2018-2019学年河南省实验中学高二下学期期中考试 数学（文） word版

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河南省实验中学2018--2019学年下期期中试卷 ‎ 高二 数学（文） 命题人：刘春城 审题人：贠慧萍 ‎（时间：120分钟，满分：150分）‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知复数z满足，则|z|＝（　　）‎ A． B． C．3 D．4‎ ‎2．下列导数运算正确的是（　　）‎ A．（x﹣1）′＝ B．（2x）′＝x2x﹣1 C．（cosx）′＝sinx D．（lnx+x）′＝1‎ ‎3．用反证法证明“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设中正确的是（　　）‎ A．有两个数是正数 B．这三个数都是正数 ‎ C．至少有两个数是负数 D．至少有两个数是正数 ‎4．下列推理是归纳推理的是（　　）‎ A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆 ‎ B．由a1＝a，an＝3n﹣1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 ‎ C．由圆x2+y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab ‎ D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 ‎5．下列关于回归分析的说法中错误的有（　　）个 ‎（1）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．‎ ‎（2）回归直线一定过样本中心（，）．‎ ‎（3）两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．‎ ‎（4）甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎6．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中一个问题的大意为：一年有二十四个节气（如图），每个节气晷长损益相同（即物体在太阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同）．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则立冬节气的晷长为（　　）‎ A．九尺五寸 B．一丈五寸 ‎ C．一丈一尺五寸 D．一丈六尺五寸 ‎7．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（　　） ‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” ‎ B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎8．在下面的图示中，是结构图的为（　　）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎9．已知函数f（x）＝x2﹣5x+2lnx，则函数f（x）的单调递减区间是（　　）‎ A． B． （0，1）和（2，+∞）‎ C．（，2） D． 和（2，+∞）‎ ‎10．已知函数f（x）＝sinx+cosx，若f1（x）＝f′（x），fn+1（x）＝f′n（x）（n∈N+），则f2019（）＝（　　）‎ A． B． C． D．﹣ ‎ ‎11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（　　）‎ A．3972 B．3974 C．3991 D．3993‎ ‎12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2019）2f（x+2019）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（　　）‎ A．（﹣2019，﹣2017） B．（﹣2019，﹣2018） ‎ C．（﹣2021，﹣2019） D．（﹣2020，﹣2019）‎ 二.填空题:本大题共5小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为　 　．‎ ‎14．已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A，B，C，每个探测器仅发回一张照片．‎ 甲说：照片A是α发回的；乙说：β发回的照片不是A就是B；丙说：照片C不是γ发回的．‎ 若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片B是探测器　 　发回的．‎ ‎15．在等比数列{an}中，若a9＝1，则有等式a1a2…an＝a1a2…a17﹣n，（n＜17，n∈N*）成立．类比上述性质，相应的在等差数列{bn}中，若b9＝0，则有等式　 　成立．‎ ‎16.若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是 ‎ 三.解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本题满分10分）已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）‎ ‎（1）若z是纯虚数，求m的值；‎ ‎（2）设是z的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．‎ ‎18．（本题满分12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）．‎ ‎（1）若函数f（x）在x＝1处有极值10，求f（x）的解析式；‎ ‎（2）当a＝﹣2时，若函数f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围．‎ ‎19．（本题满分12分）某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差（x°C，x≥3）和患感冒的小朋友人数（y/人）的数据如下：‎ 温差x°C x1‎ x2‎ x3‎ x4‎ x5‎ x6‎ 患感冒人数y ‎8‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎26‎ 其中，，，‎ ‎（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；‎ ‎（Ⅱ）建立y关于x的回归方程（精确到0.01），预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数）‎ 参考数据：．参考公式：相关系数：，回归直线方程是，‎ ‎20．（本题满分12分）下面图形都是由小正三角形构成的，设第个图形中的黑点总数为f（n）．‎ ‎（1）求f（2），f（3），f（4），f（5）出的值；‎ ‎（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式．‎ ‎21．（本题满分12分）已知a∈R，f（x）＝2x﹣alnx．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当x≥1时，xf（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．‎ 选作题：共12分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 22. 选修4-4：坐标系与参数方程（12分）‎ 已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2a（a＞0）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点P（0，4），直线l与曲线C交于M，N两点，且|PM|•|PN|＝14，求a的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲（12分）‎ 已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．‎ 河南省实验中学2018--2019学年下期期中试卷 高二文科数学 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D B C B ‎ B B C A D C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13. x﹣4y﹣4＝0． 14．α ‎ ‎15 ‎ ‎ 16．（﹣1，2]‎ 三、解答题 ‎17．解：z＝＝．‎ ‎（1）若z是纯虚数，则，即m＝2；------------------------5分 ‎（2），‎ 由在复平面上对应的点在第四象限，得，即﹣2＜m＜2．---10分 ‎18 （1）因为f（x）＝x3+ax2+bx+a2，所以f'（x）＝3x2+2ax+b，‎ 由已知条件，得即 ‎ 解得 或--------------------------------------------------------4分 下面分别检验：‎ ‎①当a＝4，b＝﹣11时，f（x）＝x3+4x2﹣11x+16，f′（x）＝3x2+8x﹣11，‎ 令f′（x）＝0，即 3x2+8x﹣11＝0，解得 ，x2＝1，‎ 列表：‎ x ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 增函数 极大值 减函数 极小值10‎ 增函数 由上表可知，f（x）在x＝1处取极小值10，符合题意．‎ ‎②当a＝﹣3，b＝3时，f（x）＝x3﹣3x2+3x+9，f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x2﹣2x+1）＝3（x﹣1）2≥0，f（x）为增函数，不合题意，舍去．‎ 所以当a＝4，b＝﹣11时，f（x）＝x3+4x2﹣11x+16为所求函数的解析式．‎ 综上所述，所求函数的解析式为f（x）＝x3+4x2﹣11x+16． -------------------6分 ‎（2）当a＝﹣2时，f（x）＝x3﹣2x2+bx+4，f'（x）＝3x2﹣4x+b，‎ 此导函数是二次函数，二次项系数大于0，且对称轴为，----- -----8分 因为函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，‎ 也就是f'（2）≥0，‎ 即 3×22﹣4×2+b≥0，解得b≥﹣4，‎ 所以，b的取值范围是[﹣4，+∞）． ---------------------------------------------------12分 ‎19．解：（Ⅰ），‎ ‎（14﹣17）2+（20﹣17）2+（23﹣17）2+（26﹣17）2＝252．‎ 故r＝．‎ ‎∴可用线性回归模型拟合y与x的关系；-------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ），，‎ ‎，‎ ‎∴y关于x的回归方程为．----------------------------------10分 当x＝4时，△y＝2.61×4≈10．‎ 预测当昼夜温差升高4°C时患感冒的小朋友的人数会增加10人．-------12分 ‎20． 【解答】解：（1）由题意有f（1）＝3，‎ f（2）＝f（1）+3+3×2＝12，‎ f（3）＝f（2）+3+3×4＝27，‎ f（4）＝f（3）+3+3×6＝48，‎ f（5）＝f（4）+3+3×8＝75．…（6分）‎ ‎（2）由题意及（Ⅰ）知，f（n+1）＝f（n）+3+3×2n＝f（n）+6n+3，‎ 即f（n+1）﹣f（n）＝6n+3，…（8分）‎ 故f（2）﹣f（1）＝6×1+3，‎ f（3）﹣f（2）＝6×2+3，f（4）﹣f（3）＝6×3+3，‎ ‎…‎ f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1）+3，n≥2．…（10分）‎ 将上面（n﹣1）个式子相加，得：‎ ‎，‎ 又f（1）＝3，所以f（n）＝3n2，n≥2，‎ 而当n＝1时，f（1）＝3也满足上式，‎ 故f（n）＝3n2，n∈N*．…（12分）‎ ‎21．解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）＝2﹣＝（x﹣），‎ 当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，‎ 当a＞0时，在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）递减，‎ 在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，‎ 综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，‎ a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；------------------6分 ‎（Ⅱ）xf（x）≥x2+1恒成立，即xf（x）﹣（x2+1）≥0恒成立，‎ 设g（x）＝xf（x）﹣（x2+1），则g（x）＝x2﹣axlnx﹣1，‎ g′（x）＝2x﹣a（1+lnx），g′（x）的单调性和f（x）相同，‎ 当a≤0时，g′（x）在[1，+∞）递增，g′（x）≥g′（1）＝2﹣a＞0，------8分 故g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）＝0，‎ 当a＞0时，g′（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，----------------------9分 当0＜a≤2时，≤1，g′（x）在[1，+∞）递增，-------------------------10分 g′（x）≥g′（1）＝2﹣a≥0，‎ 故g（x）是增函数，故g（x）≥g（1）＝0，‎ 当a＞2时，在区间（1，）上，g′（x）递减，‎ 故g′（x）＜g′（1）＝2﹣a＜0，‎ 故g（x）递减，故g（x）＜g（1）＝0，不合题意，‎ 综上，a的范围是（﹣∞，2]．------------------------------------------------------12分 ‎22解：（1）由ρ＝2a两边平方得ρ2（a2sin2θ+4cos2θ）＝4a2，‎ 又 ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，∴a2y2+4x2＝4a2（a＞0），‎ 即曲线C的直角坐标方程为：4x2+a2y2＝4a2．--------------------------------6分 ‎（2）消去参数t得直线l的普通方程为：y＝x+4，易知P（0，4）在直线l上，‎ 所以直线l的斜率为，倾斜角为60°，‎ 所以直线l的参摄方程可设为：（t为参数），‎ 将以上参数方程代入曲线C的直角坐标方程并整理得：（1+a2）t2+4a2t+12a2＝0‎ 设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1t2＝，----------------------------------------------------------11分 所以|PM||PN|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝＝14，解得：a＝．-----------12分 ‎23．解：（Ⅰ）a＝时，|3x﹣1|+|2x﹣2|＞6，‎ 故或或，‎ 解得：x＞或x＜﹣，‎ 故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；-------------------------------6分 ‎（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，‎ 则|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，‎ 故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，‎ 故6×a＞2a+4，解得：a＞2，‎ x0＜a时，2a＞4，解得：a＞2，‎ 综上，a∈（2，+∞）．-------------------------------------------12分