【数学】江西省赣州市石城县石城中学2019-2020学年高二下学期月考（文）

【数学】江西省赣州市石城县石城中学2019-2020学年高二下学期月考（文）

江西省赣州市石城县石城中学2019-2020学年 高二下学期月考（文）‎ ‎（试题总分：150分；考试时间：120分钟）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.‎ ‎1．在复平面内，复数的共轭复数的虚部为( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，，则下列结论一定成立的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.用反证法证明命题“若,则全为”,其反设正确的是(   )‎ A. 至少有一个为 B. 至少有一个不为 C. 全部为 D. 中只有一个为 ‎4．设命题甲为：，命题乙为：，那么甲是乙的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆上的一个动点，则S＝x＋y的取值范围为 (　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（ ）‎ A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9‎ ‎7．已知，，，则的最小值是（ )‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎8. 已知函数，，若，，则的大小为( )‎ A． B． C． D． ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎9．在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于分为优秀，分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的列联表,根据列联表的独立性检验，则可以认为成绩与班级有关系的把握为( )‎ 公式: ‎ 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎50‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎80‎ 附表:‎ A．95％ B．97.5％ C．99.9％ D．99％‎ ‎10. 已知奇函数是R上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数λ的值是( )‎ A. 1 B. 　 C. D. ‎ ‎11．已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于 轴的直线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知奇函数是R上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数λ的值是( )‎ A. 1 B. 　 C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．‎ ‎13 复数z满足(1＋i)z＝|－i|，则＝________.‎ ‎14．曲线在点（1,1）处的切线方程为 .‎ ‎15. 在极坐标系中，是极点，设点，则的面积是_________．‎ ‎16. 已知类比以上等式可推测a，t的值，则a+t = . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．要求写出必要的证明、解答过程.‎ ‎17.（本小题10分）设，且，，，用反证法证明：至少有一个大于.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知复数z＝.‎ ‎(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1；‎ ‎(2)若实数a，b满足z2＋az＋b＝1－i，求z2＝a＋bi的共轭复数．‎ ‎19.（本小题12分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程(α为参数)．‎ ‎(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；‎ ‎(2)设点Q为曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ 20. ‎（本小题12分）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x（天数）与 销售单价y ‎（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）‎ 表中，.‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作价格关于时间的回归方程类型？（不必说明理由）‎ ‎（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（3）若该产品的日销售量（件）与时间x的函数关系为，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？（结果保留整数）‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.‎ ‎21.(本小题12分) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. 证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎22.（本题满分12分）设函数已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B A D C C A D C C B 参考答案 ‎13. 1＋i 14. 15. 5 16. 41 ‎ ‎17. 证明：（反证法） 假设结论不成立，即 ，……3分 而 这与相矛盾 ……8分 故至少有一个大于 ……10分 ‎18．由已知得复数z＝＝＝＝＝＝1＋i. …2分 ‎(1)因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z1＝－1＋i. …6分 ‎(2)因为z2＋az＋b＝1－i，所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，‎ 整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，因为a，b∈R，所以a＋b＝1，且2＋a＝－1，‎ 解得a＝－3，b＝4，所以复数z2＝－3＋4i， …12分 ‎19.(1)把极坐标系下的点P(4，)化为直角坐标，得P(0，4)． ….3分 因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．…5分 ‎(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，它到直线l的距离d＝＝＝cos(α＋)＋2，由此得，当cos(α＋)＝－1时，d取得最小值. …12分20（1）由散点图可以判断适合作作价格关于时间的回归方程类型； ….3分 ‎（2）令，先建立关于的线性回归方程，由于， ….5分 ‎∴，∴关于的线性方程， ….7分 ‎∴关于的线性方程为 （3） 设日销售额为，则 ‎ ‎ ‎，‎ ‎∴时，（元） ‎ 即该产品投放市场第天的销售额最高，最高约为元. ….12分 20. ‎(1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1. ….5分 ‎(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，把y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.‎ 故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝，于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．….12分 ‎22. （1）当a=1时，函数， ∴f（1）=1-1-ln1=0.， ‎ 曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+1-1=1． ‎ 从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=x-1， 即y=x-1．….3分 ‎（2）． ‎ 要使f（x）在定义域（0，+∞）内增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立． ‎ 即：ax2-x+a≥0得：恒成立． ‎ 由于， ∴， ∴ ‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是． …7分 ‎（3）∵在[1，e]上是减函数 ‎ ‎∴x=e时，g（x）min=1，x=1时，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e] ‎ f'（x）=令h（x）=ax2-x+a ‎ 当时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1 ‎ 又在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e] ‎ 而f（x）max=f（e）=，g（x）min=1，即≥1 ‎ 解得a≥ ∴实数a的取值范围是[，+∞）…12分