黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三下学期第一次调研考试数学（理）试题 Word版含解析

黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三下学期第一次调研考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届高三学年第一次调研考试数学科试卷(理工类)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（　　）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.‎ ‎【详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.‎ ‎【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.‎ ‎2.已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题．‎ ‎【详解】设，‎ 因为，所以，‎ 所以，解得：，‎ 所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.‎ - 24 -‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．‎ ‎3.设a，b，c为正数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不修要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】解：，，正数，‎ 当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，‎ 若，则，即，‎ 即，即，成立，即必要性成立，‎ 则“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．‎ ‎4.已知数列的前项和为，且，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得.‎ ‎【详解】由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以 - 24 -‎ ‎，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.‎ ‎5.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解．‎ ‎【详解】函数可化为：，‎ 将函数的图象向左平移个单位长度后，‎ 得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，‎ 所以，解得：，即：，‎ 又，所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题．‎ ‎6.函数的大致图象是（ ）‎ - 24 -‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用排除B，C；用排除；可得正确答案.‎ ‎【详解】解：当时，，，‎ 所以，故可排除B，C；‎ 当时，，故可排除D．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．‎ ‎7.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）‎ A. 20 B. 27 C. 54 D. 64‎ ‎【答案】B - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解．‎ ‎【详解】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，‎ 设落在小正方形内的米粒数大约为，‎ 则，解得：‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎8.若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.‎ ‎【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，‎ 所以，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立 - 24 -‎ 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.‎ ‎9.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）‎ A. 若,,则 B. 若，,则 C. 若,,则 D. 若,,则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．‎ ‎【详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：‎ 在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；‎ 在B中，若，，则或，故B错误；‎ 在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；‎ 在D中，若，，则与平行或，故D错误．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．‎ ‎10.已知定义在R上的偶函数满足，当时，，函数（），则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的性质可得：的图像关于直线对称且关于轴对称，函数（）的图像也关于 - 24 -‎ 对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.‎ ‎【详解】由偶函数满足，‎ 可得的图像关于直线对称且关于轴对称，‎ 函数（）图像也关于对称，‎ 函数的图像与函数（）的图像的位置关系如图所示，‎ 可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，‎ 则与的图像所有交点的横坐标之和为4.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎11.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线的斜率的最大值为( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设，由题意，显然时不符合题意，故，则 ‎，可得：‎ - 24 -‎ ‎，当且仅当时取等号，故选C．‎ 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件，利用向量的运算可知，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．‎ ‎12.已知函数且，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，判断出的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】构造函数，由解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，而，所以在定义域上为增函数，且.由得，即 - 24 -‎ ‎，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果 ‎【详解】因为,且α+β=1，所以A,B,C三点共线，‎ 因此点C的轨迹为直线AB:‎ ‎【点睛】本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎14.满足约束条件的目标函数的最小值是 . ‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】可行域是如图的菱形ABCD，‎ 代入计算，‎ 知为最小.‎ - 24 -‎ ‎15.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件为“4名同学所报项目各不相同”，事件为“只有甲同学一人报走进社区项目”，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件概率的求法，分别求得，再代入条件概率公式求解.‎ ‎【详解】根据题意得 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎16.四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．‎ ‎【详解】解：如图，在四面体中，底面，，，‎ 可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，‎ - 24 -‎ 则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．‎ 其表面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在平面四边形中，已知，.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若求的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的长，进而由三角形的面积公式求得三角形的面积.‎ ‎（2）利用诱导公式求得，进而求得，利用两角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的长.‎ ‎【详解】（1）在中，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎.‎ - 24 -‎ ‎（2）‎ 在中，，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.‎ ‎18.如图,三棱柱中,底面是等边三角形,侧面是矩形,是的中点,是棱上的点,且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结BM，推导出BC⊥BB1，AA1⊥BC，从而AA1⊥MC，进而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推导出四边形AMNP是平行四边形，从而MN∥AP，由此能证明MN∥平面ABC．‎ ‎（2）推导出△ABA1是等腰直角三角形，设AB，则AA1＝2a，BM＝AM＝a，推导出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M为坐标原点，MA1，MB，MC为x，y，z - 24 -‎ 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．‎ ‎【详解】（1）如图1，在三棱柱中，连结，因为是矩形，‎ 所以，因为，所以， ‎ 又因为，，所以平面，‎ 所以，又因为，所以是中点，‎ 取中点，连结，，因为是的中点，则且， ‎ 所以且，所以四边形是平行四边形，所以，‎ 又因平面，平面，所以平面.‎ ‎（图1） （图2）‎ ‎（2）因为，所以是等腰直角三角形，设，‎ 则，.在中，，所以.‎ 在中，，所以，‎ 由（1）知，则，，如图2，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则，，.‎ 所以，则，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 - 24 -‎ 取得.故平面的一个法向量为，‎ 因为平面的一个法向量为，‎ 则.‎ 因为二面角为钝角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：‎ 等级 不合格 合格 得分 频数 ‎6‎ ‎24‎ ‎（Ⅰ）若测试的同学中，分数段内女生的人数分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？‎ - 24 -‎ ‎ 是否合格 ‎ 性别 ‎ 不合格 合格 总计 男生 女生 总计 ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅲ）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？‎ 附表及公式：，其中.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不需要调整安全教育方案.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据题目所给数据填写好列联表，计算出的值，由此判断出在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.（III）由（II）中数据，计算出，进而求得 - 24 -‎ 的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，.‎ 性别与合格情况的列联表为：‎ ‎ 是否合格 ‎ 性别 ‎ 不合格 合格 小计 男生 女生 小计 即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.‎ ‎（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为,‎ ‎ .‎ 的分布列为：‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎0‎ - 24 -‎ 所以. ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知： .‎ 故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.‎ ‎【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，且过的直线与椭圆交于两点，设且 .‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出的坐标，代入，结合在抛物线上，求得两点的横坐标，进而求得点的坐标.‎ ‎（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）可知，‎ - 24 -‎ 设 则，‎ 又，‎ 所以 解得 所以.‎ ‎（2）据题意，直线的斜率必不为 所以设将直线方程代入椭圆的方程中，‎ 整理得，‎ 设 则①‎ ‎②‎ 因为 所以且 将①式平方除以②式得 所以 又解得 又，‎ 所以 令，‎ - 24 -‎ 则 ‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.‎ ‎21.某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格)(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:.‎ ‎（1）求当日产量为吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数)；‎ ‎（2）记每日生产平均成本求证：；‎ ‎（3）若财团每日注入资金可按数列(单位:亿元)递减，连续注入天，求证:这天的总投入资金大于亿元.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导函数，由此求得求当日产量为吨时的边际成本.‎ ‎（2）将所要证明不等式转化为证明，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.‎ ‎（3）利用（2）的结论，判断出，由此结合对数运算，证得.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）因为 所以 当时，‎ ‎（2）要证，‎ 只需证，即证，‎ 设 则 所以在上单调递减，‎ 所以 所以，即；‎ ‎（3）因为 又由（2）知，当时，‎ 所以 所以 所以 ‎【点睛】本小题主要考查导数的计算，考查利用导数证明不等式，考查放缩法证明数列不等式，属于难题.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 - 24 -‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；‎ ‎（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；‎ ‎（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．‎ ‎【详解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，‎ 设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），‎ 所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，‎ 所以点P的直角坐标为（1，1）．‎ ‎（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，‎ 因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，‎ 则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，‎ 依题意，点M对应的参数为，‎ - 24 -‎ 所以|PM|＝||．‎ ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数的最大值为，其中.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若求证:.‎ ‎【答案】（1）1；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得的最大值，进而求得的值.‎ ‎（2）利用（1）的结论，将转化为，求得的取值范围，利用换元法，结合函数的单调性，证得，由此证得不等式成立.‎ ‎【详解】（1）‎ 当时，取得最大值.‎ ‎（2）证明:由（1）得，，‎ ‎，当且仅当时等号成立， ‎ - 24 -‎ 令，‎ 则在上单调递减 当时，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎