2020-2021学年高二数学上册同步练习：圆的一般方程

2020-2021学年高二数学上册同步练习：圆的一般方程

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：圆的一般方程 一、单选题 1．圆的方程为 22 2100xyxy ，则圆心坐标为（ ） A． (1, 1) B． 1( , 1)2  C． ( 1,2 ) D． 1( , 1)2 【答案】D 【解析】将 配方,化为圆的标准方程可得   2 21145 1110244xy , 即可看出圆的圆心为 . 故选 D. 2．若方程 2220x y a   表示圆，则实数 a 的取值范围为（ ） A． 0a  B． 0a  C． 0a  D． 0a  【答案】A 【解析】由题 222x y a   ，则 20a解得 0a  故选 A 3．以  3,1A  ，  2,2B  为直径的圆的方程是（ ） A． 22 80xyxy B． 22 90xyxy C． 22 80xyxy D． 22 90xyxy 【答案】A 【解析】设圆的标准方程为 222()()xaybr ， 由题意得圆心 ( , )O a b 为 A ， B 的中点， 根据中点坐标公式可得 321 22a ， 121 22b ， 又 22(3 2)( 1 2)||34 222 ABr    ，所以圆的标准方程为： 221 1 17( ) ( )2 2 2xy    ，化简整理得 ， 故选 A. 4．若直线 2 4 0m x n y   始终平分圆 224240xyxy 的周长，则 m 、 n 的关系是（ ） A． 20mn   B． 20mn   C． 40mn   D． 40mn   【答案】A 【解析】 标准方程为 22(2)(1)9xy ，圆心为 (2, 1) ， ∵直线 始终平分圆 的周长， ∴ 22(1)40mn ，即 ． 故选 A． 5．圆 C： 22+4+2+2=0xyxy  的半径是（ ） A． 3 B． 3 C． 2 D． 2 【答案】A 【解析】因为 22222+4+2+2=0(2)(1)(3)xyxyxy ，所以该圆的半径为 . 故选 A 6．曲线方程 22 40xyExy 表示一个圆的充要条件为（ ） A． 15E  B． 15E  C． 2 15E  D． 2 15E  【答案】C 【解析】表示圆的充要条件是  22 1440E  ，即 . 故选 C． 7．当圆 22:4220Cxyxmym 的面积最小时， 的取值是（ ） A． 4 B．3 C． 2 D． 1 【答案】D 【解析】由圆 ， 化为标准方程为： 2 2 2( 2) ( ) 2 4x y m m m      ， 可得： 222 24 (1)3 3rmmm   可得当 1m  时， 2r 最小，即圆的面积最小， 故选 D. 8．若曲线 222:24540Cxyaxaya 上所有的点均在第二象限内，则 a 的取值范围为（ ） A．  ,2  B．  ,1  C．  2,  D． 1,  【答案】C 【解析】由曲线方程可知：曲线 C 是圆心为  ,2aa ，半径为 2 的圆 曲线 上所有的点均在第二象限内 2 22 a a      ，解得： 2a  a 的取值范围是 故选 9．点 P ，Q 在圆 22 430xykxy 上  k  R ，且点 ， 关于直线 20xy对称，则该圆的半 径为（ ） A． 3 B． 2 C．1 D． 22 【答案】B 【解析】点 , 在圆 上 ,且点 , 关于直线 对称 可知直线 经过圆心 圆心坐标为 ,22 k 代入直线方程可得 220 2 k 解得 2k  所以圆的方程为 222430xyxy 化成标准方程为   22122xy 所以圆的半径为 2r  故选 B 10．在平面直角坐标系 xOy 中，  2,0A  ，点 在圆 22:4460C xyxy 上运动，则向量OA 与 OP 的夹角的取值范围是（ ） A． 5,12 12   B． 7,12 12   C． 57,12 12   D． 7 11,12 12   【答案】D 【解析】圆 C 的方程： 224 4 6 0x y x y     可以化为 22( 2) ( 2) 2xy    ， 圆心  2 ,2C ，半径 2r  ， 画出图象： 由图可知：向量 OA 与 OP 的夹角为 A O P ， 当 P 运动到 OP 与圆 相切的 1P 位置时， 最小， 当 运动到 与圆 相切的 2P 位置时， 最大， 又由图可得 1 1 321,sin4||2 22 PCAOCPOC OC  ，  126POC P OC     ， 1 37 4 6 12AOP       ， 2 311 4612AOP  . 向量 与 的夹角的取值范围是 故选 D. 11．已知圆 过点     4,6 , 2, 2 , 5,5 ，点 ,MN在圆 上，则 CMN 面积的最大值为（ ） A．100 B．25 C．50 D． 25 2 【答案】D 【解析】设圆 C 的方程为 22 0xyDxEyF ，将      4,6,2,2,5,5 代入可得， 52460 8220 50550 DEF DEF DEF      ，解得 2, 4, 20D E F      . 故圆 的一般方程为 2224200xyxy ，即    221225xy ， 故 C M N 的面积 11125 sin55sin5512222SCMCNMCNMCN . CMN 面积的最大值为 25 2 . 故选 D . 12．若 210xy   ，则 2 y x  的取值范围为（ ） A． 33[ , ] 33 B． 33(,][,) 33 C． 11( , ] [ , )22    D． 11[ , ] 22 【答案】D 【解析】因为 ，所以 21 yx   所以  2210xyx 如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为 1 的半圆 的几何意义是点  ,xy与点 2,0 连线的斜率 如图，    0,1 , 0, 1AB ，  2,0P 1 0 1 0 2 2PAk    ， 1 0 1 0 2 2PBk  所以 2 y x  的取值范围为 11[ , ] 22 故选 D 二、填空题 13．已知圆 M 的方程是 226 16 0x x y    ，则该圆的半径是___________. 【答案】5 【解析】依题意得   2 2235xy   ，故圆的半径是 5 . 故填 5 14．若方程 22245xyaxya 表示圆，则实数 a 的取值范围是__________． 【答案】 (,4)(1,) 【解析】方程 表示圆，则 2416200aa ，即 2 5 4 0aa   ， 解得 4a <- 或 1a  ，实数 的取值范围是 , 故填 ． 15．若 32,0,1, 4a  ，则方程 222 2210xyaxayaa 表示的圆的个数为______． 【答案】1 【解析】方程 即方程 2 223()124 axyaaa ， 可以表示以 ( 2 a ， )a 为圆心、半径为 231 4aa 的圆． 当 2a  时，圆心(1,2) 、半径为 0，不表示圆． 当 0a  时，圆心(0,0) 、半径为 1，表示一个圆． 当 1a  时，圆心 1( 2 ， 1) 、 23104aa   ，不表示圆． 当 3 4a  时，圆心 3( 8 ， 3 )4 、 ，不表示圆． 综上可得，所给的方程表示的圆的个数为 1， 故填 1． 16．已知直线 : 4 0l x y    与圆 22:2610Cxymxy ，若直线 l 将圆 C 分割成面积相等的两部 分，则 m  ______. 【答案】7 【解析】已知圆 ， 即：   22238xmym ，圆心是  ,3m ， 直线 将圆 分割成面积相等的两部分， 即直线经过圆的圆心，则 3 4 0m    ， 解得： 7m  . 故填 7. 17．对任意实数 m ，圆 2224620xymxmym 恒过定点，则其坐标为______. 【答案】  1,1 、 17,55   【解析】由 由得   2222320mxyxy ，故 22 230 20 xy xy    ，解得 1 1 x y    或 1 5 7 5 x y     . 故填 、 . 18．曲线 2233xy与 2 28yxx 的四个交点所在圆的方程是________． 【答案】 22(4)(2)49xy 【解析】 ， ，故  2 22342 48 3x y yxx    ， 化简整理得到： 228 4 29 0x y x y     ，即 . 故填 . 三、解答题 19．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心坐标和半径． （1） 222 7 5 0x y x    ； （2） 22670xxyyxy ； （3） 2224100xyxy ； （4） 222240xyx ． 【解析】（1）因为 2x 与 2y 项的系数不相等，所以不能表示圆． （2）方程中含有 xy 项，故不能表示圆． （3）因为    22244100 ，故不能表示圆． （4） 222240xyx 可化为   2 211xy   ，故方程表示以  1,0 为圆心，1 为半径的圆． 20．已知圆的方程是 222 2(1)45280xymxmymm （1）求此圆的圆心坐标和半径； （2）求证：不论 m 为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆 . 【解析】（1）圆的方程  222 2145280xymxmymm ， 可化为    2 2129xmym ， ∴圆心坐标为  1,2mm ，半径为 3 . （2）证明：设圆心为  ,xy ， 由（1）可知， 1 2 xm ym    ，则 22xy， ∴不论 为何实数，该圆的圆心恒在直线 2 2 0xy   上， 由（1）可得，圆的半径为定值 3， 故不论 为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆. 21．分别根据下列条件，求圆的方程. （1）过点 ( 4,0)A  ， (0,2)B 和原点； （2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线 2350xy 上. 【解析】（1）设圆的方程为 22 0x y Dx Ey F     ， 由题意， 0 4 2 0 16 4 0 F EF DF          ，解得 0 2 4 F E D      ， 故所求圆的方程为 22420xyxy . （2）由圆心在直线 2 3 5 0xy   上，设圆心的坐标为 25( , )3 aa  ， 因为圆与两坐标轴均相切，所以 25| | | | 3 aa  ， 解得 5a  或 1a  . 当 时，圆心为(5,5) ，半径为 5，则圆的方程为 22(5)(5)25xy ； 当 时，圆心为 ( 1,1) ，半径为 1，则圆的方程为 22(1)(1)1xy ； 故所求圆的方程为 或 . 22．已知 22:120CxyDxEy 关于直线 2 4 0xy   对称，且圆心在 y 轴上. （1）求 C 的标准方程； （2）已知动点 M 在直线 10y  上，过点 引圆 C 的两条切线 MA 、 MB ，切点分别为 A ， B .记四 边形 M A C B 的面积为 S ，求 的最小值； 【解析】（1）由题意知， 圆心 ,22 DEC  在直线 上，即 402 D E ， 又因为圆心 在 轴上，所以 02 D， 由以上两式得： 0D  ， 4E  ， 所以 224120xyy . 故 的标准方程为  22 216xy . （2）如图， 的圆心为  0,2 ，半径 4r  ， 因为 、 是 的两条切线， 所以CA MA ，CBMB ， 故 222 16MA MB MC r MC     又因为 224416ACMSSMAMC△ ， 根据平面几何知识，要使 S 最小，只要 MC 最小即可. 易知，当点 M 坐标为  0 ,10 时， min 8MC  . 此时 min 46416163S  .