2019-2020学年安徽省芜湖市第一中学高二上学期开学返校检测数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省芜湖市第一中学高二上学期开学返校检测数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省芜湖市第一中学高二上学期开学返校检测数学试题 一、单选题 ‎1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是 (　　)‎ A.若a>b，则ac2>bc2‎ B.若，则a>b C.若a3>b3且ab<0，则 D.若a2>b2且ab>0，则 ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证．‎ ‎【详解】‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2（错），若c=0，则A不成立；‎ B．若，则a＞b（错），若c＜0，则B不成立；‎ C．若a3＞b3且ab＜0，则（对），若a3＞b3且ab＜0，则 ‎ D．若a2＞b2且ab＞0，则（错），若，则D不成立．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎2．记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为 A．1 B．4 C．2 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据条件得到方程，，联立解得答案.‎ ‎【详解】‎ 等差数列 解得： ‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和，属于基础题型.‎ ‎3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩甲乙组（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为 A．2，5 B．5，8‎ C．5，5 D．8，8‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据中位数和平均数的定义分别计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 甲组数据： 中位数为15，得到 ‎ 乙组数据： 平均数为 ‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了中位数和平均数的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4．已知中，内角，，的对边分别为，，，，，则的面积为（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 因为在中，，‎ 根据余弦定理，可知，‎ 所以，,‎ 而，所以,故选C. ‎ 本题主要考查正余弦定理的运用.‎ ‎【考点】1、余弦定理；2、三角形面积公式.‎ ‎5．登山族为了了解某山高与气温之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：‎ 气温 ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ 山高 ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为处气温的度数为　　‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得＝10，＝40，所以＝＋2＝40＋2×10＝60.‎ 所以＝－2x＋60，当＝72时，有－2x＋60＝72，解得x＝－6，故选D.‎ ‎6．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知不等式的解集可知且；从而可解得的根，根据二次函数图象可得所求不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 由的解集为可知：且 令，解得：，‎ ‎ 的解集为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的求解问题，关键是能够通过一次不等式的解集确定方程的根和二次函数的开口方向.‎ ‎7．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k的条件是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将数据代入程序依次计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 输出结果 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图，意在考查学生对于程序框图的灵活运用，代入数据依次计算是一个常用的方法.‎ ‎8．设满足约束条件若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出约束条件表示的可行域如图所示，将化成，当时，仅在点处取得最小值，即目标函数仅在点处取得最小值，解得，故选A.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.‎ ‎9．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是．则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用概率相加得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了概率的计算，属于基础题型.‎ ‎10．数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…，1+2+22+…+2n－1，…前n项和Sn>1020，则n的最小值是( )‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意数列每一项都是一个等比数列的和，数列通项公式，，，，，故选D.‎ ‎11．设等差数列满足，且，为其前项和，则数列的最大项为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因，故由题设可得，即，故其前项和，又，故当时，最大，应选答案C。‎ ‎12．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是 A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角 ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理得到，根据三角函数和均值不等式分别得到 ‎，，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 的内角A，B，C ‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，三角函数范围，均值不等式，综合性强，知识点多，意在考查学生的综合应用能力.‎ 二、填空题 ‎13．高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】【详解】‎ 根据系统抽样的定义将56人按顺序分成4组，每组14人，则1至14号为第一组，15至28号为第二组，29号至42号为第三组，43号至56号为第四组.而学号6,34,48分别是第一、三、四组的学号，所以还有一个同学应该是15+6-1=20号,故答案为20.‎ ‎14．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2：a4＝7：6，则S7：S3等于______．‎ ‎【答案】2：1；‎ ‎【解析】由于为等差数列的前项和，，故答案为.‎ ‎15．不等式在区间上有解，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用参数分离将不等式转化为，求得最小值得到答案.‎ ‎【详解】‎ 不等式在区间上有解 设，易知单调递减 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的参数问题，利用参数分离可以简化运算，也可以利用讨论的方法得到答案.‎ ‎16．已知正项等比数列满足，，若存在两项，，使得，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先计算，根据得到，再利用均值不等式得到.‎ ‎【详解】‎ 正项等比数列 ‎ ‎ 当时等号成立.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了数列的通项公式，均值不等式，综合性强，意在考查学生对于数列方法和均值不等式的综合应用.‎ ‎17．在△中，角，，的对边分别为，，，且满足条件，，则△的周长为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用余弦定理计算出角的值，然后利用内角和定理以及诱导公式得出的值，结合的值可得出外接圆的半径的值，可得出的值，利用余弦定理课得出的值，从而可得出的周长.‎ ‎【详解】‎ 中，，‎ 即又 ‎，‎ 解得，其中为外接圆半径.，解得，，，‎ 的周长为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理、诱导公式及两角和的余弦公式，属于中等题.以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ 三、解答题 ‎18．某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（2）分别求出成绩落在与中的学生人数；‎ ‎（3）估计78分以上的人数．‎ ‎【答案】（1）（2）在的10人，在的15人（3）人 ‎【解析】（1）利用频率和为1解得答案.‎ ‎（2）直接利用频率乘以总数得到答案.‎ ‎（3）先计算频率为，再用频率乘以总数得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率直方图，属于基础题型.‎ ‎19．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0．‎ ‎（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎（2）若a是从区间[0，3]上任取的一个实数，b是从区间[0，2]上任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）先用列举法求得基本事件的总数，根据判别式为非负数求得的关系式，由此判断出符合题意的事件有个，进而求得所求的概率.（2）判别式为非负数求得的关系式，画出全部结果所构成的区域，利用几何概型的计算公式，计算出所求的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，‎ 则基本事件共12个，分别为：‎ ‎（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），‎ ‎（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．‎ 设事件A为“方程x2+ax+b2=0有实根”，则判别式Δ=a2–4b2≥0，即a≥2b，‎ 若a=0，则b=0；若a=1，则b=0；‎ 若a=2，则b=0或b=1；若a=3，则b=0或b=1．‎ 共包含6个基本事件，则所求的概率P1=．‎ ‎（2）记事件B为“方程x2+ax+b2=0有实根”．由Δ=a2–4b2≥0，且非负，得a≥2b，‎ 全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面积为S=3×2=6．‎ 构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥2b}，‎ 则D（3，），其面积为S′=×3×=，‎ 所以所求的概率P2==．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查列举法求解古典概型，考查面积型的几何概型的求法，属于中档题.‎ ‎20．某工厂家具车间做A，B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A，B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A，B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工和漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，设该厂每天做A，B型桌子分别为x张和y张．‎ ‎（1）试列出x，y满足的关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（2）若工厂做一张A，B型桌子分别获得利润为2千元和3千元，那么怎样安排A，B型桌子生产的张数，可使得所得利润最大，最大利润是多少？‎ ‎【答案】（1）画图详见解析（2）每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润，为13千元 ‎【解析】（1）根据已知条件得到关系式，画出可行域.‎ ‎（2）目标函数为，根据（1）中可行域平移得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，‎ 则，目标函数为，‎ 作出可行域如图，‎ 把直线向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值．‎ 解方程，得M的坐标．‎ 答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润，为13千元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划的应用，意在考查学生解决问题的能力和应用能力.‎ 求线性目标函数的最值:‎ 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；‎ 当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.‎ ‎21．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．‎ ‎（1）求渔船甲的速度；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）14海里/小时； （2）.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴V甲海里/小时 ；‎ ‎（2）在中，‎ 由正弦定理得 ‎∴‎ ‎∴.‎ 点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.‎ ‎22．已知正项数列的前项和为，且和满足： ．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和；‎ ‎（3）在(2)的条件下，对任意,都成立，求整数的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）7.‎ ‎【解析】（1）由4Sn=（an+1）2，知4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），由此得到（an+an-1）•（an-an-1-2）=0．从而能求出{an}的通项公式;（2）由（1）知，由此利用裂项求和法能求出Tn． （3）由（2）知 从而得到 ．由此能求出任意n∈N，Tn都成立的整数m的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵4Sn=（an+1）2，① ∴4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），② ①-②得 4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2． ∴4an=（an+1）2-（an-1+1）2． 化简得（an+an-1）•（an-an-1-2）=0． ∵an＞0，∴an-an-1=2（n≥2）． ∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴an=1+（n-1）•2=2n-1． （2）． ∴ ． （3）由（2）知， ∴数列{Tn}是递增数列． ∴． ∴ ‎ ‎∴整数m的最大值是7．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，考查裂项相消法求数列的前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．‎ ‎23．已知 ‎（1）当不等式的解集为时，求实数a，b的值；‎ ‎（2）若对任意实数a，恒成立，求实数b的取值范围 ‎（3）设b为常数，解关于a的不等式 ‎【答案】（1）或 ，（2）（3）见解析 ‎【解析】（1）将不等式转化为对应方程，利用韦达定理得到答案.‎ ‎（2）讨论和两种情况，综合判别式得到答案.‎ ‎（3）将不等式因式分解，得到，讨论的范围得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 解集为 两根为 ‎ 根据韦达定理：； ‎ ‎（2）对任意实数a，恒成立 即 当时，验证知成立 当时， ‎ 综上得：‎ ‎（3）‎ 即 ‎ 当时： ‎ 当时：1、，解为或 ‎ ‎ 2、，解为 ‎ ‎ 3、，解为或 当时：解为 ‎ 综上所述：当时：解为 ‎ 当时：解为 ‎ 当时，解为 ‎ 当时，解为 ‎ 当时，解为 ‎【点睛】‎ 本题考查了二次不等式的解，解不等式，恒成立问题，其中将不等式因式分解是解题的关键，意在考查学生对于函数，不等式，方程关系性质的灵活运用.‎