是等比数列，计算通项，即可．（2）将通项代入，得到的通项，结合裂项相消法，计算求和，即可．‎ ‎【详解】（1）数列的前n项和为，且 当时，，‎ 解得：．‎ 当时，，‎ 得：，‎ 整理得：，‎ 即：常数，‎ 所以：数列是以，3为公比的等比数列，‎ 则：首项符合，‎ 故：．‎ ‎（2）由于，‎ 所以，‎ 所以：，‎ 则：，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】考查了等比数列的判定，考查了裂项相消法，考查了等比数列通项计算方法，难度中等．‎ ‎20.如图，在棱长为1的正方体中，点E是棱的中点，点F在棱上，且满足.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）只要证明平面即可得；‎ ‎（2）以为轴建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦．‎ ‎【详解】（1）连接，正方形中，，‎ 又正方体中平面，平面，∴，‎ ‎，∴平面，∵平面，∴；‎ ‎（2）以为轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，‎ 则，，，，∴，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，取，则，即，‎ 易知平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ ‎∴平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直性质定理，考查用空间向量法求二面角．立体几何中证明线线垂直的常用方法就是先证线面垂直，再由线面垂直的性质定理得线线垂直．‎ ‎21.已知抛物线：.‎ ‎（1）若直线经过抛物线的焦点，求抛物线的准线方程；‎ ‎（2）若斜率为-1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，当时，求抛物线的方程.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线焦点的位置，可以判断出直线与横轴的交点坐标就是抛物线的焦点，这样可能直接写出抛物线的准线方程；‎ ‎（2）写出斜率为-1经过抛物线的焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，根据抛物线的定义和根与系数的关系可以求出，结合已知，求出的值，写出抛物线的方程.‎ ‎【详解】(1)∵直线经过抛物线的焦点，‎ ‎∴抛物线的焦点坐标为，‎ ‎∴抛物线的准线方程为.‎ ‎（2）设过抛物线的焦点且斜率为-1的直线方程为，且直线与交于，，‎ 由化简得，‎ ‎∴.‎ ‎∵，解得，‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了已知抛物线过定点，求抛物线的标准方程，以及运用抛物线的定义求其标准方程的问题.‎ ‎22.已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设经过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）题意说明，求得即得椭圆方程；‎ ‎（2）设直线方程为，‎ ‎，直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得，在以为直径的圆上，，代入后可求得，得直线方程．‎ ‎【详解】（1）由题意得，，，‎ ‎∴椭圆方程为：；‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，，显然与不垂直，不满足题意，‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为，，‎ 由得，∴，，‎ 在以为直径的圆上，则，‎ ‎，解得或，‎ ‎∴直线方程为，即．或，即．‎ 综上，直线的方程是或．‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法．直线与椭圆交于两点，可设直线方程为，设交点坐标为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，代入题中另外的条件，从而可求得参数值，得出结论．‎ ‎ ‎