安徽省桐城中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（文）试卷

安徽省桐城中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（文）试卷

数学试卷（文科）‎ 一．选择题（共12小题，每题5分，计60分）‎ ‎1．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n ‎ C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0‎ ‎3．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（　　）‎ A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件 ‎ C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件 ‎4．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10‎ ‎6．已知数列{an}中，“an+12＝an•an+2”是“数列{an}为等比数列”的什么条件（　　）‎ A．充分不必要 B．必要不充分 ‎ C．充分必要 D．既不充分也不必要 ‎7．已知方程表示双曲线，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＞﹣1 B．m＞2 C．m＜﹣1或m＞2 D．﹣1＜m＜2‎ ‎8．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）‎ A．（x≠0） B．（x≠0） ‎ C．（x≠0） D．（x≠0）‎ ‎9．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC ‎|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（　　）‎ A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x ‎10．椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ 二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）‎ ‎13．已知命题p：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若命题p的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围为　 　．‎ ‎14．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为　 　．‎ ‎15．已知（4，2）是直线l被椭圆+＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是　 　．‎ ‎16．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是　 　．‎ 三．解答题（共6小题，计70分）‎ ‎17．（10分）已知，命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0，命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1＝0．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知p：函数f（x）＝的值域是[0，+∞），q：关于a的不等式 a2﹣（2m﹣5）a+m（m﹣5）＞0，若￢p是￢q充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知命题p：方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆．‎ 命题q：实数m满足m2﹣4am+3a2＜0，其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a＝1且p∧q为真命题时，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，点A，B在椭圆上，且＝2，求线段AB所在直线的方程．‎ ‎21．（12分）已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．‎ ‎（1）求轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，1），且离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过A作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且k1+k2＝2，证明：直线MN过定点．‎ 参考答案与试题解析 ‎1．解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x＝3，y＝．‎ ‎∴p是q的充分不必要条件．故选：A．‎ ‎2．解：命题为全称命题，‎ 则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．‎ ‎3解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，‎ 命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆 ‎∵当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，‎ 再加上这个和大于两个定点之间的距离，‎ 可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，‎ 而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，‎ ‎∴甲是乙成立的必要不充分条件故选：B．‎ ‎4．解：∵条件p：a＜0，条件q：a2＞a，⇔a＜0或a＞1‎ 故条件p是条件q的充分不必要条件 则¬p是¬q的必要不充分条件故选：B．‎ ‎5解：命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．‎ 故选：C．‎ ‎6．解：若数列{an}为等比数列，则满足an+12＝an•an+2，‎ 当数列an＝0时满足an+12＝an•an+2，但此时数列{an}为等比数列不成立，‎ 即“an+12＝an•an+2”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．‎ ‎7．解：∵方程，‎ ‎∴（m﹣2）（m+1）＜0，解得﹣1＜m＜2，∴m的取值范围是（﹣1，2）．故选：D．‎ ‎8．解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），‎ ‎∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，‎ ‎∵12＞8‎ ‎∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，‎ ‎∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B．‎ ‎9．解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，‎ 在直角三角形ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，‎ ‎∴2|AE|＝|AC|∴3+3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，‎ ‎∴＝求得p＝因此抛物线方程为y2＝3x．故选：D．‎ ‎10．解：依题意可知点F（﹣c，0）‎ 直线AB斜率为 ＝，直线BF的斜率为 ＝‎ ‎∵∠FBA＝90°，‎ ‎∴（ ）•＝﹣＝﹣1‎ 整理得c2+ac﹣a2＝0，即（）2+﹣1＝0，即e2+e﹣1＝0‎ 解得e＝或﹣∵0＜e＜1∴e＝，故选：C．‎ ‎11．解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFBN为长方形．‎ 根据椭圆的定义：|AF|+|AN|＝2a，∠ABF＝α，则：∠ANF＝α．所以：2a＝2ccosα+2csinα 利用e＝＝‎ 所以：‎ 则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]‎ 故选：A．‎ ‎12．解：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF 由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|‎ 在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．‎ 由余弦定理得，‎ ‎|AB|2＝a2+b2﹣2abcos120°＝a2+b2+ab 配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，‎ 又∵ab≤（） 2，‎ ‎∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2‎ 得到|AB|≥（a+b）．‎ 所以≤＝，即的最大值为．故选：A．‎ ‎13 m的取值范围为　（﹣2，2）　．‎ 解：由于命题p的逆否命题为真命题，‎ 则：原命题为真命题，‎ 故：命题p：∀x∈R，x2+mx+1＞0，为真命题，‎ 则：△＝m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，故：m的取值范围是（﹣2，2）．‎ 故答案为：（﹣2，2）‎ ‎14．m的取值范围为　[8，+∞）　．‎ 解：因为¬p是¬q的必要不充分条件，‎ 所以q是p的必要不充分条件，‎ 即p⇒q，但q推不出p，‎ 即，即，所以m≥8．故答案为：[8，+∞）‎ ‎15．解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），‎ 将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率 k＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．‎ 由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8＝0．‎ ‎16．离心率的取值范围是　（，1）　．‎ ‎【解答】解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，‎ ‎∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，‎ ‎∴|PF1|＝|F1F2|＝10，即c＝5，|PF2|＝10﹣2a2，‎ 又由双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．‎ 故∈（1，2）．∴a2∈（，5），‎ 设椭圆的半实轴长为a1，‎ 则|PF1|+|PF2|＝2a1＝20﹣2a2，‎ 即a1＝10﹣a2∈（5，）故e＝∈（，1）故答案为：（，1）‎ ‎17．解：（1）∵命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0为真命题，‎ ‎∴△＝a2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，‎ ‎∴实数a的取值范围为[﹣2，2]；‎ ‎（2）命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1＝0为真命题，‎ ‎∴a＝＝x+在x∈[﹣3，﹣1]单调递增，在x∈[﹣1，﹣]单调递减，‎ ‎∴当x＝﹣1时，a取最大值﹣2，当x＝﹣3时a＝﹣，当x＝﹣时a＝﹣，‎ ‎∴实数a的取值范围为：[﹣，﹣2]‎ ‎18．解：∵f（x）＝的值域是[0，+∞），‎ ‎∴y＝x2﹣2ax+3的值域是[0，+∞），‎ 则△＝4a2﹣12≥0，得a2≥3，‎ 得a≥或a≤﹣，即p：a≥或a≤﹣，‎ ‎∵a2﹣（2m﹣5）a+m（m﹣5）＞0，‎ ‎∴[a﹣（m﹣5）]（a﹣m）＞0，‎ 得a＞m或a＜m﹣5，即q：a＞m或a＜m﹣5，‎ 若￢p是￢q充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，‎ 则，即，得≤m≤5﹣，‎ 即实数m的取值范围是得≤m≤5﹣．‎ ‎19解：（Ⅰ）方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，‎ 则，得，得＜m＜2，‎ 若a＝1，由m2﹣4m+3＜0得1＜m＜3，‎ 若p∧q为真命题时，则p，q同时为真，则1＜m＜2．‎ ‎（Ⅱ）由m2﹣4am+3a2＜0，（a＞0）．‎ 得（m﹣a）（m﹣3a）＜0，得a＜m＜3a，即q：a＜m＜3a，￢q：x≥3a或0＜x≤a，‎ ‎∵p是￢q的充分不必要条件，∴3a≤或a≥2，‎ 即a≤或a≥2，∵a＞0，∴0＜a≤或a≥2‎ 即实数a的取值范围是（0，]∪[2，+∞）‎ ‎20．解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．‎ ‎∵长轴长为6，离心率为．∴2a＝6，，又a2＝b2+c2，‎ 联立解得a＝3，c＝2，b2＝5．∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）M（0，2）．‎ 设直线AB的方程为y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立，化为（9+5k2）x2+20kx﹣25＝0，‎ ‎∴x1+x2＝，x1x2＝．‎ 又＝2，∴﹣x1＝2x2．‎ 联立可得，解得．‎ ‎∴．∴直线AB的方程为y＝x+2．‎ ‎21（1）解：∵点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，‎ 由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，‎ 设方程为y2＝2px（p＞0），∵＝1，∴p＝2．‎ ‎∴轨迹C的方程为y2＝4x．‎ ‎（2）证明：设l1的方程为y＝k（x﹣1），代入抛物线方程，整理可得k2x﹣（2k2+4）x+k2＝0，‎ 设P1、P2的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝，‎ ‎∴|P1P2|＝x1+x2+p＝，‎ 以﹣代入，可得|Q1Q2|＝4+4k2，‎ ‎∴＝．‎ ‎22．解：（1）椭圆C：（a＞b＞0）过点A（0，1），可得b＝1，且离心率为＝．a2﹣1＝c2，解得a＝2，‎ 所求椭圆方程为：…………………（5分）‎ ‎（2）当直线MN斜率不存在时，设直线方程为x＝t，则M（t，s），N（t，﹣s），‎ ‎，则，∴t＝﹣1…………（7分）‎ 当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y＝kx+b，与椭圆方程联立：，‎ 得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣4＝0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），有（*）………………（10分）‎ 则 将*式代入化简可得：，即（k﹣b﹣1）（b﹣1）＝0，∴k＝b+1………（11分）‎ 直线MN：y＝（b+1）x+b＝b（x+1）+x，恒过定点（﹣1，﹣1）…………（12分）‎