【数学】2018届高考一轮复习人教A版第五节函数的定义域和值域学案

【数学】2018届高考一轮复习人教A版第五节函数的定义域和值域学案

第五节 函数的定义域和值域 ‎1．会求一些简单函数的定义域和值域 1． 会求简单函数的定义域和值域.‎ 2． 函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题中，且多与集合问题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函数有关的定义域问题．‎ 3． 函数的值域或最值问题很少单独考查，通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中.‎ 一、常见基本初等函数的定义域 ‎1．分式函数中分母不等于零． ‎ ‎2．偶次根式函数被开方式大于或等于0.‎ ‎3．一次函数、二次函数的定义域均为R. ‎ ‎4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.‎ ‎5．y＝(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． ‎ ‎6．y＝tan x的定义域为{x|x}.‎ ‎7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．‎ 二、基本初等函数的值域 ‎1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. ‎ ‎2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为{y|y}；‎ ‎ 当a<0时，值域为{y|y}‎ 3． y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．‎ 4． y＝(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}．‎ 5． y＝(a>0且a≠1)的值域是R. ‎ 6． y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]．‎ 7． y＝tan x的值域是R.‎ 三、分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．‎ 考向一 求函数的定义域 例1．函数y＝＋(x－1)0的定义域是(　　)‎ A．[－3,1)∪(1,2] B．(－3,2) C．(－3,1)∪(1,2) D．[－3,1)∪(1,2)‎ ‎2．已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)‎ A．(－1,1) B． C．(－1,0) D．‎ ‎3．已知函数f()的定义域是[－1,1]，则f(x)的定义域为________．‎ 简单函数定义域的类型及求法：‎ ‎1．已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．‎ ‎2．对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．‎ ‎3．对抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．‎ 考向二 求函数的值域 例1．求函数y＝的值域：‎ ‎2．求函数y＝x－的值域：‎ ‎3．求函数y＝x＋的值域：‎ ‎ 求函数值域的基本方法：‎ ‎1．观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．‎ ‎2．配方法：“二次函数类”用配方法求值域．‎ ‎3．换元法：形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋的函数用三角函数代换求值域．‎ ‎4．分离常数法：形如y＝（a≠0）的函数可用此法求值域.‎ ‎5．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.‎ ‎6．数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.‎ 考向三 与定义域、值域有关的参数问题 例1．若函数f(x)＝在区间[a，b]上的值域为，则a＋b＝________.‎ ‎2．已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．‎ ‎(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的范围．‎ ‎3．已知函数f(x)＝(a∈R且x≠a)，求x∈[a－１，a－]时，f(x)的值域．‎ ‎ ‎由函数的定义域或值域求参数的方法：已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．‎ 易误警示 与定义域有关的易错问题 答题模版1．(2013·福州模拟)函数f(x)＝－的定义域为________________．‎ ‎【解析】∵要使函数f(x)＝－有意义，则 ∴‎ ‎∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．‎ ‎【答案】(－∞，－1)∪(－1,1]‎ ‎【防范措施】1．本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)＝(x＋1)－后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围．‎ ‎2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．‎ ‎2．已知函数f(＋2)＝x＋2，则函数f(x)的值域为________．‎ ‎【解析】令2＋＝t，则x＝(t－2)2(t≥2)．∴f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)．‎ ‎∴f(x)＝x2－2x(x≥2)．∴f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0，即f(x)的值域为[0，＋∞)．‎ ‎【答案】[0，＋∞)‎ 一、选择（本大题共6小题，每题5分，共30分）‎ ‎1．函数f(x)＝的定义域为(　　)‎ A．(－∞，4] B．[4，＋∞) C．(－∞，4) D．(－∞，1)∪(1,4]‎ ‎2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　)‎ x ‎00) C．y= D．‎ 二、填空（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎7．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为________，值域为________．‎ ‎8．若有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．‎ ‎9．函数y＝的定义域为________．‎ ‎10．函数y＝(x>0)的值域是________．‎ 第五节 函数的定义域和值域 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是(　　)‎ A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1‎ C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1‎ ‎2．若函数的定义域为，则的定义域为(　　)‎ ‎ A．(－1,2) B．[，4] C．(－1,0) D．(0,2)‎ ‎3．函数的定义域为，则函数的定义域为(　　)‎ A．[－2,1)∪(1,2] B．(－2,1) C．(－3,1)∪(1,2) D．[1,5]‎ ‎4．已知等腰△ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为(　　)‎ A．R B．{x|x>0} C．{x|01)，求a，b的值．‎ 第五节 函数的定义域和值域 考向一：例1．【解析】要使函数有意义，只需得所以－3＜x＜2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|－3＜x＜2且x≠1}．【答案】C ‎2．【解析】因为函数f(x)的定义域为(－1,0)，所以要使函数有意义，需满足－1＜2x＋1＜0，解得－1＜x＜－，即所求函数的定义域为.【答案】B 3．【解析】∵f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1，∴≤2x≤2，故f(x)的定义域为.【答案】 考向二：例1．【解析】法一：(分离常数法)y＝＝＝1－.因为≠0，所以1－≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．法二：由y＝得yx＋y＝x－3.解得x＝，所以y≠1，即函数值域是{y|y∈R，y≠1}． 2．【解析】法一：(换元法)令＝t，则t≥0且x＝，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.法二：(单调性法)容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤.所以y≤f＝，即函数的值域是.‎ ‎3．【解析】法一：(基本不等式法)当x>0时，x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝2时“＝”成立；当x<0时，x＋＝－(－x－)≤－4，当且仅当x＝－2时“＝”成立．即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f′(x)＝1－＝.x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(－2,0)或x∈(0,2)时，f(x)单调递减．故x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4. 即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．‎ 考向三：例1．【解析】∵由题意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.则f(x)＝在[a，b]上为减函数，则f(a)＝＝1且f(b)＝＝，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.【答案】6‎ ‎2．【解析】(1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0，对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是a2－1>0且Δ<0，即∴a<－1或a>.又a＝－1时，f(x)＝0，满足题意．∴a≤－1或a>.(2)依题意，只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R，故有a2－1>0，Δ≥0，解之1(2)1≤a≤ ‎3．【解析】∵f(x)＝＝－1＋，当a－1≤x≤a－时，－a＋≤－x≤－a＋1，‎ ‎∴≤a－x≤1.∴1≤≤2. ∴0≤－1＋≤1，即f(x)的值域为[0,1]．‎ 基础自测：1-6．DDAAAD 7．【答案】[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞) 8．【答案】[－1，＋∞) 9．【答案】[0,1) 10．【答案】(0，]‎ 能力提升：1-6．CDDDBA 7．【答案】[－1,1]∪[2,4] 8．【答案】[－1,8] 9．【答案】[0，＋∞) 10．【解析】要使函数有意义，则所以原函数的定义域为{x|x≥，且x≠}. 11．【解析】(1)(配方法 y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．‎ ‎(2)y＝＝1－，∵x2－x＋1＝2＋≥，∴0<≤，∴－≤y<1，即值域为.(3)y＝log3x＋－1，令log3x＝t，则y＝t＋－1(t≠0)，当x>1时，t>0，y≥2 －1＝1，当且仅当t＝即log3x＝1，x＝3时，等号成立；当0

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