【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-6函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-6函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用学案

‎§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 考纲展示►　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．‎ ‎2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．‎ 考点1　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 ‎1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx ‎＋φ)(A>0，ω>0)‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝______‎ f＝＝ ‎______‎ φ 答案：　ωx＋φ ‎2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：‎ x ‎－ ‎－＋ － ωx＋φ ‎____‎ ‎____‎ ‎______‎ y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ 答案：0　π　2π ‎(1)[教材习题改编]为了得到函数y＝2sin的图象，只要把函数y＝2sin的图象上所有的点(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案：C ‎(2)[教材习题改编]函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图象．‎ 答案：y＝2sin x 解析：根据函数图象变换法则可得.‎ 图象变换的两个误区：平移变换；伸缩变换．‎ ‎(1)要得到函数y＝sin 2x的图象，只需把函数y＝sin的图象向右平移________个单位长度．‎ 答案： 解析：因为y＝sin＝sin 2，所以应把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象．‎ 注意：这里的向右平移个单位长度，指的是x－，而不是2x－，否则本题易错误地认为应该将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度．‎ ‎(2)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数________的图象．‎ 答案：y＝sin 2x 解析：把横坐标缩短，周期变小，则ω应变大，故应得到函数y＝sin 2x的图象．‎ 注意：由于对伸缩变换理解不到位，本题易得到错误答案是y＝sinx.‎ ‎[典题1]　(1)[2017·山东荣成六中高三月考]为了得到函数y＝4sin，x∈R的图象，只需把函数y＝4sin，x∈R的图象上所有点的(　　)‎ A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 ‎[答案]　C ‎[解析]　函数y＝4sin，x∈R的图象横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数y＝4sin，x∈R的图象，故选C.‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位长度，得到的曲线与y＝sin x的图象相同，则f(x)＝________.‎ ‎[答案]　－cos 2x ‎[解析]　把y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为y＝sin，‎ 将所得图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的得到的图象对应的函数解析式为y＝sin＝－cos x，故f(x)＝－cos 2x.‎ ‎(3)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为π.‎ ‎①用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；‎ ‎②说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．‎ ‎[解]　f(x)＝sin ωx＋cos ωx ‎＝2 ‎＝2sin，‎ 又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎①令z＝2x＋，则y＝2sin＝2sin z.‎ 列表，并描点画出图象.‎ x ‎－ z ‎0‎ π ‎2π y＝sin z ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ y＝2sin ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎②解法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；‎ 再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；‎ 最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．‎ 解法二：将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；‎ 再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，‎ 得到y＝sin 2＝sin的图象；‎ 再将y＝sin的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标保持不变)，得到 y＝2sin的图象．‎ 考点2　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ ‎(1)[教材习题改编]已知简谐运动的函数f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的初相φ为________．‎ 答案： 解析：因为该函数图象经过点(0,1)，所以将点(0,1)的坐标代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝.因为|φ|<，所以φ＝.‎ ‎(2)[教材习题改编]电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是I＝5sin，t∈[0，＋∞)．则电流I变化的初相、周期分别是________．‎ 答案：， A，ω的符号对函数y＝Asin(ωx＋φ)单调性的影响：A的符号；ω的符号．‎ ‎(1)函数y＝－2sin＋1的单调递增区间是________．‎ 答案：(k∈Z)‎ 解析：函数y＝－2sin＋1的单调递增区间即为函数y＝2sin＋1的单调递减区间．‎ 由于函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z)，‎ 所以由2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得 kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 故所求函数的单调递增区间为(k∈Z)．‎ 注意：可以看出，若A<0，则y＝Asin(ωx＋φ)的单调性与y＝sin(ωx＋φ)的单调性相反．‎ ‎(2)函数y＝sin(－2x)的单调递减区间是________. ‎ 答案：(k∈Z)‎ 解析：y＝sin(－2x)＝－sin 2x，它的图象和函数y＝sin 2x的图象关于x轴对称，单调性正好相反．由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．‎ 注意：一般地，若ω<0，则一般是先利用诱导公式将原式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)的形式，然后再讨论函数的单调性．‎ ‎[典题2]　(1)[2017·河南洛阳调研]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　)‎ A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin ‎[答案]　D ‎[解析]　由图象可知＝－，‎ ‎∴T＝π，∴ω＝＝2，故排除A，C.‎ 把x＝代入检验知，选项D符合题意．‎ ‎(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　)‎ A．y＝4sin ‎ B．y＝2sin＋2‎ C．y＝2sin＋2 ‎ D．y＝2sin＋2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.‎ 由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.‎ 由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 从而φ＝kπ－，k∈Z，‎ 故满足题意的是y＝2sin＋2.‎ ‎[点石成金]　函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的求法 ‎(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.‎ ‎(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝.‎ ‎(3)求φ：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：‎ ‎“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ ‎＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.‎ ‎[2017·吉林实验中学模拟]函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，ω>0，－<φ<的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)‎ A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 答案：A 解析：＝－＝，‎ ‎∴T＝π，ω＝2，‎ ‎∵图象过点B，‎ ‎∴2×＋φ＝，‎ ‎∴φ＝－.‎ 考点3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及三角函数模型的应用 ‎ 　 [典题3]　(1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为‎28 ℃‎，12月份的月平均气温最低，为‎18 ℃‎，则10月份的月平均气温值为________℃.‎ ‎[答案]　20.5‎ ‎[解析]　依题意知，a＝＝23，‎ A＝＝5，‎ ‎∴y＝23＋5cos (x－6)，‎ 当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.‎ ‎①求f的值；‎ ‎②求函数y＝f(x)＋f的最大值及对应的x的值．‎ ‎[解]　①f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)‎ ‎＝2 ‎＝2sin.‎ 因为f(x)为偶函数，则φ－＝＋kπ(k∈Z)，‎ 所以φ＝＋kπ(k∈Z)，‎ 又因为0＜φ＜π，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝2sin＝2cos ωx.‎ 由题意得＝2·，所以ω＝2.‎ 故f(x)＝2cos 2x.‎ 因此f＝2cos ＝.‎ ‎＝2cos 2x＋2cos＝2cos 2x－2sin 2x 令－2x＝2kπ＋(k∈Z)，y有最大值2，‎ 所以当x＝－kπ－(k∈Z)时，y有最大值2.‎ ‎[点石成金]　1.三角函数模型在实际应用中体现的两个方面 ‎(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．‎ ‎(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．‎ ‎2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 ‎(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．‎ ‎(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝.‎ ‎(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．‎ ‎(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得其对称中心．‎ 利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴.‎ 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－≤φ<的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)当x∈时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．‎ 解：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝π，‎ 从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 由－≤φ<得k＝0，‎ 所以φ＝－＝－.‎ 综上，ω＝2，φ＝－.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin，‎ 当x∈时，－≤2x－≤，‎ ‎∴当2x－＝，即x＝时，f(x)max＝；‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－.‎ ‎ [方法技巧]　1.由图象确定函数解析式 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的题型，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．‎ ‎2．五点法作图及图象变换问题 ‎(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；‎ ‎(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．‎ ‎[易错防范]　由y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·北京卷]将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则(　　)‎ A．t＝，s的最小值为 B．t＝，s的最小值为 C．t＝，s的最小值为 D．t＝，s的最小值为 答案：A 解析：因为点P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin ＝.‎ 又P′在函数y＝sin 2x的图象上，‎ 所以＝sin 2，‎ 则2＝2kπ＋或2＝2kπ＋，k∈Z，得s＝－kπ＋或s＝－kπ－，k∈Z.‎ 又s>0，故s的最小值为.故选A.‎ ‎2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)‎ A．x＝－(k∈Z)‎ B．x＝＋(k∈Z)‎ C．x＝－(k∈Z)‎ D．x＝＋(k∈Z)‎ 答案：B 解析：函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ‎＝2sin 2，‎ 令2＝kπ＋(k∈Z)，‎ 解得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B.‎ ‎3．[2015·湖南卷]将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案：D 解析：因为g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin 2x1－sin(2x2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，所以sin 2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－，k2∈Z,2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，得|x1－x2|＝.‎ 因为0<φ<，所以0<－φ<，‎ 故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，‎ 则φ＝，故选D.‎ ‎4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 答案：D 解析：由图象知，周期T＝2×＝2，‎ ‎∴ ＝2，∴ ω＝π.‎ 由π×＋φ＝，得φ＝，‎ ‎∴ f(x)＝cos.‎ 由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，得 ‎2k－＜x＜2k＋，k∈Z，‎ ‎∴ f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.‎ ‎5．[2016·江苏卷]定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．‎ 答案：7‎ 解析：由sin 2x＝cos x可得cos x＝0或sin x＝，又x∈[0,3π]，则x＝，，或x＝，，，，故所求交点个数是7.‎ ‎6．[2016·新课标全国卷Ⅲ]函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．‎ 答案： 解析：函数y＝sin x－cos x＝2sin的图象可由函数y＝sin x＋cos x＝2sin的图象至少向右平移个单位长度得到．‎ ‎7．[2015·湖北卷]某同学用“五点法”画函数f(x)＝‎ Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．‎ 解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知 f(x)＝5sin，‎ 则g(x)＝5sin.‎ 因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z, ‎ 令2x＋2θ－＝kπ，‎ 解得x＝＋－θ，k∈Z. ‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，‎ 所以令＋－θ＝，‎ 解得θ＝－，k∈Z.‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 三角函数图象与性质的综合问题 ‎[典例]　已知函数f(x)＝2sincos－sin(x＋π)．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．‎ ‎[审题视角]　(1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求周期；‎ ‎(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得到g(x)，然后利用整体思想求最值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝2sincos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝2sin，‎ 于是T＝＝2π.‎ ‎(2)由已知，得g(x)＝f＝2sin，‎ ‎∵x∈[0，π]，‎ ‎∴x＋∈，‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴g(x)＝2sin∈[－1,2]．‎ 故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.‎ ‎[答题模板]　解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：‎ 第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；‎ 第二步：构造f(x)＝；‎ 第三步：和角公式逆用f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；‎ 第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；‎ 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．‎ 温馨提示 ‎(1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，或asin α＋bcos α＝cos(α－φ) ‎，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应加以关注．‎ ‎(2)求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．‎