数学_高考数学选择题神奇巧解

数学_高考数学选择题神奇巧解

1 神奇巧解高考数学选择题专题 前 言 高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与 综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。 选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法，即从题干出发，探求结果， 这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，这一般适用于题 号在前 1~6 的题目；二是间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察 而得到结果。因为选择题有备选项，又无须写出解答过程，因此存在一些特殊 的解答方法，可以快速准确地得到结果，这就是间接法。这类选择题通常用来 考核考生的思维品质，包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑 性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的 时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解题时间的重要手段。 然而，有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心，认为这样做“不 可靠”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思 想不解放的，认为这样做“不道德”，而不明白这其实正是高考命题者的真实 意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要 手段。 解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等 价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、 现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味， 以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够 的对应练习题，每题至少提供有一种解法。 例题与题组 2 一、数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思 维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。 【例题】、（07 江苏 6）设函数 ( )f x 定义在实数集上，它的图象关于直线 1x  对称，且当 1x  时， ( ) 3 1xf x   ，则有（ ）。 A、 1 3 2( ) ( ) ( )3 2 3f f f  B、 2 3 1( ) ( ) ( )3 2 3f f f  C、 2 1 3( ) ( ) ( )3 3 2f f f  D． 3 2 1( ) ( ) ( )2 3 3f f f  【解析】、当 1x  时， ( ) 3 1xf x   ， ( )f x 的 图象关于直线 1x  对称，则图象如图所示。 这个图象是个示意图，事实上，就算画出 ( ) | 1|f x x  的图象代替它也可以。由图知， 符合要求的选项是 B， 【练习 1】、若 P（2，-1）为圆 2 2( 1) 25x y   的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是（ ） A、 3 0x y   B、2 3 0x y   C、 1 0x y   D、2 5 0x y   （提示：画出圆和过点 P 的直线，再看四条直线的斜率，即可知选 A） 【练习 2】、（07 辽宁）已知变量 x 、 y 满足约束条件 2 0 1 7 0 x y x x y          ，则 y x 的 取值范围是（ ） A、 9 ,65      B、  9, 6,5       C、   ,3 6,  D、 3,6 （提示：把 y x 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选 A。） 3 【练习 3】、曲线  21 4 ( 2,2 )y x x     与直线 ( 2) 4y k x   有两个公共点时， k 的取值范围是（ ） A、 5(0, )12 B、 1 1( , )4 3 C、 5( , )12  D、 5 3( , )12 4 （提示：事实上不难看出，曲线方程  21 4 ( 2,2 )y x x     的图象为 2 2( 1) 4( 2 2,1 3)x y x y        ，表示以（1，0）为圆心，2 为半径的上半圆， 如图。直线 ( 2) 4y k x   过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选 D）] 【练习 4】、函数 )1(|| xxy  在区间 A 上是增函数，则区间 A 是（ ） A、 0, B、     2 1,0 C、 ,0 D、      ,2 1 （提示：作出该函数的图象如右，知应该选 B） 【练习 5】、曲线 13 || 2 ||  yx 与直线 mxy  2 有两个交点，则m 的取值范围是（ ） A、 4m 或 4m B、 44  m C、 3m 或 3m D、 33  m （提示：作出曲线的图象如右，因为直线 mxy  2 与其有两个交点，则 4m 或 4m ，选 A） 4 【 练 习 6 】、（ 06 湖 南 理 8 ） 设 函 数 ( ) 1 x af x x   ， 集 合  | ( ) 0M x f x  ，  '| ( ) 0P x f x  ，若 M P ，则实数a 的取值范围是（ ） A、( ,1) B、(0,1) C、(1, ) D、[1, ) （提示：数形结合，先画出 ( )f x 的图象。 1 1 1( ) 11 1 1 x a x a af x x x x           。当 1a  时，图象如左；当 1a  时图象如右。 由图象知，当 1a  时函数 ( )f x 在(1, ) 上递增， ' ( ) 0f x  ，同时 ( ) 0f x  的 解集为(1, ) 的真子集，选 C） 【练习 7】、（06 湖南理 10）若圆 2 2 4 4 10 0x y x y     上至少有三个不同的点 到直线 : 0l ax by  的距离为2 2 ，则直线l 的倾斜角 的取值范围是（ ） A、 ,12 4       B、 5,12 12       C、 ,6 3       D、 0, 2      （提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为 2 2 2( 2) ( 2) (3 2)x y    ，由题意知，圆心到直线 的距离 d 应该满足0 2d  ，在已知圆中画一个半 径为 2 的同心圆，则过原点的直线 : 0l ax by  与小圆有公共点，∴选 B。） 【练习 8】、（07 浙江文 10）若非零向量 a，b 满足|a-b|=| b |，则（ ） 5 A、|2b| ＞ | a-2b | B、|2b| ＜ | a-2b | C、|2a| ＞ | 2a-b | D、|2a| ＜ | 2a-b | （提示：关键是要画出向量 a，b 的关系图，为此 先把条件进行等价转换。|a-b|=| b |  |a-b|2= | b |2  a2+b2-2a·b= b2  a·（a-2b）=0  a⊥（a-2b），又 a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |， |2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图， ∴|2b| ＞ | a-2b |，选 A。 另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使 OB=AB， 再构造 R△OAC，如下图，因为 OC＞AC，所以选 A。） 【练习 9】、方程 cosx=lgx 的实根的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 （提示：在同一坐标系中分别画出函数 cosx 与 lgx 的图象，如图， 由两个函数图象的交点的个数为 3，知应选 C） 6 【练习 10】、(06 江苏 7)若 A、B、C 为三个集合，A B B C  ，则一定有（ ） A、 A C B、C A C、 A C D、 A   （提示：若 A B C    ，则 ,A B A B C B A    成立，排除 C、D 选项，作出 Venn 图，可知 A 成立） 【 练 习 11 】、 (07 天 津 理 7) 在 R 上 定 义 的 函 数 ( )f x 是 偶 函 数 ， 且 ( ) (2 )f x f x  。若 ( )f x 在区间[1，2]上是减函数，则 ( )f x （ ） A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数 （提示：数形结合法， ( )f x 是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结 论，如下左图知选 B） 【练习 12】、（07 山东文 11 改编）方程 3 21( )2 xx  的解 0x 的取值区间是（ ） A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4） （提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数 3 21, ( )2 xy x y   的图象，则立 刻知选 B，如上右图） 7 二、特值代验 包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项 来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。 【例题】、（93 年全国高考）在各项均为正数的等比数列 na 中，若 5 6 9a a  ， 则 3 1 3 2 3 10log log loga a a    （ ） A、12 B、10 C、8 D、 32 log 5 【解析】、思路一（小题大做）：由条件有 4 5 2 9 5 6 1 1 19 ,a a a q a q a q   从而 10 1 2 9 2 9 5 10 1 2 3 10 1 1( ) 3a a a a a q a q        ， 所以原式= 10 3 1 2 10 3log ( ) log 3 10a a a   ，选 B。 思 路 二 （ 小 题 小 做 ）： 由 5 6 4 7 3 8 2 9 1 109 a a a a a a a a a a     知 原 式 = 5 10 3 5 6 3log ( ) log 3 3a a   ，选 B。 思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列 5 6 3, 1a a q   即可，选 B。 【练习 1】、（07 江西文 8）若0 2x   ，则下列命题中正确的是（ ） A、 2sin x x B、 2sin x x C、 3sin x x D、 3sin x x （提示：取 ,6 3x   验证即可，选 B） 【练习 2】、（06 北京理 7）设 4 7 10 3 10( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N       ，则 ( )f n  （ ） A、 2 (8 1)7 n  B、 12 (8 1)7 n  C、 32 (8 1)7 n  D、 42 ( 1)7 nn   （提示：思路一：f（n）是以 2 为首项，8 为公比的等比数列的前 4n  项 的和， 8 所以 4 42(1 8 ) 2( ) ( 1)1 8 7 n nf n n     ，选 D。这属于直接法。 思路 2：令 0n  ，则 3 4 4 7 10 42 1 (2 ) 2(0) 2 2 2 2 (8 1)1 2 7f          ，对照选项， 只有 D 成立。） 【练习 3】、（06 全国 1 理 9）设平面向量 a1、a2、a3 的和 a1+a2+a3=0，如果 平面向量 b1、b2、b3 满足| bi|=2| ai |，且 ai 顺时针旋转30 以后与 bi 同向， 其中 i=1、2、3 则（ ） A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0 （提示：因为 a1+a2+a3=0，所以 a1、a2、a3 构成封闭三角形，不妨设其为正 三角形，则 bi 实际上是将三角形顺时针旋转30 后再将其各边延长 2 倍，仍为 封闭三角形，故选 D。） 【练习 4】、若 ( ) ( 0, 1)xf x a a a  ， 1(2) 0,f   则 1( 1)f x  的图象是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：抓住特殊点 2， 1(2) 0f   ，所以对数函数 1( )f x 是减函数，图象往 左移动一个单位得 1( 1)f x  ，必过原点，选 A） 【练习 5】、若函数 ( 1)y f x  是偶函数，则 (2 )y f x 的对称轴是（ ） A、 0x  B、 1x  C、 1 2x  D、 2x  （提示：因为若函数 ( 1)y f x  是偶函数，作一个特殊函数 2( 1)y x  ，则 9 (2 )y f x 变为 2(2 1)y x  ，即知 (2 )y f x 的对称轴是 1 2x  ，选 C） 【练习 6】、已知数列{an}的通项公式为 an=2n-1，其前 n 和为 Sn，那么 Cn 1S1+ Cn 2S2+…+ Cn nSn=（ ） A、2n-3n B、3n -2n C、5n -2n D、3n -4n （提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式 an=2n-1 求得和的公式 Sn，再代 入式子 Cn 1S1+ Cn 2S2+…+ Cn nSn，再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些 书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令 n=2，代入式子，再对照选项，选 B） 【练习 7】、（06 辽宁理 10）直线 2y k 与曲线 2 2 2 29 18k x y k x  （ , 1k R k  ） 的公共点的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 （提示：取 1k  ，原方程变为 2 2( 1) 19 yx    ，这是两个椭圆，与直线 2y  有 4 个公共点，选 D） 【练习 8】、如图左，若 D、E、F 分别是 三棱锥 S-ABC 的侧棱 SA、SB、SC 上的点， 且 SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平 面 DEF 截三棱锥 S-ABC 所得的上下两部分 的体积之比为（ ） A、4：31 B、6：23 C、4：23 D、2：25 （提示：特殊化处理，不妨设三棱锥 S-ABC 是棱长为 3 的正三棱锥，K 是 FC 的中点， 1 2,V V 1 2,V V 分别表示上下两部分的体积 10 则 22 2 2 8( )3 3 3 27 S DEF S DEF S ABC S ABC V S h V S h         ， 1 2 8 4 4 27 8 4 23 V V     ，选 C） 【练习 9】、△ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， ( )OH m OA OB OC      ，则m 的取值是（ ） A、-1 B、1 C、-2 D、2 （提示：特殊化处理，不妨设△ABC 为直角三角形，则圆心 O 在斜边中点处， 此时有OH OA OB OC      ， 1m  ，选 B。） 【练习 10】、双曲线方程为 2 2 12 5 x y k k    ，则 k 的取值范围是（ ） A、 5k  B、2 5k  C、 2 2k   D、 2 2k   或 5k  （提示：在选项中选一些特殊值例如 6,0k  代入验证即可，选 D） 三、筛选判断 包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法， 即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。 【例题】、设集合 A 和 B 都属于正整数集，映射 f： A B 把集合 A 中的元 素 n 映射到集合 B 中的元素，则在映射 f 下，像 20 的原像是（ ） A、2 B、3 C、4 D、5 【解析】、经逐一验证，在 2、3、4、5 中，只有 4 符合方程 2n n =20，选 C。 【练习 1】、（06 安徽理 6）将函数 sin ( 0)y x   的图象按向量 a=( ,0)6  平移以后的图象如图所示，则 平移以后的图象所对应的函数解析式是（ ） A、 sin( )6y x   B、 sin( )6y x   7 12  C、 sin(2 )3y x   D、 sin(2 )3y x   （提示：若选 A 或 B，则周期为 2 ，与图象所示周期不符；若选 D，则与 “按 11 向量 a=( ,0)6  平移” 不符，选 C。此题属于容易题） 【练习 2】、（06 重庆理 9）如图，单位圆中 AB 的 长度为 x ， ( )f x 表示 AB 与弦 AB 所围成的弓形的面的 2 倍，则函数 ( )y f x 的图象是（ ） A、 B、 C、 D、 （提示：解法 1 设 AOB   ，则 x  ， 则 S 弓形=S 扇形- S△AOB= 1 11 2 sin cos2 2 2 2x     1 1( sin ) ( sin )2 2x x x    ，当 (0, )x  时， sin 0x  ，则 sinx x x  ，其图象位于 y x 下方；当 ( ,2 )x   时， sin 0x  ， sinx x x  ，其图象位于 y x 上方。所以只有选 D。这种方法属于小题大作。 解法 2 结合直觉法逐一验证。显然，面积 ( )f x 不是弧长 x 的一次函数， 排除 A；当 x 从很小的值逐渐增大时， ( )f x 的增长不会太快，排除 B；只要 x  则必然有面积 ( )f x  ，排除 C，选 D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选 D） 【练习 3】、（06 天津文 8）若椭圆的中心点为 E（-1，0），它的一个焦点为 2  2 2  2 2   2 2   2 12 F（-3，0），相应于焦点的准线方程是 7 2x   ，则这个椭圆的方程是（ ） A、 2 22( 1) 2 121 3 x y   B、 2 22( 1) 2 121 3 x y   C、 2 2( 1) 15 x y   D、 2 2( 1) 15 x y   （提示：椭圆中心为（-1，0），排除 A、C，椭圆相当于向左平移了 1 个单 位长度，故 c=2， 2 71 2 a c     ，∴ 2 5a  ，选 D） 【练习 4】、不等式 2 21x x    的解集是（ ） A、( 1,0) (1, )  B、( , 1) (0,1)   C、( 1,0) (0,1)  D、( , 1) (1, )   （提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取 2x  ，代入原不等式， 成立，排除 B、C；取 2x   ，排除 D，选 A） 【练习 5】、（06 江西理 12）某地一年内的气温 Q（t）（℃）与时间 t（月份）之间的关系如右图， 已知该年的平均气温为 10℃。令 C（t）表示时间 段[0，t]的平均气温，C（t）与 t 之间的函数关系 如下图，则正确的应该是（ ） A 、 B 、 C 、 D、 13 （提示：由图可以发现，t=6 时，C（t）=0，排除 C；t=12 时，C（t）=10， 排除 D；t＞6 时的某一段气温超过 10℃，排除 B，选 A。） 【练习 6】、集合  (2 1) |M n n Z   与集合  (4 1) |N k k Z   之间的关系是 （ ） A、 M N B、 M N C、 M N D、 M N （提示：C、D 是矛盾对立关系，必有一真，所以 A、B 均假； 2 1n  表示全 体奇数，4 1k  也表示奇数，故 M N 且 B 假，只有 C 真，选 C。此法扣住了概 念之间矛盾对立的逻辑关系。 当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令 k=0，±1，±2，±3，然 后观察两个集合的关系就知道答案了。） 【练习 7】、当  4,0x  时， 2 44 13a x x x     恒成立，则 a 的一个可能的 值是（ ） A、5 B、 5 3 C、 5 3  D、 5 （提示：若选项 A 正确，则 B、C、D 也正确；若选项 B 正确，则 C、D 也正 确；若选项 C 正确，则 D 也正确。选 D） 【练习 8】、（01 广东河南 10）对于抛物线 2 4y x 上任意一点 Q，点 P（a， 0）都满足 PQ a ，则a 的取值范围是（ ） A、 ,0 B、( ,2] C、[0,2] D、(0,2) （提示：用逻辑排除法。画出草图，知 a＜0 符合条件，则排除 C、D； 又取 1a  ，则 P 是焦点，记点 Q 到准线的距离为 d，则由抛物线定义知道，此 时 a＜d＜|PQ|,即表明 1a  符合条件，排除 A，选 B。另外，很多资料上解此题 是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较—— 14 设 点 Q 的 坐 标 为 2 0 0( , )4 y y ， 由 PQ a ， 得 2 2 2 20 0 ( )4 yy a a   ， 整 理 得 2 2 0 0( 16 8 ) 0y y a   ， ∵ 2 0 0y  ，∴ 2 0 16 8 0y a   ，即 2 02 8 ya   恒成立，而 2 02 8 y 的最小值是 2，∴ 2a  ，选 B） 【练习 9】、（07 全国卷Ⅰ理 12）函数 2 2( ) cos cos 2 xf x x  的一个单调增区间是 （ ） A、 2,3 3       B、 ,6 2       C、 0, 3      D、 ,6 6      （提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的， 选 A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端 点值其实是可以取到的，由 ( ) ( )6 6f f   ，显然直接排除 D，在 A、B、C 中只 要计算两个即可，因为 B 中代入 6  会出现 12  ，所以最好只算 A、C、现在就验 算 A，有 2( ) ( )3 3f f  ，符合，选 A） 四、等价转化 解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要 通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题 中这一点显得尤其重要。 【例题】、（05 辽宁 12）一给定函数 ( )y f x 的图象在下列图中，并且对任 意  1 0,1a  ，由关系式 1 ( )n na f a  得到的数列满足 1 ( )n na a n N    ，则该函数的图 象是（ ） 15 A、 B、 C、 D、 【解析】问题等价于对函数 ( )y f x 图象上任一点( , )x y 都满足 y x ，只能选 A。 【练习 1】、设  cossin t ，且 sin3 + cos3 0 ，则t 的取值范围是（ ） A、[- 2 ，0） B、[ 2,2 ] C、（-1，0） 2,1( ] D、（- 3 ，0） ),3(  （提示：因为 sin3 + cos3 =（sin + cos ）（sin2 - sin cos + cos2 ）， 而 sin2 - sin cos + cos2 ＞0 恒成立，故 sin3 + cos3 0  t＜0,选 A。 另解：由 sin3 + cos3 0 知 非锐角，而我们知道只有 为锐角或者直角时  cossin t 2 ，所以排除 B、C、D，选 A） 【练习 2】、 1 2,F F 是椭圆 2 2 14 x y  的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则 1 2PF PF   的 最大值是（ ） A、4 B、5 C、1 D、2 （提示：设动点 P 的坐标是( 2cos ,sin )  ，由 1 2,F F 是椭圆的左、右焦点得 1( 3,0)F  ， 2 ( 3,0)F ， 则 1 2PF PF   | (2cos 3,sin ) (2cos 3,sin ) |     2 2| 4cos 3 sin |    2| 3cos 2 | 2   ，选 D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求 最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的—— 21 2 1 2 | | | | 42 PF PFPF PF a       ） 16 【练习 3】、若log 2 log 2 0a b  ，则（ ）。 A、0 1a b   B、0 1b a   C、 1a b  D、 1b a  （提示：利用换底公式等价转化。 lg 2 lg 2log 2 log 2 0 0 lg lg 0lg lga b b aa b        ∴0 1b a   ，选 B） 【练习 4】、 , , , ,a b c d R 且d c ， ,a b c d a d b c     ，则（ ） A、d b a c   B、b c d a   C、b d c a   D、b d a c   （提示：此题条件较多，又以符号语言出现， 令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”， 如图 ，用线段代表 , , , ,a b c d 立马知道选 C。当然 这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”， 分别用数字 1，4， 2，3 代表 , , , ,a b c d 容易知道选 C。也许你认为对策一的转化并不等价，是的， 但是作为选择题，可以事先把条件“ , , ,a b c d R ”收严一些变为“ , , ,a b c d R ”。 【练习 5】、已知 0,  若函数 ( ) sin sin2 2 x xf x    在 ,4 3      上单调递增， 则 的取值范围是（ ） A、 20, 3      B、 30, 2      C、 0,2 D、 2, （提示： 化简得 1( ) sin2f x x ，∵sin x 在 ,2 2      上递增， ∴ 2 2 2 2x x            ，而 ( )f x 在 ,4 3      上单调递增 3, , 04 3 2 2 2                       ，又 0,  ∴选 B） 17 【练习 6】、把 10 个相同的小球放入编号为 1，2，3 的三个不同盒子中， 使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（ ） A、 3 6C B、 2 6C C、 3 9C D、 2 9 1 2 C （提示：首先在编号为 1，2，3 的三个盒子中分别放入 0，1，2 个小球， 则余下的 7 个球只要用隔板法分成 3 堆即可，有 2 6C 种，选 B；如果你认为难以 想到在三个盒子中分别放入只 0，1，2 个小球，而更容易想到在三个盒子中分 别放入只 1，2，3 个小球，那也好办：你将余下的 4 个球加上虚拟的（或曰借 来的）3 个小球，在排成一列的 7 球 6 空中插入 2 块隔板，也与本问题等价。） 【练习 7】、方程 1 2 3 4 12x x x x    的正整数解的组数是（ ） A、24 B、 72 C、144 D、165 （提示：问题等价于把 12 个相同的小球分成 4 堆，故在排成一列的 12 球 11 空中插入 3 块隔板即可，答案为 3 11 165C  ，选 D） 【练习 8】、从 1，2，3，…，10 中每次取出 3 个互不相邻的数，共有的取 法数是（ ） A、35 B、56 C、84 D、120 （提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的 7 个数的 8 个空中，那么问题转化为求从 8 个空位中任意选 3 个的方法数，为 3 8 56C  ，选 B） 【练习 9】、（理科）已知 2 1 1lim 31x ax bx x    ，则b = （ ） A、4 B、-5 C、-4 D、5 （提示：逆向思维，分母（ 1x  ）一定是存在于分子的一个因式，那么一 定 有 2 21 ( 1)( 1) (1 ) 1ax bx x ax ax a x         ， ∴ 必 然 有 (1 )b a   ， 且 18 2 1 1 1lim lim( 1)1x x ax bx axx      ，∴ 1 1 3 4,a a     ∴ 5b   ，选 B） 【练习 10】、异面直线 ,m n 所成的角为60 ， 过空间一点 O 的直线l 与 ,m n 所成的角等于60 ， 则这样的直线有（ ）条 A、1 B、2 C、3 D、4 （提示：把异面直线 ,m n 平移到过点 O 的位置，记他们所确定的平面为 ，则 问题等价于过点 O 有多少条直线与 ,m n 所成的角等于60 ，如图，恰有 3 条，选 C） 【 练 习 11 】、 不 等 式 2 0ax bx c   的 解 集 为  1 2x x   ， 那 么 不 等 式 2( 1) ( 1) 2a x b x c ax     的解集为（ ） A、 0 3x x  B、 0, 3x x or x  C、 2 1x x   D、 2, 1x x or x  （提示：把不等式 2( 1) ( 1) 2a x b x c ax     化为 2( 1) ( 1) 0a x b x c     ，其结构与 原不等式 2 0ax bx c   相同，则只须令 1 1 2x   ，得0 3x  ，选 A） 五、巧用定义 定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。 【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增 长 7%，那么经过 x 季度增长到原来的 y 倍，则函数 ( )y f x 的图象大致是（ ）  1l2l 19 A、 B、 C、 D、 【解析】、由题设知， (1 0.07)xy   ，∵1 0.07 1  ，∴这是一个递增的指数函 数，其中 0x  ，所以选 D。 【练习 1】、已知对于任意 Ryx , ，都有 ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 2 x y x yf x f y f f   ，且 0)0( f ，则 )(xf 是（ ） A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数 （提示：令 0y ，则由 0)0( f 得 1)0( f ；又令 xy  ，代入条件式可得 )()( xfxf  ，因此 )(xf 是偶函数，选 B） 【练习 2】、点 M 为圆 P 内不同于圆心的定点，过点 M 作圆 Q 与圆 P 相切， 则圆心 Q 的轨迹是（ ） A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段 （提示：设⊙P 的半径为 R，P、M 为两定点，那 么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，∴由椭圆定义知圆 心 Q 的轨迹是椭圆，选 B） 【练习 3】、若椭圆 2 2 14 3 x y  内有一点 P（1，-1），F 为右焦点，椭圆上有 一点 M，使|MP|+2|MF|最小，则点 M 为（ ） A、 2( 6, 1)3  B、 3(1, )2  C、 3(1, )2  D、 2( 6, 1)3   （提示：在椭圆中， 2, 3a b  ，则 11, 2 cc e a    ，设点 M 到右准线的距离 为 |MN| ， 则 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 ， | | 1 | | 2 | || | 2 MF MN MFMN    ， 从 而 | | 2 | | | | | |MP MF MP MN   ，这样，过点 P 作右准线的垂直射线与椭圆的交点即 20 为所求 M 点，知易 M 2( 6, 1)3  ，故选 A） 【练习 4】、设 1 2,F F 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点，P 为双曲 线右支上任意一点，若 2 2 1 PF PF   的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范 围是（ ） A、[2，3] B、（1，3] C、 3, D、 1,2 （提示： 2 2 22 1 1 1 11 (2 ) 4 4 8 PF a PF a PF a aPF PFPF        ，当且仅当 2 1 1 4a PFPF  ，即 1 2PF a ， 2 4PF a 时取等于号，又 1 2 1 2PF PF F F  ，得6 2a c ，∴1 3e  ，选 B） 【练习 5】、已知 P 为抛物线 2 4y x 上任一动点，记点 P 到 y 轴的距离为d ， 对于给定点 A（4，5），|PA|+d 的最小值是（ ） A、4 B、 34 C、 17 1 D、 34 1 （提示： d 比 P 到准线的距离（即|PF|）少 1，∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而 A 点在抛物线外， ∴|PA|+d 的最小值为|AF|-1= 34 1 ，选 D） 【练习 6】、函数 ( )y f x 的反函数 1 1 2( ) 3 xf x x    ，则 ( )y f x 的图象（ ）。 A、关于点(2, 3)对称 B、关于点(-2, -3)对称 C、关于直线 y=3 对称 D、关于直线 x = -2 对称 （提示：注意到 1 1 2( ) 3 xf x x    的图象是双曲线，其对称中心的横坐标是-3， 由反函数的定义，知 ( )y f x 图象的对称中心的纵坐标是-3，∴只能选 B） 21 【 练 习 7 】、 已 知 函 数 ( )y f x 是 R 上 的 增 函 数 ， 那 么 0a b  是 ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f a f b    的（ ）条件。 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要 （提示：由条件以及函数单调性的定义，有 ( ) ( )0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) a b f a f ba b f a f b f a f bb a f a f b                 ，而这个过程并不 可逆，因此选 A） 【练习 8】、点 P 是以 1 2,F F 为焦点的椭圆上的一点，过焦点 2F 作 1 2F PF 的外 角平分线的垂线，垂足为 M，则点 M 的轨迹是（ ） A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 （提示：如图，易知 2PQ PF ，M 是 2F Q 的中点， ∴OM 是 1FQ 的中位线，∴ 1 1 1 2 1 1 1( ) ( )2 2 2MO FQ F P PQ F P F P     ，由椭圆的定 义知， 1 2F P F P =定值，∴ MO  定值（椭圆的长半轴长 a），∴选 A） 【练习 9】、在平面直角坐标系中，若方程 m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2 表示的是双曲线，则ｍ的取值范围是（ ） A、（0，1） B、（ 1，  ） C、（0，5） D、（5，  ） （提示：方程 m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2 可变形为 2 2 2 ( 2 3) 2 1 x ym x y y      ，即 得 2 2( 1)1 2 3 x y x ym     ，∴ 2 2( 1)5 2 3 5 x y x ym     ，这表示双曲线上一点( , )x y 到定点（0， -1）与定直线 2 3 0x y   的距离之比为常数 5e m  ，又由 1e  ，得到0 5m  ， ∴选 C。若用特值代验，右边展开式含有 xy 项，你无法判断） 六、直觉判断 22 数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻 辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约 思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维 中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此， 作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。 【例题】、已知 1sin cos , 25x x x    ，则 tan x 的值为（ ） A、 4 3  B、 4 3  或 3 4  C、 3 4  D、 4 3 【解析】、由题目中出现的数字 3、4、5 是勾股数以及 x 的范围，直接意识 到 3 4sin ,cos5 5x x   ，从而得到 3tan 4x   ，选 C 。 【练习 1】、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为 a 的正三角形中， 问 x 取什么值时，内接正三角形的面积最小（ ） A、 2 a B、 3 a C、 4 a D、 3 2 a （提示：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选 A。） 【练习 2】、（课本题改编）测量某个零件直径的尺寸，得到 10 个数据： 1 2 3 10, , , ,x x x x 如 果 用 x 作 为 该 零 件 直 径 的 近 似 值 ， 当 x 取 什 么 值 时 ， 2 2 2 2 1 2 3 10( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x x x        最小？（ ） A、 1x ，因为第一次测量最可靠 B、 10x ，因为最后一次测量最可靠 C、 1 10 2 x x ，因为这两次测量最可靠 D、 1 2 3 10 10 x x x x    （提示：若直觉好，直接选 D。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数 尝试便可以得到答案了。） 【练习 3】、若 7 2 7 0 1 2 7(1 2 )x a ax a x a x      ，则 0 1 2 7| | | | | | | |a a a a     （ ） 23 A、-1 B、1 C、0 D、 73 （提示：直觉法，系数取绝对值以后，其和会相当大，选 D。或者退化判 断法将 7 次改为 1 次；还有一个绝妙的主意：干脆把问题转化为:已知 7 2 7 0 1 2 7(1 2 )x a a x a x a x      ，求 0 1 2 7a a a a    ，这与原问题完全等价，此 时令 1x  得解。） 【练习 4】、已知 a、b 是不相等的两个正数，如果设 1 1( )( )p a ba b    ， 21( )q ab ab   ， 22( )2 a br a b    ，那么数值最大的一个是（ ） A、 p B、q C、 r D、与 a、b 的值有关。 （提示：显然 p、q、r 都趋向于正无穷大，无法比较大小，选 D。要注意， 这里似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件——缺乏定值条件！） 【练习 5】、（98 高考）向高为 H 的水瓶中注水，注满为止。如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如下列左图，那么水瓶的形状是（ ）。 O A B C D （提示：抓住特殊位置进行直觉思维，可以取 OH 的中点，当高 H 为一半时， 其体积过半，只有 B 符合，选 B） 24 【练习 6】、（07 江西理 7 文 11）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自 不同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图， 盛满酒好他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为 1 2 3 4, , , ,h h h h 则它们的大小关系正确的是（ ） A、 2 1 4h h h  B、 1 2 3h h h  C、 3 2 4h h h  D、 2 4 1h h h  （提示：选 A） 【练习 7】、（01 年高考）过点 A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线 2 0x y   上的圆的方程是（ ） A、 2 2( 3) ( 1) 4x y    B、 2 2( 3) ( 1) 4x y    C、 2 2( 1) ( 1) 4x y    D、 2 2( 1) ( 1) 4x y    （提示：显然只有点（1，1）在直线 2 0x y   上，选 C） 【练习 8】、（97 全国理科）函数 sin( 2 ) cos23y x x   的最小正周期是（ ） A、 2  B、 C、2 D、 4 （提示：因为总有 sin cos sin( )a x b x A x      ，所以函数 y 的周期只与 有关，这里 2  ，所以选 B） 【练习 9】、（97 年高考）不等式组 0, 3 2 3 2 x x x x x          的解集是（ ） 25 A、 | 0 2x x  B、 | 0 2.5x x  C、 | 0 6x x  D、 | 0 3x x  （提示：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端都是 0，只有右端的值 不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程 3 3| |3 3 x x x x    的根！，代入验 证：2 不是，3 不是， 2.5 也不是，所以选 C） 【练习 10】、△ABC 中，cosAcosBcosC 的最大值是（ ） A、 38 3 B、 8 1 C、1 D、 2 1 （提示：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法， 特抄录如下供读者比较： 设 y=cosAcosBcosC，则 2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC， ∴cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程 x2- cos（A-B）x+2y=0， 则 cosC 是一元二次方程的根，由 cosC 是实数知：△= cos2（A-B）-8y≥0， 即 8y≤cos2（A-B）≤1，∴ 8 1y ，故应选 B。 这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角 A、B、C 的地位完全平 等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令 A=B=C=60 ゜ 即得答案 B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。） 【练习 11】、（07 浙江文 8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3 局 2 胜”，即以先赢 2 局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为 0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ） A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648 （提示：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概 26 率为 0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其概率为 1 2[ 0.6 0.4] 0.6 0.288C    ，所以 甲获胜的概率为 0.36+0.288=0.648，选 D。 现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2 人获胜的概率之和为 1， 而甲获胜的概率比乙大，应该超过 0.5，只有选 D。） 【练习 12】、sin cos 2   ，则 tan cot   （ ） A、1 B、2 C、-1 D、-2 （提示：显然 4   ，选 B） 七、趋势判断 趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一 类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要 求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。 【例题】、（06 年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为 2、3、4、5、6（单位：cm） 的 5 根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角 形的最大面积为多少？ A、8 5 cm2 B、6 10 cm2 C、3 55 cm2 D、20 cm2 【解析】、此三角形的周长是定值 20，当其高或底趋向于零时其形状趋向 于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满” 时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为 7、7、6，因此易 知最大面积为6 10 cm2，选 B。） 【练习 1】、在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是 （ ） A、 2( , )n n   B、 1( , )n n   C、(0, )2  D、 2 1( , )n n n n    （提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻 27 两侧面所成二面角  ，且  ；当锥体h   且底面正多边形相对固定不 变时，正 n 棱锥形状趋近于正 n 棱柱， 2 ,n n   且 2 ,n n   选 A） 【练习 2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为 S，记 4 1 i i S S    ， 则 一定满足（ ） A、2 4  B、3 4  C、 2.5 4.5  D、3.5 5.5  （提示：进行极限分析，当某一顶点 A 无限趋近于对面时，S=S 对面，不妨 设 S=S1，则 S2+S3+S4 1S 那么 2  ，选项中只有 A 符合，选 A。当然，我们也 可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时， 4  ，凭直觉知道选 A） 【练习 3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为 ，侧面与底面 所成角为  ，则 2cos cos2  的值是（ ） A、1 B、 1 2 C、0 D、-1 （提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时， 90 , 90 ,    那么 2cos cos2 2cos90 cos180 1       ，选 D） 【练习 4】、在△ABC 中，角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c，若 c-a 等 于 AC 边上的高，那么sin cos2 2 C A C A  的值是（ ） A、1 B、 1 2 C、 1 3 D、-1 (提示：进行极限分析， 0   时，点 C   ，此时高 0,h c a  ，那么 180 , 0C A   ，所以sin cos2 2 C A C A  sin90 cos0 1    ，选 A。） 【练习 5】、若0 ,sin cos ,sin cos ,4 a b           则（ ） A、a b B、 a b C、 1ab  D、 2ab  28 （提示：进行极限分析，当 0  时， 1a  ；当 4   时， 2b  ，从而b a ， 选 A） 【练习 6】、双曲线 2 2 1x y  的左焦点为 F， 点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点，则直 线 PF 的斜率的变化范围是（ ） A、 ( ,0) B、( , 1) (1, )   C、( ,0) (1, )  D、(1, ) （提示：进行极限分析，当 P  时，PF 的斜率 0k  ；当 PF x 时，斜率 不存在，即k   或 k   ；当 P 在无穷远处时，PF 的斜率 1k  。选 C。） 【练习 7】、（06 辽宁文 11）与方程 2 2 1( 0)x xy e e x    的曲线关于直线 y x 对称的曲线方程为（ ） A、 ln(1 )y x  B、 ln(1 )y x  C、 ln(1 )y x   D、 ln(1 )y x   （提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为 2( 1) ( 0)xy e x   ，是 个增函数。再令 ,x   那么 ,y   那么根据反函数的定义，在正确选项中当 y   时应该有 ,x   只有 A 符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反 函数与选项比较之。） 【练习 8】、若sin cos 1   ，则对任意实数 n，sin cosn n   （ ） A、1 B、区间（0，1） C、 1 1 2n D、不能确定 （提示：用估值法，由条件sin cos 1   完全可以估计到sin ,cos  中必定有 一个的值是 1，另一个等于 0，则选 A。另外，当 n=1，2 时，答案也是 1） 29 【练习 9】、已知 1c  ，且 1x c c   ， 1y c c   ，则 ,x y 之间的大小关 系是（ ） A、 x y B、 x y C、 x y D、与 c 的值有关 （提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是 用趋势判断法也不错：当 1c  时， 2 1x   ；当 x   时， 0x  ，可见函数 1t t  递减，∴选 B） 八、估值判断 有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算， 或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。 【例题】、已知 1x 是方程 lg 3x x  的根， 2x 是方程 10 3xx   的根，则 1 2x x  （ ） A、6 B、3 C、2 D、1 【解析】、我们首先可以用图象法来解：如图，在同一 坐标系中作出四个函数， 10xy  ， lgy x ， 3y x  ， y x 的图象，设 3y x  与 lgy x 的图象交于点 A，其 横坐标为 1x ； 10xy  与 3y x  的图象交于点 C，其横坐标 为 2x ； 3y x  与 y x 的图象交于点 B，其横坐标为 3 2 。因为 10xy  与 lgy x 为 反函数，点 A 与点 B 关于直线 y x 对称，所以 1 2x x  2× 3 2 =3，选 B。 此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为 1x 是 方程 lg 3x x  的根，所以 12 3,x  2x 是方程 10 3xx   的根，所以 20 1,x  所以 1 22 4,x x  选 B。 30 【练习 1】、用 1、2、3、4、5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数， 其中偶数共有（ ） A、24 个 B、30 个 C、40 个 D、60 个 （ 提示：如果用直接法可以分两步：先排个位，在两个偶数中任取一个有 1 2C 种方法；第二步在剩下的 4 个数字中任取两个排在十位与百位有 2 4A 种，由 乘法原理，共有 1 2 2 4C A =24 个，选 B。用估计法：五个数字可以组成 3 5 60A  个三 位数，其中偶数不到一半，选 B。） 【练习 2】、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成，2003 年某地农 民人均收入为 3150 元，其中工资性收入为 1800 元，其它收入 1350 元。预计 该地区农民自 2004 年起工资性收入将以每年 6%的年增长率增长，其它收入每 年增加 160 元，根据以上数据，2008 年该地区农民人均收入介于（ ）元 A、（4200，4400） B、（4400，4600）C、（4600，4800）D、（4800，5000） （ 提 示 ： 由 条 件 知 该 地 区 农 民 工 资 性 收 入 自 2004 年 起 构 成 以 1 1800, 1 6%a q   的 等 比 数 列 ， 所 以 2008 年 工 资 性 收 入 为 5 6 1800(1 0.06) 1800 (1 5 0.06) 2340a        元；其它收入构成以 1350 为首项，公 差为 160 的等差数列，所以所以 2008 年其它收入为 1350+160×5=2150 元，所 以 2008 年该地区农民人均收入约为 2340+2150=4490 元，选 B。） 【练习 3】、已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的 一半，且 AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ） A、16 9  B、 8 3  C、 4 D、 64 9  （提示：用估计法，设球半径 R，△ABC 外接圆半径为 2 3 3r  ， 31 则 S 球= 2 2 164 4 53R r      ，选 D） 【练习 4】、如图，在多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF∥AB， 3 2EF  ，EF 与平面 ABCD 的距离为 2，则 该多面体的体积为（ ） A、 9 2 B、5 C、6 D、15 2 （提示：该多面体的体积比较难求，可连接 BE、CF，问题转化为四棱锥 E-ABCD 与三棱锥 E-BCF 的体积之和，而 E ABCDV  =6，所以只能选 D） 【练习 5】、在直角坐标平面上，已知 A（-1，0）、B（3，0），点 C 在直线 2 2y x  上，若∠ACB ＞90 ，则点 C 的纵坐标的取值范围是（ ） A、 4 5 4 5( , ) ( , )5 5   B、 2 5 2 5(1 ,1 )5 5   C、 4 5 4 5( ,0) (0, )5 5   D、 4 5 4 5( , )5 5  （提示：如图，M、N 在直线 2 2y x  上，且∠AMB=∠ANB=90 ，要使∠ACB ＞ 90 ，点 C 应该在 M、N 之间，故点 C 的纵坐标应该属于某一开区间，而点 C 的 纵坐标是可以为负值的，选 D） 【练习 6】、已知三棱锥 P-ABC 的侧面与底面所成二面角都是 60 ，底面三 角形三边长分别是 7、8、9，则此三棱锥的侧面面积为（ ） A、12 5 B、 24 5 C、6 5 D、18 5 （提示：你可以先求出 ABC 的面积为12 5 ，再利用射影面积公式求出侧面 面积为 24 5 ；你也可以先求出 ABC 的面积为12 5 ，之后求出 P 在底面的射影 32 到个侧面的距离，都是三棱锥 P-ABC 的高的一半，再利用等体积法求得结果， 但 好 象 都 不 如 用 估 值 法 ： 假 设 底 面 三 角 形 三 边 长 都 是 8 ， 则 面 积 为 23 8 16 34   ，这个面积当然比原来大了一点点，再利用射影面积公式求出侧 面面积为32 3 ，四个选项中只有 24 5 与之最接近，选 B） 【练习 7】、（07 海南、宁夏理 11 文 12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某 次测试中个射箭 20 次，三人测试成绩如下表 1 2 3, ,S S S 分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） A、 3 1 2S S S  B、 2 1 3S S S  C、 1 2 3S S S  D、 2 3 1S S S  （提示：固然可以用直接法算出答案来，标准答案正是这样做的，但是显然时 间会花得多。你可以用估计法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据 越多，则方差——等价于标准差会越小！所以选 B。这当然也可以看作是直觉 法） 【练习 8】、（07 全国Ⅱ理 12）设 F 为抛物线 2 4y x 的焦点，A、B、C 为该抛物 线上的三点，若 0FA FB FC      ，则 FA FB FC    等于（ ） A、9 B、6 C、4 D、3 （提示：很明显（直觉）三点 A、B、C 在该抛物线上的图 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 33 形完全可能如右边所示（数形结合），可以估计（估值法） 到， FB FC  稍大于 MN （通径，长为 4）， ∴ 6FA FB FC     ，选 B。 当然也可以用定义法：由 0FA FB FC      可知 3A B Cx x x   ，由抛物线定义 有 1, 1, 1A B CFA x FB x FC x        ，所以 FA FB FC    =6） 【练习 9】、（07 福建理 12）如图，三行三列的方 阵中有 9 个数 ( 1,2,3, 1,2,3)ija i j  ，从中任取三个数，则至 少有两个 数位于同行或同列的概率是（ ） A、 3 7 B、 4 7 C、 1 14 D、13 14 （提示：用估值法，至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既不同行也 不同列，这种情况仅有 6 种，在总共 3 9C 种取法数中所占比例很小，∴选 D） 【练习 10】（07 湖北理 9）连续投掷两次骰子的点数为 ,m n ，记向量 b=（m，n） 与向量 a=（1，-1）的夹角为 ，则 0, 2      的概率是（ ） A、 5 12 B、 1 2 C、 7 12 D、 5 6 （提示：用估值法，画个草图，立刻发现在 AOB 范围内（含在 OB 上）的向量 b 的个数 超过一半些许，选 C，完全没有必要计算） 【练习 11】（05 年四川）若 ln 2 ln3 ln5, ,2 3 5a b c   ，则（ ） A、a b c  B、c b a  C、c a b  D、b a c  （提示：注意到 ln 2 ln 4 2 4  ，可知不能够用单调性法去判断。问题等价于 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a         34 lg 2 lg3 lg5, ,2 3 5a b c   的时候比较 a、b、c 的大小，∵lg2=0.3010，lg3=0.4771， lg5=0.6990，∴ a=0.1505，b=0.1590， c=0.1398，选 B。 当然，直接用作差比较法也是可以的。） 九、直接解答 并不是所有的选择题都要用间接法求解，一般来讲，高考卷的前 5、6 道选 择题本身就属于容易题，用直接法求解往往更容易；另外，有些选择题也许没 有间接解答的方法，你别无选择；或者虽然存在间接解法，但你一下子找不到， 那么就必须果断地用直接解答的方法，以免欲速不达。当然要记得一个原则， 用直接法也要尽可能的优化你的思路，力争小题不大作。 【例题】、（07 重庆文 12）已知以 1 1( 2,0), (2,0)F F 为焦点的椭圆与直线 3 4 0x y   有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A、3 2 B、2 6 C、 2 7 D、 4 2 【解析】、设长轴长为 2a ，则椭圆方程为 2 2 2 2 14 x y a a   ，与直线方程联立消 去 x 得 2 2 2 2 2(4 12) 8 3( 4) (16 )( 4) 0a y a y a a       ，由条件知 0  ，即 2 2 2 2 2192( 4) 16( 3)(16 )( 4) 0a a a a      ，得 0a  （舍）， 2a  （舍）， 7a  ∴2 2 7a  ，选 C 。 【练习 1】、函数 )0,0)(sin()(   AxAxf  的部分图象如右，则 )2009()2()1( fff   =（ ） A、0 B、 2 C、2+ 2 D、2- 2 （提示：直接法。由图知，A=2， 4262 T ， 4 2   T ，∴ 4sin2)( xxf  ， 由图象关于点（4，0）以及直线 4,2  xx 对称知： 0)8()2()1(  fff  ，由 35 2009=251×8+1 知， )2009()2()1( fff   =0+ 4sin2)1( f = 2 ，选 B） 【练习 3】、正方体 1AC 中，E 为棱 AB 的中点，则二面角 C- 1A E -B 的正切值为 （ ） A、 5 2 B、 5 C、 3 D、2 （提示：用直接法。取 1 1C D 的中点 F，连接 AF、CF、CE。过点 B 做 A1E 的延 长线的垂线于 M，连接 CM，由 CB 面 ABB1A1，得 CM AE，所以 CMB 就是二面 角 C-A1E-B 的平面角，现在设 CB=2，则 2sin 1 5 BM EB BEM    ，在 Rt△CMB 中， tan 5CBCMB BM    ，选 B） 【练习 4】、设 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的两个焦点，以 1F 为圆心，且过椭圆中心的圆与 椭圆的一个交点为 M，若直线 2F M 与圆 1F 相切， 则该椭圆的离心率是（ ） A、2 3 B、 3 1 C、 3 2 D、 2 2 （提示：用直接法。由已知可得 1MF c ，又 1 2 2MF MF a  ，∴ 2 2MF a c  ， 36 又 直 线 2F M 与 圆 1F 相 切 ， ∴ 1 2MF MF ， ∴ 2 2 2 1 2 1 2MF MF F F  ， 即 2 2 2(2 ) (2 )c a c c   ，解得 1 3ce a     ，∵0 1e  ，∴ 3 1e   ，选 B） 【练习 5】、函数 3 2( ) ( 1) 48( 2)f x ax a x a x b      的图象关于原点成中心对 称，则 ( )f x 在[-4，4]上的单调性是（ ） A、增函数 B、 在[-4，0]上是增函数， [0，4]上是减函数 C、减函数 D、 在[-4，0]上是减函数， [0，4]上是增函数 （提示： ( )f x 的图象关于原点成中心对称， ( )f x 为奇函数，∴ 1, 0a b  ， ∴ 3( ) 48f x x x  ，易知  4,4x  上 ' ( ) 0f x  ，∴ ( )f x 递减，选 B） 【 练 习 6 】、 2 8 2 10 0 1 2 10( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)x x x a a x a x a x           ， 则 1 2 10a a a   =（ ） A、-3 B、3 C、2 D、-2 （提示：令 1x  得 0 3a  ，令 2x  可得 1 2 10 0 3a a a a       ，选 A） 【练习 7】、（06 重庆文 10）若 , (0, )2    ， 3cos( )2 2    ， 1sin( )2 2     ， 则cos( )   （ ） A、 3 2  B、 1 2  C、 1 2 D、 3 2 （提示：∵ , (0, )2    ，∴ 4 2 4      ，∴ 2 6      ；同理 2 6     ， ∴ 0   （舍）或 2 3     ，所以选 B） 【练习 8】、（06 全国Ⅰ理 8）抛物线 2y x  上的点到直线 4 3 8 0x y   的距 离的最小值是（ ） A、 4 3 B、 7 5 C、 8 5 D、3 （提示：设直线 4 3 0x y m   与 2y x  相切，则联立方程知 23 4 0x x m   ， 37 令 0 ，有 4 3m  ，∴两平行线之间的距离 2 2 48 ( ) 43 33 4 d       ，选 A） 【练习 9】、（06 山东理 8）设 2: 20 0,p x x   21: 0,2 xq x    则 p 是 q 的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 （提示：分别解出 p： 5x  或 4x  ；q： 1 1x   或 2x  或 2x  ，则显然 p 是 q 的充分不必要条件，选 A。另外，建议解出 p 以后不要再解 q，以 p 中 的特殊值代入即可作出判断） 【练习 10】、（广东 05 理 10）已知数列 nx 满足 1 2 2 xx  ， 1 2 1 ( )2n n nx x x   ， 3,4,n  ，若 lim 2nn x  ，则 1x =（ ） A、 3 2 B、3 C、4 D、5 （提示：由条件 1 2 1 ( )2n n nx x x   有 1 2 1 22 n n n n n n nx x x x x x x         ，∴ 3 2 1 3 ,x x x x   4 3 2 4 ,x x x x    1 2 3 1 ,n n n nx x x x      1 2n n n nx x x x    ， 累 加 得 2 1 2 1n n nx x x x x x      ，代入 1 2 2 xx  得 1 12 2n nx x x  ，两边同取极限得， 1 1lim 2 lim lim 2n nn n n x x x     ，即 1 12 2 2 2 3x x     ，选 B） 十、现场操作 又叫做原始操作法，有别于直接法，一 是指通过现场可以利用的实物如三 角板、铅笔、纸张、手指等进行操作或者利用纸上模型进行演算演绎得到答案 的方法；二是指根据题目提供的规则演算最初的几个步骤，从而发现规律，归 纳出答案的方法。 38 【例题】、（据 93 年全国高考题改编）如图 ABCD 是正方形，E 是 AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别 沿虚线 DE 和 CE 折起，使 AE 和 BE 重合于 P，则面 PCD 和面 ECD 所成的二面角为（ ）度。 A、 15 B、30 C、 45 D、60 【解析】、你当然可以用三垂线定理来解，但不如现场操作更快：用正方形 纸片折叠出三棱锥 E-PCD，不难看出 PE⊥面 PCD，设二面角大小为 ，则由射 影面积公式有 2 2 3 34cos 1 2 2 PCD ECD DCS S DC       ， 30   ，选 B。 【练习 1】已知( 2 1) 2 ( )n n na b n N     ，则 nb 的值（ ） A、必为奇数 B、必为偶数 C、与 n 的奇偶性相反 D、与n 的奇偶性相同 （提示：原始操作：令 n=1、2，再结合逻辑排除法，知选 A；也可以展开 看） 【练习 2】如果 ( )f x 的定义域为 R， ( 2) ( 1) ( )f x f x f x    ，且 (1) lg3 lg 2f   ， (2) lg3 lg5f   ，则 (2008)f =（ ） A、1 B、-1 C、 g 2 g3l l D、-lg3-lg5 （提示：2008 是个很大的数，所以立即意识到这应该是一个周期函数的问 题！关键是求出周期值。现在进行现场操作：f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5， f（3）=f（2）-f（1）=…=1，f（4）= f（3）-f（2）=…lg2-lg3，f（5）= f （4）- f（3）=…-lg5-lg3，f（6）=f（5）- f（4）=…-1，f（7）=f（6）- 39 f（5）=…lg3-lg2= f（1），所以周期是 6。 (2008)f =f（334×6+4）= f（4）= lg2-lg3，选 C。当然你如果演算能力好，可以这样做： ( 2) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )f x f x f x f x f x f x        =  ( 1) ( 2) ( 3)f x f x f x       =  ( 3) ( 4) ( 3) ( 4)f x f x f x f x        ，所以周期是 6。其实凡属于抽象函数、抽 象数列、抽象不等式问题，解题诀窍都不过是不断利用题目所给的规则而已） 【练习 3】、如图所示是某城市的网格状道路，中 间是公园，公园四周有路，园内无公路。某人驾车从 城市的西南角的 A 处要到达东北角的 A 处，最短的 路径有多少条？（据加拿大数学竞赛题改编） A、210 B、110 C、24 D、206 （提示：原始操作：先假设已经到达了与 B 共线的各交叉点，标注上此时 的走法数（都是 1）；再退回至离 B 最近的对角顶点处，标注上此时的走法数 是 2；……，这样步步回退，直到 A 处，就知道答案了！这有点类似于杨晖三 角的规律。当然也可以用公式法：先求出没有公园时的走法数 6 10C ，再求出经 过公园中心的走法数 3 3 5 5C C ，所以答案是 6 10C - 3 3 5 5C C =110，选 B） 【练习 4】、如上图所示是一个长方体 骨架，一只蚂蚁在点 M 处得到信息：N 处 有糖！为了尽快沿着骨架爬行到 N 处，该 蚂蚁可走的最短路径有（ ） A、10 条 B、20 C、30 D、40 （提示：原始操作：假设从点 N 处逆着 往点 M 方向退回来，则在所经过的交点处的 走法数都容易写出，如图。所以从点 M 处出 40 发时一共有 4+4+12=20 种走法。选 B） 【练习 5】、有编号为 1、2、3、4 的四个小球放入有同样编号的四个盒子 中，每盒一球，则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有（ ） A、9 B、16 C、25 D、36 （提示：这道高考题是典型错位排列问题，思维清晰的时候，你可能这样 考虑：完成这件事情即每个盒子都按要求放入小球，应该用乘法原理，1 号盒 可以选 2、3、4 号球，有 3 种选择；2 号盒可以选 1、3、4 号球，也有 3 种选 择；此时 3、4 号盒都只有唯一选择，3×3×1×1=9，因此答案是 9。也可用 现场操作之法破解，如图，每一列对应一种放法，一共有 9 种，选 A） 球的编号 1 号盒 2 2 2 3 3 3 4 4 4 2 号盒 1 3 4 1 4 4 3 3 1 3 号盒 4 4 1 4 1 2 1 2 2 4 号盒 3 1 3 2 2 1 2 1 3 【练习 6】、如图 A、B、C 是固定在桌面上的三根立柱，其中 A 柱上有三个 大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现将三个圆片移动到 B 柱上，要 求每次只移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入 A、B、C 三个柱子 之一，且大圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事情至少要移动的次数 是（ ） A、3 B、5 C、7 D、9 41 （提示：现场操作，选 C） 【练习 7】、如左图，正方体容器 'AC 中，棱长为 1，E，F 分别是所在棱的 中点，G 是面 ' 'ABB A 的中心，在 E、F、G 三处各开有一小孔，则最大盛水量是 （ ） A、 5 6 B、 6 7 C、 7 8 D、 11 12 （提示：你可以看着图现场想象一下，怎样才能使盛水量最大呢？你首先 难免考虑由 E、F、G 确定一个水平面，如中图，经计算发现盛水量是 7 8 ，此时 DD/着地；难道不考虑只有点 D 着地的情形吗？…使水平面如右图那样呢？计 算得盛水量是 11 12 ，原来点 F 并不在水平面内！选 D） 【练习 8】、一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是 a，现用一张正方形的包装 纸将其完成包住（不能裁剪但可以折叠），那么包装纸的边长最小应该是 （ ） 42 A、( 2 6)a B、 2 6 2 a C、(1 3)a D、1 3 2 a （提示：现场用纸做一个正四棱锥， 先如图放样，其实不待你做成就知 道思路了——这已经相当于把正四 棱锥展开了，那么包装纸的边长就是正方形 1 2 3 4PP P P 的边长，选 B） 【练习 9】、一直线与直二面角的两个面所成的角分别是 和  ，则  的范 围是（ ） A、(0, ]2  B、( , )2   C、 0, 2      D、 0, 2     （提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当 ,  中有一个角等于 2  的时候，另一个角等于 0，  可以取到 2  ；当直线与 二面角的棱重合时，  可以取到 0，所以选 C） 【练习 10】、（05 全国）不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的 平面共有（ ）个。 A、3 B、4 C、6 D、7 （提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间， 发现四个顶点有被平面分成 2+2 或者 1+3 两类情形，分别有 3，4 种可能，如 图。选 D） P1 P4 P3 P2 43 【练习 11】、（07 高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1＜a2 且 a3 ＜a2，则称这样的三位数为凸数（如 343、275、120 等），那么所有凸数个 数为（ ） A.240 B.204 C.729 D.920 （ 提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为 1，若为 2，则 左边有 1，右边有 0、1 可选，此时有 1×2 个凸数；若为 3，则左边有 1、2， 右边有 0、1、2 可选，此时有 2×3 个凸数；若为 4，则左边有 1、2、3，右边 有 0、1、2、3 可选，此时有 3×4 个凸数；……若为 9，则……此时有 8×9 个凸数，所以一共有 1×2+2×3+3×4+……+8×9=240 个凸数，选 A） 结 语 以上就 10 类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之 115 道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大 者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各 种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对 合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，学生要学会联合采用多 种方法协同作战，以期收到最大实效。下面以一首小诗总结全文—— 人生选择，选择人生，用兵之道，奇正相生，数学解题，其理相同。迂回 曲径，直捣黄龙，审时度势，天佑功成。