【数学】2020届江苏一轮复习通用版3-1导数的概念及几何意义、导数的运算作业

【数学】2020届江苏一轮复习通用版3-1导数的概念及几何意义、导数的运算作业

专题三　导　数 ‎【真题典例】‎ ‎3.1　导数的概念及几何意义、导数的运算 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 导数的概念及几何意义 ‎1.切线方程的有关问题 ‎2.导数几何意义的应用 ‎★★☆‎ 导数的运算 导数的运算 ‎2018江苏,19‎ 导数的运算 ‎★★☆‎ 分析解读　　导数的概念及几何意义、导数的四则运算是学习导数的基础,一般不单独考查,往往结合函数知识进行考查,更多出现于解答题中.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　导数的概念及几何意义 ‎1.(2019届江苏平潮高级中学检测)已知函数f(x)=ax2+3x-2在点(2, f(2))处的切线斜率为7,则实数a=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎2.曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线方程为　　　　. ‎ 答案　x-y-1=0‎ 考点二　导数的运算 ‎1.(2019届江苏启东一中检测)已知函数f(x)=ax在x=1处的导数为-2,则实数a的值是　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎2.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f '(1)=　　　　. ‎ 答案　2‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　导数的运算方法 ‎1.(2019届江苏四甲中学检测)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为　　　　　　　　. ‎ 答案　f '(x)=3(x2-a2)‎ ‎2.已知函数f(x)=xcos x,则f 'π‎2‎=　　　　. ‎ 答案　-‎π‎2‎ 方法二　求曲线y=f(x)的切线方程 ‎1.与直线4x-y+5=0平行的抛物线y=2x2的切线方程是　　　　　　. ‎ 答案　4x-y-2=0‎ ‎2.(2019届江苏石庄中学检测)已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　. ‎ 答案　2x+y+1=0‎ 方法三　与切线有关的参数的求解策略 ‎1.(2018江苏苏州高三期中调研)已知曲线f(x)=ax3+ln x在(1, f(1))处的切线的斜率为2,则实数a的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ ‎2.(2018江苏南通高三第一次调研测试)若曲线y=xln x在x=1与x=t处的切线互相垂直,则实数t的值为　　　　. ‎ 答案　e-2‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎　(2018江苏,19,16分)记f '(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f '(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.‎ ‎(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;‎ ‎(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值;‎ ‎(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=bexx.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.‎ 解析　本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.‎ ‎(1)证明:函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,‎ 则f '(x)=1,g'(x)=2x+2,‎ 由f(x)=g(x)且f '(x)=g'(x),‎ 得x=x‎2‎+2x-2,‎‎1=2x+2,‎此方程组无解.‎ 因此, f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.‎ ‎(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,‎ 则f '(x)=2ax,g'(x)=‎1‎x,‎ 设x0为f(x)与g(x)的“S点”,‎ 由f(x0)=g(x0)且f '(x0)=g'(x0),‎ 得ax‎0‎‎2‎-1=ln x‎0‎,‎‎2ax‎0‎=‎1‎x‎0‎,‎即ax‎0‎‎2‎-1=ln x‎0‎,‎‎2ax‎0‎‎2‎=1,‎(*)‎ 得ln x0=-‎1‎‎2‎,即x0=e‎-‎‎1‎‎2‎,则a=‎1‎‎2(‎e‎-‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎=e‎2‎.‎ 当a=e‎2‎时,x0=e‎-‎‎1‎‎2‎满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,‎ 因此,a的值为e‎2‎.‎ ‎(3)f '(x)=-2x,g'(x)=bex(x-1)‎x‎2‎,x≠0, f '(x0)=g'(x0)⇒bex‎0‎=-‎2‎x‎0‎‎3‎x‎0‎‎-1‎>0⇒x0∈(0,1),‎ f(x0)=g(x0)⇒-x‎0‎‎2‎+a=bex‎0‎x‎0‎=-‎2‎x‎0‎‎2‎x‎0‎‎-1‎⇒a=x‎0‎‎2‎-‎2‎x‎0‎‎2‎x‎0‎‎-1‎,‎ 令h(x)=x2-‎2‎x‎2‎x-1‎-a=‎-x‎3‎+3x‎2‎+ax-a‎1-x,x∈(0,1),a>0,‎ 设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,‎ 则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,‎ 又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,‎ ‎∴m(x)在(0,1)上有零点,‎ 则h(x)在(0,1)上有零点.‎ 因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.‎ 思路分析　本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决问题,第三问中先利用f '(x0)=g'(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a=x‎0‎‎2‎-‎2‎x‎0‎‎2‎x‎0‎‎-1‎,从而转化为研究h(x)=‎-x‎3‎+3x‎2‎+ax-a‎1-x,x∈(0,1),a>0的零点存在性问题,再研究函数m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,由m(0)<0,m(1)>0,可判断出m(x)在(0,1)上存在零点,进而解决问题.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　导数的概念及几何意义 ‎1.(2018课标全国Ⅰ文改编,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为　　　　. ‎ 答案　y=x ‎2.(2018课标全国Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为　　　　. ‎ 答案　y=2x ‎3.(2018课标全国Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　. ‎ 答案　-3‎ ‎4.(2017课标全国Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+‎1‎x在点(1,2)处的切线方程为　　　　　　. ‎ 答案　x-y+1=0‎ ‎5.(2014课标Ⅱ改编,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎6.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　. ‎ 答案　1-ln 2‎ ‎7.(2016课标Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是　　　　. ‎ 答案　y=2x 考点二　导数的运算 ‎1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为　　　　. ‎ 答案　e ‎2.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎3.(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎4.(2016山东理改编,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是　　　　. ‎ ‎(1)y=sin x;(2)y=ln x;(3)y=ex;(4)y=x3.‎ 答案　(1)‎ ‎5.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=　　　　. ‎ 答案　8‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2013广东理改编,10,5分)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=　　　　. ‎ 答案　-1‎ ‎2.(2011江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是　　　　. ‎ 答案　e‎2‎+‎‎1‎‎2e ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共50分)‎ ‎1.(2018江苏海门中学检测)曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎2.(2019届江苏启东中学检测)函数y=xcos x-sin x的导数为　　　　. ‎ 答案　y'=-xsin x ‎3.(2019届江苏白蒲高级中学检测)函数f(x)=exsin x的图象在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为　　　　. ‎ 答案　‎π‎4‎ ‎4.(2019届江苏汇龙中学检测)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为　　　　　　　. ‎ 答案　5x+y+2=0‎ ‎5.(2018江苏启东一中检测)已知函数f(x)=‎(x-2‎‎)‎‎2‎x+1‎,则f(x)的导函数f '(x)=　　　　. ‎ 答案　‎x‎2‎‎+2x-8‎‎(x+1‎‎)‎‎2‎ ‎6.(2019届江苏金沙中学检测)曲线y=ax在x=0处的切线方程是xln 2+y-1=0,则a=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎7.(2019届江苏南师附中检测)若f(x)=2xf '(1)+x2,则f '(0)=　　　　. ‎ 答案　-4‎ ‎8.(2018江苏姜堰第二中学检测)若x轴是曲线f(x)=ln x-kx+3的一条切线,则k=　　　　. ‎ 答案　e2‎ ‎9.(2019届江苏丹阳高级中学检测)在曲线y=x-‎1‎x(x>0)上一点P(x0,y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A,B,O是坐标原点,若△OAB的面积为‎1‎‎3‎,则x0=　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎ ‎10.(2018江苏江阴第一中学检测)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=　　　　. ‎ 答案　0‎ 二、解答题(共30分)‎ ‎11.(2019届江苏通州高级中学检测)已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;‎ ‎(2)求经过点(2,-2)的曲线的切线方程.‎ 解析　(1)因为f '(x)=3x2-8x+5,‎ 所以f '(2)=1,又f(2)=-2,‎ 所以曲线在点(2, f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.‎ ‎(2)设曲线与经过点(2,-2)的切线相切于点P(x0,x‎0‎‎3‎-4x‎0‎‎2‎+5x0-4),‎ 因为f '(x0)=3x‎0‎‎2‎-8x0+5,‎ 所以切线方程为y-(-2)=(3x‎0‎‎2‎-8x0+5)(x-2),‎ 又切线过点P(x0,x‎0‎‎3‎-4x‎0‎‎2‎+5x0-4),‎ 所以x‎0‎‎3‎-4x‎0‎‎2‎+5x0-2=(3x‎0‎‎2‎-8x0+5)(x0-2),‎ 整理得(x0-2)2(x0-1)=0,‎ 解得x0=2或1,‎ 所以经过(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.‎ ‎12.(2019届江苏张家港高级中学检测)已知f(x)=ln x,g(x)=‎1‎‎3‎x3+‎1‎‎2‎x2+mx+n,直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切于点(1,0).‎ ‎(1)求直线l的方程;‎ ‎(2)求函数g(x)的解析式.‎ 解析　(1)因为直线l是f(x)=ln x在点(1,0)处的切线,‎ 所以其斜率k=f '(1)=1,‎ 因此直线l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)又直线l与g(x)相切于点(1,0),‎ 所以g'(1)=1,且g(1)=0.‎ 因此‎1‎‎3‎‎+‎1‎‎2‎+m+n=0,‎‎1+1+m=1,‎所以m=-1,‎n=‎1‎‎6‎,‎ 所以函数g(x)=‎1‎‎3‎x3+‎1‎‎2‎x2-x+‎1‎‎6‎.‎