上海市育才中学2019届高三下学期三模考试数学试卷

上海市育才中学2019届高三下学期三模考试数学试卷

育才中学高三模拟考数学试卷 一. 填空题 ‎1.不等式的解为 。‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【详解】由，可得 ‎ 即 ‎ 所以不等式的解为或 ‎2.已知直线垂直于平面直角坐标系中的轴，则的倾斜角为________‎ ‎【答案】0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线垂直于轴，可得出直线的倾斜角.‎ ‎【详解】由于直线垂直于平面直角坐标系中的轴，所以，直线的倾斜角为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线倾斜角的概念，在直线的倾斜角中，规定与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为，意在考查学生对于倾斜角概念的理解，属于基础题.‎ ‎3.函数反函数是________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由解出，可得出所求函数的反函数.‎ ‎【详解】由，得，则有，，‎ 因此，函数的反函数为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.若角的终边经过点，则的值为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值.‎ ‎【详解】由三角函数的定义可得，，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.方程的解为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求行列式的方法化简得，这是一个关于的二次方程，将看成整体进行求解即可.‎ ‎【详解】方程， ‎ 等价于，‎ 即，‎ 化为 或（舍去），‎ ‎，故答案为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎6.由参数方程为参数，所表示的曲线的右焦点坐标为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状，然后求出曲线的右焦点坐标.‎ ‎【详解】，由，得，所以，，‎ 即曲线的普通方程为，该曲线为双曲线，其右焦点坐标为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查曲线焦点坐标的求解，考查参数方程与普通方程之间的转化，解参数方程问题，通常将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状并进行求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.平面直角坐标系内有点，，，，将四边形绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用图形判断出四边形是矩形，且边位于直线上，旋转后形成圆柱，然后利用圆柱的体积公式可得出所求几何体的体积.‎ ‎【详解】如下图所示，四边形是矩形，且边位于直线上，且，，‎ 将四边形绕着直线旋转一周，形成的几何体是圆柱，且该圆柱的底面半径为，高为，因此，该几何体的体积为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题.‎ ‎8.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交大和浙大不同时被选中的概率为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙大同时被选中”的概率，再利用对立事件的概率公式得出所求事件的概率.‎ ‎【详解】由题意知，事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件为“交大和浙大同时被选中”，‎ 由古典概型的概率公式得知，事件“交大和浙大同时被选中”的概率为，‎ 由对立事件的概率知，事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.已知且，设函数的最大值为1，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在上单调递增，且结合题中条件得出函数在上单调递减，且，于此列出不等式组求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意知，函数在上单调递增，且，‎ 由于函数的最大值为，‎ 则函数在上单调递减且，‎ 则有，即，解得，‎ 因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10.对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义，判断出在复平面对应的点的轨迹方程，作出图形，结合图形得出的取值范围.‎ ‎【详解】由于满足条件的复数对应的点的轨迹是椭圆，‎ 则，即复数在复平面内对应的点到点的距离小于，‎ 所以，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆的内部，‎ 的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点的轨迹方程，结合椭圆的定义加以理解，考查数形结合思想，属于中等题.‎ ‎11.等差数列中，，，（），则数列的公差为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，由，可计算出的值，由此可得出数列的公差.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，则，‎ 又，，则，‎ ‎，即数列的公差为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，对于等差数列基本量的计算，通常利用首项和公差建立方程组求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.已知平面直角坐标系中两点、，为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为________‎ ‎【答案】20.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得 ‎，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出的最大值.‎ ‎【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径长为，‎ ‎，‎ 由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，‎ 所以，当四边形为正方形时，取最大值，此时正方形的边长为，‎ 所以，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.‎ 二. 选择题 ‎13.已知非空集合满足，给出以下四个命题：‎ ‎①若任取,则是必然事件 ②若,则是不可能事件 ‎③若任取,则是随机事件 ④若,则是必然事件 其中正确的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合的包含关系可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数 ‎【详解】非空集合、满足，可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，①若任取，则是必然事件，故①正确；②若，则是可能事件，故②不正确；③若任取，则是随机事件，故③正确；④若，则是必然事件，故④正确．其中正确的个数为3，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，属于基础题.‎ ‎14.已知数列为等差数列，数列满足，，，.，则数列的公差 d为（ ）.‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】注意到 ，‎ 则 从而，d=4．选D.‎ ‎15.正方体中, 为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可．‎ ‎【详解】由题意可知：过点、、的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查．‎ ‎16.如图所示，向量的模是向量的模的倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次变换得到向量. 在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中、、为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用变换的定义，推导出的向量坐标，求出、的表达式，然后进行验算即可.‎ ‎【详解】，经过一次变换后得到，‎ 点，，，A选项正确；‎ 由题意知 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，B选项正确；‎ ‎ ，‎ C选项正确；‎ ‎，‎ D选项错误.故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查新定义，首先应理解题中的新定义，转化为已有的知识来解决，本题的实质是考查向量的坐标运算，难度较大.‎ 三. 解答题 ‎17.已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆，OA与母线所成角为.‎ ‎（1）试用r表示圆柱的表面积S；‎ ‎（2）若圆柱体积为，求点C到平面OEF的距离.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用与母线所成的角为求出，计算出圆柱的侧面积和底面积，即可得出圆柱的表面积；‎ ‎（2）由圆柱的体积求出与的值，再利用等体积法计算出点到平面的距离.‎ ‎【详解】（1）由于与圆柱的母线成的角，则，，‎ 所以，圆柱的表面积为；‎ ‎（2），，，设点到平面的距离为，‎ 由题意知，，，‎ ‎，，‎ 所以，，易得的面积为，‎ 由，，，‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱表面积的计算，考查点到平面距离的计算，要根据题中的角转化为边长关系进行计算，在计算点到平面的距离时，一般利用等体积法进行转化求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎18.若的图像的最高点都在直线 上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为.‎ ‎(1)求和的值：‎ ‎(2)在中，分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角的正弦函数公式化简，再由正弦函数的性质求得和的值；（2）由是函数图象的一个对称中心求得值，再由正弦定理求得外接圆半径，则外接圆的面积可求．‎ ‎【详解】（1） ‎ 由题意知,函数的周期为,且最大值为,所以.‎ ‎(2) 是函数图像的一个对称中心,所以,又因为的内角,所以，‎ 在中,设外接圆半径为,由得 所以的外接圆的面积 ‎【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．‎ ‎19.已知函数，其中，且，且 ‎（1）若，试判断的奇偶性；‎ ‎（2）若，，，证明的图像是轴对称图形，并求出对称轴.‎ ‎【答案】(1)见解析（2）函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由得出，于是得出，利用偶函数的定义得出，利用奇函数的定义得出，于是得出当时，函数为非奇非偶函数；‎ ‎（2）先得出，并设函数图象的对称轴为直线，利用定义，列等式求出的值，即可而出函数图象的对称轴方程.‎ ‎【详解】（1）由已知，，于是，则，‎ 若是偶函数，则，即，‎ 所以对任意实数恒成立，所以．‎ 若是奇函数，则，即，‎ 所以对任意实数恒成立，所以．‎ 综上，当时，是偶函数；‎ 当时，奇函数，当，既不是奇函数也不是偶函数；‎ ‎（2），若函数的图像是轴对称图形，且对称轴是直线，即对任意实数，恒成立，‎ ‎，化简得，‎ 因为上式对任意成立，所以，，．‎ 所以，函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，考查函数对称性的求解法，解题的关键要从函数奇偶性的定义以及对称性定义列式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20.已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：.‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；‎ ‎（3）求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设两动圆的公共点为，由椭圆定义得出曲线是椭圆，并得出、、的值，即可得出曲线的方程；‎ ‎（2）求出点，设点，，对直线的斜率是否存在分两种情况讨论，在斜率存在时，设直线的方程为，并将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合条件并代入韦达定理求出的值，可得出直线所过点的坐标，在直线的斜率不存在时，可得出直线的方程为，结合这两种情况得出直线所过定点坐标；‎ ‎（3）利用韦达定理求出面积关于的表达式，换元，然后利用基本不等式求出的最大值.‎ ‎【详解】（1）设两动圆的公共点为，则有：．‎ 由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，，所以曲线的方程是：；‎ ‎（2）由题意可知：，设，，‎ 当的斜率存在时，设直线，联立方程组：‎ ‎，把②代入①有：，‎ ‎ ③，④，‎ 因为，所以有，‎ ‎，把③④代入整理：‎ ‎，（有公因式）继续化简得：‎ ‎，或（舍），‎ 当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：‎ 过定点，综上，直线恒过定点；‎ ‎（3）面积，‎ 由第（2）小题的③④代入，整理得：，‎ 因在椭圆内部，所以，可设，‎ ‎ ，，（时取到最大值）．‎ 所以面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，考查直线过定点问题以及三角形面积问题，对于这些问题的处理，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理设而不求法求解，难点在于计算量，易出错.‎ ‎21.已知无穷数列的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．‎ ‎(Ⅰ)若= n，请写出数列的前5项；‎ ‎(Ⅱ)求证："为奇数， (i = 2,3,4,）为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；‎ ‎(Ⅲ)若，i=1, 2, 3,…，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）代入的值，即可求得，，，，． ‎ ‎（Ⅱ）根据题意，先证充分性和不必要性，分别作出证明．‎ ‎（Ⅲ）分当为奇数和当为偶数，两种情况进而推导数列的通项公式．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）解：，，，，． ‎ ‎（Ⅱ）证明：（充分性）‎ 因为为奇数，为偶数，‎ 所以，对于任意，都为奇数． ‎ 所以． ‎ 所以数列是单调递增数列． ‎ ‎（不必要性）‎ 当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，均为奇数，‎ 所以，数列是单调递增数列． ‎ 所以“为奇数，为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件； ‎ 综上所述，“为奇数，为偶数”是“数列是单调递增数列” 的充分不必要条件．‎ ‎（Ⅲ）解：（1）当为奇数时，‎ 如果为偶数，‎ 若为奇数，则为奇数，所以为偶数，与矛盾；‎ 若为偶数，则为偶数，所以为奇数，与矛盾．‎ 所以当为奇数时，不能为偶数． ‎ ‎（2）当为偶数时， ‎ 如果为奇数，‎ 若为奇数，则为偶数，所以为偶数，与矛盾；‎ 若为偶数，则为奇数，所以为奇数，与矛盾．‎ 所以当为偶数时，不能为奇数． ‎ 综上可得与同奇偶．‎ 所以为偶数．‎ 因为为偶数，所以为偶数． ‎ 因为为偶数，且，所以．‎ 因为，且，所以． ‎ 以此类推，可得． ‎ 点睛：本题考查学生对新定义理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.‎ ‎ ‎