2017-2018学年湖南省衡阳二十六中高二上学期期中考试数学（文））试题

2017-2018学年湖南省衡阳二十六中高二上学期期中考试数学（文））试题

2017-2018 学年湖南省衡阳二十六中高二上学期期中考试 数学（文） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.） 1.已知 ABC 三内角之比为1:2:3 ，则对应三内角正弦之比为（ ） A.1:2:3 B.1:1:2 C.1: 3 :2 D.1: 3:3 2. 等比数列 x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( ) A．－24 B．0 C．12 D．24 3.如果 0a b  ，那么下列各式一定成立的是（ ） A. 0a b  B. ac bc C. 2 2a b D. 1 1 a b  4.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 4 7a  ， 5 20S  ，则 10a  （ ） A. 16 B.19 C. 22 D.25 5.已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项 an 等于( ) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n 6. 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则 a100 的值是( ) A．9 900 B．9 902 C．9 904 D．11 000 7.如图所示的程序框图运行的结果为（ ） A.1022 B.1024 C.2044 D.2048 8.已知实数 x ，y 满足约束条件 2 0 2 2 0 2 2 0 x y x y x y        „ … „ ，则目标函数 z x y  的最大值为（ ） A. 1 2 B. 2 5 C.4 D.6 9. 若不等式 2 1 0ax bx ＋ ＋ 的解集为 1| 1 3x x      ，则 a b 的值为 ( ) A. 5 B. 5 C. 6 D. 6 第 7 题图 10.若不等式 2 162 a bx x b a    对任意 a ， (0 )b ，ä 恒成立，则实数 x 的取值范围是 （ ） A.( 20) ， B.( 42) ， C.( 2) (0 )  ， ， D.( 4) (2 )  ， ， 11.等差数列 na 中， 11 10 1a a ，若其前 n 项和 nS 有最大值，则使 0nS  成立的最大自然数 n 的值为（ ） A.19 B.20 C.9 D.10 12. 一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍)： 第 1 行 1 第 2 行 2 3 第 3 行 4 5 6 7 …… …… 则第 8 行中的第 5 个数是( ) A．68 B．132 C．133 D．260 第 II 卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分.） 13. lg( 3－ 2)与 lg( 3＋ 2)的等差中项为_______． 14.函数 4( ) ( 2)2f x x xx     的最小值为___________. 15. 已知数列{an}中,an+1=2an,a3=8,则数列{log2an}的前 n 项和等于________. 16. 设 数 列  na 是 正 项 数 列 ， 若 2 1 2 3na a a n n    … ， 则 1 2 2 3 1 naa a n    … ______. 三、解答题 （本题共 6 小题，共 70 分.） 17．（本小题满分 10 分） 解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)0＜x2－x－2≤4； 18．（本小题满分 12 分） 已知锐角 ABC△ ，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 3 2 sina c A . （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）若 7c  ，且 ABC△ 的面积为 3 3 2 ，求 a b 的值. 19．设 f(x)＝ax2＋bx，且 1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围． 20．（本小题满分 12 分） 已知正项等比数列 na ， 1 1 2a  ， 2a 与 4a 的等比中项为 1 8 . （Ⅰ）求数列 na 的通项公式 na ； （Ⅱ）令 n nb na ，数列 nb 的前 n 项和为 nS .证明：对任意的 *n Nä ，都有 2nS  . 21．（本小题满分 12 分） 对任意 m∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒大于零，求 x 的取值范围． 22．（本小题满分 12 分） 已知数列{an}各项均为正数，且 a1＝1，an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N*)． (1)设 bn＝ 1 an ，求证：数列{bn}是等差数列； (2)求证：数列 an n＋1 的前 n 项和 1nS  对于任意 n N  恒成立 答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C D D B B B C B A B 二、填空题 13. 0 14. 2 15. ( 1) 2 n n  16. 22 6n n 三、解答题 17. (1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0. 解得－2≤x≤4 3 ， 所以原不等式的解集为 x|－2≤x≤4 3 . (2)原不等式等价于 x2－x－2＞0， x2－x－2≤4 ⇔ x2－x－2＞0， x2－x－6≤0 ⇔ x－2x＋1＞0， x－3x＋2≤0 ⇔ x＞2 或 x＜－1， －2≤x≤3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1 或 2＜x≤3}. 18.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由正弦定理，得 3sin 2sin sinA C A ，………………………………2 分 因为 (0 )A ，ä ，所以sin 0A  ，于是， 3sin 2C  ，………………………………4 分 又因为锐角 ABC△ ，所以 (0 )2C ，ä ，…………………………………………5 分 解得 3C  .…………………………………………………………………………………6 分 （Ⅱ）因为 1 sin2ABCS ab C△ ，………………………………………………………7 分 所以 3 3 3 4 2ab  ，解得 6ab  ，……………………………………………………9 分 由余弦定理，得 2 2 2 2 cosc a b ab C   ，………………………………………………10 分 即 27 ( ) 2 (1 cos )a b ab C    ，………………………………………………………11 分 解得 5a b  .………………………………………………………………………12 分 19.（本小题满分 12 分） 解析 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m、n 为待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b， 于是得 m＋n＝4 n－m＝－2， 解得 m＝3 n＝1. ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10. 20.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）因为正项等比数列 na ，所以 0na  ，设公比为 q ，则 0q  .………………1 分 又因为 2a 与 4a 的等比中项为 1 8 ，所以 3 1 8a  ，…………………………………………2 分 即 2 1 1 8a q  ，由 1 1 2a  ，得 1 2q  ，………………………………………………………3 分 于是，数列 na 的通项公式为 1 2n na  .…………………………………………………4 分 （Ⅱ）由题可知， 2n n nb  ，……………………………………………………………5 分 于是， 2 3 1 2 3 2 2 2 2n n nS     … ——① 2 3 4 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2n n nS     … ——②………………………………………………6 分 由① ②，得 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2n n n nS       … …………………………………………8 分 1 1 1(1 )2 2 1 21 2 n n n      1 11 2 2n n n    .………………………………………………………10 分 解得 22 2n n nS   ，………………………………………………………………………11 分 故 2nS  .…………………………………………………………………………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：由 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m ＝(x－2)m＋x2－4x＋4， 令 g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， ∴ g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0， g1＝x－2＋x2－4x＋4>0， 解得 x<1 或 x>3. 故当 x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的 m∈[－1,1]，函数 f(x)的值恒大于零． 22.（本小题满分 12 分） 解：(1)证明：因为 an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N*)， 所以 an＋1＝ an an＋1. 因为 bn＝ 1 an ， 所以 bn＋1－bn＝ 1 an＋1 － 1 an ＝an＋1 an － 1 an ＝1. 又 b1＝ 1 a1 ＝1， 所以数列{bn}是以 1 为首项、1 为公差的等差数列． (2)由(1)知，bn＝n，所以 1 an ＝n，即 an＝1 n ， 所以 an n＋1 ＝ 1 nn＋1 ＝1 n － 1 n＋1 ， 所以 Sn＝ 1－1 2 ＋ 1 2 －1 3 ＋…＋ 1 n － 1 n＋1 ＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 1