【数学】江西省赣州市石城县石城中学2019-2020学年高二下学期月考(文)

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【数学】江西省赣州市石城县石城中学2019-2020学年高二下学期月考(文)

江西省赣州市石城县石城中学2019-2020学年 高二下学期月考(文)‎ ‎(试题总分:150分;考试时间:120分钟)‎ 一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每一小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上.‎ ‎1.在复平面内,复数的共轭复数的虚部为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知,,则下列结论一定成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.用反证法证明命题“若,则全为”,其反设正确的是(   )‎ A. 至少有一个为 B. 至少有一个不为 C. 全部为 D. 中只有一个为 ‎4.设命题甲为:,命题乙为:,那么甲是乙的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)是椭圆上的一个动点,则S=x+y的取值范围为 (   )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率是( )‎ A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9‎ ‎7.已知,,,则的最小值是( )‎ A.8 B.6 C.4 D.2‎ ‎8. 已知函数,,若,,则的大小为( )‎ A. B. C. D. ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎9.在一次联考后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于分为优秀,分以下为非优秀,统计成绩后,得到如下的列联表,根据列联表的独立性检验,则可以认为成绩与班级有关系的把握为( )‎ 公式: ‎ 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎50‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎80‎ 附表:‎ A.95% B.97.5% C.99.9% D.99%‎ ‎10. 已知奇函数是R上的单调函数,若函数只有一个零点,则实数λ的值是( )‎ A. 1 B.   C. D. ‎ ‎11.已知定义在上的偶函数的导函数为,对定义域内的任意,都有成立,则使得成立的的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知点,分别是双曲线的左、右焦点,过且垂直于 轴的直线与双曲线交于,两点,若,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知奇函数是R上的单调函数,若函数只有一个零点,则实数λ的值是( )‎ A. 1 B.   C. D. ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.‎ ‎13 复数z满足(1+i)z=|-i|,则=________.‎ ‎14.曲线在点(1,1)处的切线方程为 .‎ ‎15. 在极坐标系中,是极点,设点,则的面积是_________.‎ ‎16. 已知类比以上等式可推测a,t的值,则a+t = . ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.要求写出必要的证明、解答过程.‎ ‎17.(本小题10分)设,且,,,用反证法证明:至少有一个大于.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知复数z=.‎ ‎(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称,求z1;‎ ‎(2)若实数a,b满足z2+az+b=1-i,求z2=a+bi的共轭复数.‎ ‎19.(本小题12分)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程(α为参数).‎ ‎(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系;‎ ‎(2)设点Q为曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.‎ 20. ‎(本小题12分)某种新产品投放市场一段时间后,经过调研获得了时间x(天数)与 销售单价y ‎(元)的一组数据,且做了一定的数据处理(如表),并作出了散点图(如图)‎ 表中,.‎ ‎(1)根据散点图判断,与哪一个更适宜作价格关于时间的回归方程类型?(不必说明理由)‎ ‎(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(3)若该产品的日销售量(件)与时间x的函数关系为,求该产品投放市场第几天的销售额最高?最高为多少元?(结果保留整数)‎ 附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.‎ ‎21.(本小题12分) 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. 证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.‎ ‎22.(本题满分12分)设函数已知函数.‎ ‎(1)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)若函数在其定义域内为增函数,求的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B A D C C A D C C B 参考答案 ‎13. 1+i 14. 15. 5 16. 41 ‎ ‎17. 证明:(反证法) 假设结论不成立,即 ,……3分 而 这与相矛盾 ……8分 故至少有一个大于 ……10分 ‎18.由已知得复数z======1+i. …2分 ‎(1)因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称,则它们实部互为相反数,虚部相等,所以z1=-1+i. …6分 ‎(2)因为z2+az+b=1-i,所以(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,‎ 整理得a+b+(2+a)i=1-i,因为a,b∈R,所以a+b=1,且2+a=-1,‎ 解得a=-3,b=4,所以复数z2=-3+4i, …12分 ‎19.(1)把极坐标系下的点P(4,)化为直角坐标,得P(0,4). ….3分 因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.…5分 ‎(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(cosα,sinα),它到直线l的距离d===cos(α+)+2,由此得,当cos(α+)=-1时,d取得最小值. …12分20(1)由散点图可以判断适合作作价格关于时间的回归方程类型; ….3分 ‎(2)令,先建立关于的线性回归方程,由于, ….5分 ‎∴,∴关于的线性方程, ….7分 ‎∴关于的线性方程为 (3) 设日销售额为,则 ‎ ‎ ‎,‎ ‎∴时,(元) ‎ 即该产品投放市场第天的销售额最高,最高约为元. ….12分 20. ‎(1)由题意有=,+=1,解得a2=8,b2=4,所以椭圆C的方程为+=1. ….5分 ‎(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),把y=kx+b代入+=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.‎ 故xM==,yM=kxM+b=,于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.….12分 ‎22. (1)当a=1时,函数, ∴f(1)=1-1-ln1=0., ‎ 曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=1+1-1=1. ‎ 从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=x-1, 即y=x-1.….3分 ‎(2). ‎ 要使f(x)在定义域(0,+∞)内增函数,只需f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立. ‎ 即:ax2-x+a≥0得:恒成立. ‎ 由于, ∴, ∴ ‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,实数a的取值范围是. …7分 ‎(3)∵在[1,e]上是减函数 ‎ ‎∴x=e时,g(x)min=1,x=1时,g(x)max=e,即g(x)∈[1,e] ‎ f'(x)=令h(x)=ax2-x+a ‎ 当时,由(II)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<1 ‎ 又在[1,e]上是减函数,故只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e] ‎ 而f(x)max=f(e)=,g(x)min=1,即≥1 ‎ 解得a≥ ∴实数a的取值范围是[,+∞)…12分
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