2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．给出下列四个命题，其中正确的命题有(　　)‎ ‎①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角 ‎③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角 A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 ‎【答案】D ‎【解析】由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.‎ ‎2．已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据角的终边过点，利用任意角三角函数的定义，求出和的值，然后求出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为角的终边过点，‎ 所以利用三角函数的定义，‎ 求得，‎ ‎，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.‎ ‎3．的值等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,应选C ‎4．为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：为得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，故选A.‎ ‎【考点】三角函数图象的平移 ‎【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，函数的图象向右平移个单位长度得的图象，而函数的图象向上平移个单位长度得的图象．左、右平移涉及的是的变化，上、下平移涉及的是函数值的变化．‎ ‎5．已知扇形的半径为，周长为，则扇形的圆心角等于（ ）‎ A．1 B．3 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设扇形的圆心角为，扇形的弧长为 ‎∵扇形的半径为，周长为 ‎∴扇形的弧长为 ‎∴扇形的圆心角为 故选A ‎6．的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据二倍角的余弦公式化简求值.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角的余弦公式以及特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎7．函数的最小值是(　 　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用两角和的正弦公式，把函数化为，根据正弦函数的性质，求得的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，，‎ 即 故函数的最小值为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，把函数化为，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎8．已知锐角满足，，则 等于( )‎ A． B．或 C． D．2kπ+（k∈Z）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由sin α=，cos β=，且α，β为锐角，知cos α=，sin β=，故cos（α+β）=‎ cos αcos β–sin αsin β=×– ×=，又0<α+β<π，故α+β=．‎ ‎9． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎10．若向量，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查向量的坐标运算。‎ 解答：选项A、。‎ 选项B、‎ 选项C、，正确。‎ 选项D、因为所以两向量不平行。‎ ‎11．设为所在平面内一点，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据平面向量的线性运算计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解： 为所在平面内一点，，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.‎ ‎12．已知平面向量与的夹角等于，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用本题主要考查两个向量的数量积的定义求得的值，再根据，计算求得结果．‎ ‎【详解】‎ 解：平面向量与的夹角等于，若，‎ 则，‎ 则．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13．的值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值求解.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值，解答的关键是熟练记忆公式，属于基础题.‎ ‎14．如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数，则该函数的表达式为________．‎ ‎【答案】，，‎ ‎【解析】通过函数的图象，求出，，求出函数的周期，推出，利用函数经过求出，得到函数的解析式．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意以及函数的图象可知，，，，所以，‎ 由函数经过 所以，又，所以，‎ 所以函数的解析式：，，．‎ 故答案为：，，．‎ ‎【点睛】‎ 通过函数的图象求出函数的解析式，是三角函数常考题型，注意图象经过的特殊点，注意函数解析式的范围容易出错遗漏，属于基础题．‎ ‎15．已知点A(－1，1)，B(1, 2)，C(－2，－1)，D(3, 4)，则向量在方向上的投影为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 由题意得，所以，‎ ‎ 所以向量在方向上的投影为 ．‎ ‎16．函数的图象为C，‎ ‎①图象C关于直线x＝ π对称；‎ ‎②函数f(x)在区间内是增函数；‎ ‎③由y＝3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C，‎ 其中正确命题的序号为_________.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】利用正弦函数图像的性质对三个命题逐个进行检验即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为当x＝π时，，则直线π是图象的对称轴，故①正确；‎ 令，解得x∈，所以函数的一个增区间是，故②正确；‎ 由y＝3sin2x的图象向右平移个单位，得到图象对应的函数表达式为y＝3sin2（x﹣）＝3sin（2x﹣），所以所得图象不是函数f(x)的图象C，故③不正确 故答案为①②‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图像的性质，考查函数的对称性、单调性以及函数的图象变换，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，求下列代数式的值．‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题为弦化切问题，属于同角三角函数关系问题，分子和分母为一次式时，可将分子与分母同除以，化切后代入求值，若是二次时，可将分子和分母同时除以，化切后代入求值，若分子为弦的二次而分母是常数或分子为常数而分母为常数时，可利用1的妙用，把常数用形式表达，再将分子和分母同时除以，化切后代入求值.‎ ‎18．已知函数（其中为常数）.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若时，的最大值为4，求的值.‎ ‎【答案】（1）增区间：‎ ‎（2）a=1‎ ‎【解析】本题考查三角函数的性质 ‎⑴在中，令，‎ 则有，所以的单调增区间为.‎ ‎⑵当时，则即时 取得最大值为 由题意有，则 即 ‎19．已知，，‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)设的夹角为，求的值；‎ ‎(3)若向量与互相垂直，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）利用两个向量坐标形式的加减运算法则，进行运算．‎ ‎（2） 把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算．‎ ‎（3）因为向量与互相垂直，所以它们的数量积等于0，解方程求得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎(3)因为向量与互相垂直，‎ 所以，‎ 即.因为，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．‎ ‎20．设向量，，．‎ ‎(1)若，求的值；‎ ‎(2)设函数，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】（1）根据向量的模的计算公式得到方程,得解.‎ ‎（2）按照向量的数量积的坐标运算及三角恒等变换求出的解析式，再根据正弦函数的性质求解.‎ ‎【详解】‎ 解　(1) ，‎ ‎，，‎ 又，得. 又，从而，‎ 所以.‎ ‎(2).‎ 当时，，所以当，即时，取得最大值，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，属于中档题.‎ ‎21．已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.‎ 详解：解：（1）因为，，所以．‎ 因为，所以，‎ 因此，．‎ ‎（2）因为为锐角，所以．‎ 又因为，所以，‎ 因此．‎ 因为，所以，‎ 因此，．‎ 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎22．某港口的水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：‎ 经过长期观测，可近似的看成是函数 ‎（1）根据以上数据，求出的解析式；‎ ‎（2）若船舶航行时，水深至少要米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎【解析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出和；再借助于相隔12小时达到一次最大值说明周期为12求出即可求出的解析式；‎ ‎（2）把船舶安全转化为深度，即；再解关于的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为，最小值为，‎ ‎，‎ 且相隔小时达到一次最大值说明周期为，‎ 因此，，‎ 故 ‎（2）要想船舶安全，必须深度，即 ‎，‎ 解得：‎ 又 当时，；‎ 当时，；‎ 故船舶安全进港的时间段为，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等，属于中档题．‎