贵州省安顺市平坝第一高级中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

贵州省安顺市平坝第一高级中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

安顺市平坝第一高级中学2018-2019学年第二学期期末考试 高二文科数学试卷 ‎ ‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前考生务必将自己的姓名，准考证号填涂在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.‎ ‎4.考试结束后，将答题卡交回. ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，集合，　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合A，根据交集的定义写出即可．‎ ‎【详解】集合，‎ 集合，‎ 则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．‎ ‎2.已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得：，‎ 则，据此可得，的虚部为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎3.一个简单几何体三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2 的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出几何体的直观图，根据三视图得出棱锥的结构特征，代入体积公式进行计算，即可求解．‎ ‎【详解】由三视图可知几何体为四棱锥，‎ 其中底面为矩形，顶点在底面的射影为的中点，‎ 由左视图可知棱锥高，‎ 因为正视图为等腰三角形，所以，‎ 所以棱锥的体积为，故选C．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．‎ ‎4.设满足约束条件，则的最小值与最大值的和为（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 13 D. 14‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 可行域如图所示，当动直线过时，；当动直线过时，，故的最大值与最小值的和为14，选D.‎ ‎5.已知向量, ,若, 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量, 求得，再利用三角函数的基本关系化简，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，向量, ,‎ 因为, 所以，即，即，‎ 则，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的共线定理的应用，以及三角函数的基本关系式的应用，其中解答中根据向量的共线定理得到的值，再利用三角函数的基本关系式化简、求值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎6. 阅读程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 （ ）‎ A. i＞5 B. i＞6 C. i＞7 D. i＞8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环：S=1+1=2，i=2，不满足条件，执行循环；‎ 第二次循环：S=2+2=4，i=3，不满足条件，执行循环；‎ 第三次循环：S=4+3=7，i=4，不满足条件，执行循环；‎ 第四次循环：S=7+4=11，i=5，不满足条件，执行循环；‎ 第五次循环：S=11+5=16，i=6，满足条件，退出循环体，输出S=16，故判定框中应填i＞5或i≥6，故选：A。‎ 考点：程序框图。‎ 点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构。当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断。算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的高考中都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题。‎ ‎7.为研究某两个分类变量是否有关系，根据调查数据计算得到，因为，则断定这两个分类变量有关系，那么这种判断犯错误的概率不超过( )．‎ A. 0.1 B. 0.001 C. 0.01 D. 0.05‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据观测值，对照临界值表，即可得到结论．‎ ‎【详解】由题意，根据调查数据计算得到，‎ 因为，‎ 所以这种判断犯错误的概率不超过，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，其中解答中熟记独立性检验的概念和含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎8.设函数，则的值为( )‎ A. -7 B. -1 C. 0 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数的性质即可得出．‎ ‎【详解】∵函数，‎ ‎∴‎ 故选：D ‎【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎9.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．‎ ‎【详解】画出图形，如下图．‎ 选取基底，则，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题 ‎（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．‎ ‎（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．‎ ‎10.已知函数，则（ ）‎ A. 的图象关于直线对称 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的图象关于点对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 当时，，所以函数的对称轴，故A正确；‎ 由，所以函数的最大值为，最小值为，所以B、C不正确；‎ 又由时，，所以不是函数的对称中心，故D不正确，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11.在平面直角坐标系中，已知,为函数图象上一点，若，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件，可得点是双曲线图象上一点，根据双曲线的定义，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解．‎ 故选C．‎ ‎【详解】由题意，因为点为函数图象上一点，‎ 所以点是双曲线图象上一点，‎ 且是双曲线的焦点，‎ 因为，由双曲线的定义，可得，‎ 解得，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题，注意双曲线定义和三角形中余弦定理的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12.函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由方程恰有三个不相等的实数根，转化为与的图象由三个不同的交点，由函数的性质作出函数的图象，再由斜率公式求得边界值，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，方程恰有三个不相等的实数根，‎ 转化为与的图象由三个不同的交点，‎ 由，可得函数为周期为2，且为偶函数，‎ 故函数的图象，如图所示，‎ 由于直线过定点，‎ 当直线过点时，，恰好不满足条件，‎ 当直线过点时，，恰好满足条件，‎ 结合图象，可得实数的取值范围是，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程恰有三个不相等的实数根，转化为与的图象由三个不同的交点，作出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） ‎ ‎13.已知变量，之间具有线性相关关系，测得的一组数据为，，，，若其回归直线方程为，则___________．‎ ‎【答案】0.9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出样本中心点的坐标（1.5，3），再将其代入回归直线方程得的值.‎ ‎【详解】因为.‎ 将(1.5，3)代入回归直线方程＝1.4x＋，‎ 得3＝1.4×1.5＋，解得＝0.9.‎ 故答案为:0.9‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查回归方程的性质，意在考察学生对知识的掌握水平和分析推理能力.(2)回归直线经过样本中心点，所以样本中心点的坐标满足回归直线的方程.‎ ‎14.两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设两球的半径分别为，根据列出关于，的方程组，解出方程组，根据球的体积公式可得结果.‎ ‎【详解】设两球的半径分别为，‎ ‎∵两个球的半径相差1，表面积之差为，‎ ‎∴，，解得，，‎ ‎∴它们的体积和为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了球的体积公式的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎15.设，，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 当且仅当时取等号 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎16.已知下列命题：‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②已知为两个命题，若为假命题，则为真命题；‎ ‎③“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎④“若则且”的逆否命题为真命题.‎ 其中 真命题的序号是__________．（写出所有满足题意的序号）‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①写出命题“”的否定，即可判定正误；‎ ‎②由为假命题，得到命题都是假命题，由此可判断结论正确；‎ ‎③由时，不成立，反之成立，由此可判断得到结论；‎ ‎④举例说明原命题是假命题，得出它的逆否命题也为假命题．‎ ‎【详解】对于①中，命题“”的否定为“”，所以不正确；‎ 对于②中，命题满足为假命题，得到命题都是假命题，所以都是真命题，所以为真命题，所以是正确的；‎ 对于③中，当时，则不一定成立，当时，则成立，所以是成立的必要不充分条件，所以不正确；‎ 对于④中，“若则且”是假命题，如时，‎ 所以它的逆否命题也是假命题，所以是错误的；‎ 故真命题的序号是②．‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的否定，复合命题的真假判定，充分与必要条件的判断问题，同时考查了四种命题之间的关系的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了推理与论证能力．‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎（一）必考题（共60分.）‎ ‎17.数列的前n项和记为，且，数列满足 ‎（1）求数列，的通项公式 ‎（2）设，数列的前n项和为,证明 ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推关系求数列{an}通项公式，同时可求得{bn}（2）利用裂项相消法求后可证．‎ ‎【详解】（1）∵，∴，∴．‎ 时，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴是以5为首项，5为公比的等比数列，‎ ‎∴． ‎ ‎∴． ‎ ‎（2），‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及数列求和，‎ 求和关键看通项的结构形式，如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，‎ 则用裂项相消法；‎ ‎18.某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），‎ ‎（1）求分数在[70，80）中的人数；‎ ‎（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？‎ ‎（3）在（2）中抽取5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．‎ ‎【答案】（1）30；（2）2；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图先求出分数在[70，80）内的概率，由此能求出分数在[70，80）中的人数．‎ ‎（2）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，由此能求出用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的人数．‎ ‎（3）用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的有2人分数在[50，60）的有3人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，‎ 所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为：‎ ‎1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，‎ ‎∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人． ‎ ‎（2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人，‎ 分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，‎ 用分层抽样方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，‎ 抽取的5人中分数在[40，50）的人有： ‎ ‎（3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，‎ 用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，‎ 抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为，‎ 分数在[50，60）的有3人，设为，，‎ ‎5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：‎ ‎，，，，，，，， ，‎ 分别在不同区间上有m=6种可能．，，，，，‎ 所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率P==．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎19.如图1，正方形的边长为，、分别是和的中点，是正方形的对角线与的交点，是正方形两对角线的交点，现沿将折起到的位置，使得，连结，，（如图2）．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先由中位线定理及已知条件推出平面，然后由线面垂直的性质定理平面，从而可使问题得证；（2）分别把和当做底面求出棱锥的体积，由此列出方程求解即可．‎ 试题解析：（1）证明：∵分别是和的中点，∴．‎ 又∵，∴，故折起后有，又∵，∴平面，‎ 又∵平面，∴，∵平面，‎ ‎∴平面，又∵平面，∴．‎ ‎（2）∵正方形的边长为，∴，‎ ‎∴是等腰三角形，连结，则，‎ ‎∴的面积．‎ 设三棱锥的高为，则三棱锥的体积为，‎ 由（1）可知是三棱锥的高，∴三棱锥的体积：，‎ ‎∵，即，解得，即三棱锥高为．‎ 考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线面垂直的判定定理与性质定理；3、三棱锥的体积．‎ ‎20.已知椭圆过点，离心率是，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用点在椭圆上、离心率进行求解；（2）先利用点差法求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程，再分别求出该直线在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式进行求解.‎ 试题解析：（1）由已知可得 ‎, , 解得， ∴椭圆的方程为 ‎（2）设、 代入椭圆方程得，两式相减得 ‎,由中点坐标公式得，‎ ‎∴ 可得直线的方程为 令可得 令可得 则直线与坐标轴围成的三角形面积为.‎ ‎21.已知函数，曲线的图象在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求，并证明；‎ ‎（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由导数的几何意义，求得，得到函数的解析式，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解；‎ ‎（2）把对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，‎ 令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．‎ ‎【详解】（1）根据题意，函数，则，则，‎ 由切线方程可得切点坐标为，将其代入，解得，‎ 故，则，‎ 则，得，‎ ‎，函数单调递减；‎ ‎，函数单调递增；‎ 所以，所以．‎ ‎（2）由对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，‎ 令，‎ 得，‎ 由（1）可知，当时，恒成立，‎ 令，得；，得， ‎ 所以的单调增区间为，单调减区间为，‎ 故，所以.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式关系的证明和恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎（二）选考题（共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ 求的极坐标方程；‎ 若直线与曲线相交于M，N两点，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用转换关系，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换即可； 直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义，即可求出结果.‎ ‎【详解】曲线的参数方程为：（为参数，‎ 转换为直角坐标方程为：，‎ 转换为极坐标方程为：．‎ 直线的极坐标方程为．‎ 转换为参数方程为：(t为参数)．‎ 把直线的参数方程代入，‎ 得到，和为M、N对应的参数，‎ 故：，．‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可．‎ ‎23.选修4－5：不等式选讲:已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；‎ 问题转化为恒成立，当时，‎ ‎，令，求出的最大值，求出m的范围即可．‎ ‎【详解】解：当时，，‎ 由，‎ 得或或，‎ 解得：或，‎ 故不等式的解集是；‎ 当时，，‎ 恒成立，‎ 即恒成立，‎ 整理得：，‎ 当时，成立，‎ 当时，，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故，‎ 故 ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，一道常规题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎