2017-2018学年四川省棠湖中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年四川省棠湖中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省棠湖中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．在复平面内复数对应的点在( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先化简复数，然后结合复数对应的点即可求得最终结果.‎ 详解：结合复数的运算法则可得：‎ ‎，‎ 该复数对应的点的坐标位于第一象限.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查复数的混合运算，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2．已知则使得成立的一个必要不充分条件为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：逐一考查所给的选项与a>b之间的关系即可求得最终结果.‎ 详解：逐一考查所给命题与的关系：‎ 是的既不充分也不必要条件；‎ 是的必要不充分条件；‎ 是的充分不必要条件；‎ 是的充分必要条件.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查命题的充分必要条件的判断及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3．若函数的最小值为3，则实数的值为( )‎ A. 4 B. 2 C. 2或 D. 4或 ‎【答案】D ‎【解析】 4或，选D.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎4．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设动点的坐标为(x,y).因为动点到两坐标轴的距离相等，‎ 所以|x|=|y|即y2=x2，‎ 动点的轨迹方程是y2=x2，‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意结合双曲线的性质求解双曲线的渐近线方程即可.‎ 详解：结合双曲线的方程，令整理可得：‎ 双曲线的渐近线方程是.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．在激烈的市场竞争中，广告似乎已经变得不可或缺.为了准确把握广告费与销售额之间的关系，某公司对旗下的某产品的广告费用与销售额进行了统计，发现其呈线性正相关，统计数据如下表：‎ 广告费用（万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售额（万元）‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎49‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程，据此模型可预测广告费为6万元的销售额为（ ）‎ A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ 回归方程中的̂为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，‎ ‎∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义． ‎ 二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．‎ ‎7．函数在上的最大值为（ ）‎ A. -4 B. -4 C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的导数为f′(x)=−x2+4，‎ 由f′(x)=0,可得x=2(−2舍去)，‎ 由 可得f(x)在[0,3]上的最大值为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．‎ ‎8．已知，则不等式成立的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先求解对数不等式，然后结合长度型几何概型计算公式即可求得最终结果.‎ 详解：求解对数不等式有：，则：，‎ 结合长度型几何概型计算公式可得满足题意的概率值为：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．‎ ‎9．函数的单调增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数y=x2−2lnx的定义域为(0,+∞)，‎ 求函数y=x2−2lnx的导数,得, ,令y′>0,解得x<−1(舍)或x>1，‎ ‎∴函数y=x2−2lnx的单调增区间为(1,+∞)‎ 本题选择B选项.‎ ‎10．如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意利用点差法求解弦所在的直线方程即可.‎ 详解：设弦与椭圆的交点为：，，‎ 由题意可知：，‎ 两式作差可得：，‎ 则：，‎ 设直线的斜率为，由题意可得：，解得：.‎ 则直线方程为：，‎ 整理为一般式即：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题主要考查中点弦问题，点差法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先求得二次函数的最大值，然后结合恒成立的条件得到关于a的不等式，求解不等式即可求得最终结果.‎ 详解：，‎ 结合恒成立的条件可得关于实数a的不等式：，‎ 求解不等式可得实数的取值范围为.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：‎ ‎(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.‎ ‎12．设为抛物线的准线上一点，F为C 的焦点，点P在C上且满足，若当m取得最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意首先确定抛物线的方程，然后结合几何关系将原问题转化为直线与抛物线相切的问题，最后求解双曲线的离心率即可.‎ 详解：为抛物线的准线上一点,‎ 则，解得p=6；‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2=12x，焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3；‎ 过点P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|,‎ ‎∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|,∴；‎ 如图所示，‎ 设PA的倾斜角为，则，‎ 当m取得最小值时，最小，此时直线PA与抛物线相切；‎ 设直线PA的方程为,代入y2=12x，‎ 可得.‎ ‎∴，‎ 解得或(不合题意，舍去)，‎ 可得切点；‎ 由题意可得双曲线的焦点为(−3,0),(3,0)，‎ ‎∴双曲线的实轴长为.‎ ‎∴双曲线的离心率为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 二、填空题 ‎13．抛物线的准线方程为_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先将方程整理为标准型，然后求解直线方程即可.‎ 详解：抛物线的标准方程为：，‎ 则抛物线的焦点坐标为，准线方程为.‎ 点睛：抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．‎ ‎14．函数在处的切线方程为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先求得导函数，然后求得切线的的斜率，最后求解切线方程即可.‎ 详解：当时，，‎ 求解函数的导数可得：，‎ 则，‎ 据此可知，切线过点，切线的斜率为，‎ 切线方程为：，即：.‎ 点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.‎ ‎15．若对都有恒成立，则实数的取值范围为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：将原问题转化为函数图象之间的关系，数形结合即可求得实数的取值范围.‎ 详解：在区间上绘制函数和函数的图象，‎ 满足题意时，对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方，‎ 如图所示为临界条件，直线过坐标原点，与对数函数相切，‎ 由可得，则在切点处对数函数的切线斜率为，‎ 切线方程为：，‎ 切线过坐标原点，则：，‎ 解得：，则切线的斜率.‎ 据此可得：实数的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查切线方程的求解，数形结合解题，转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．已知△ABC是半径为5的圆O的内接三角形，且，若，则 的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，不妨假设（即点在内），，又，如图所示，则，又，即，两边平方可得，整理得，设，则，代入上式可得，即，解得或，故的取值范围是.‎ 点睛：此题主要考查了倍角公式、向量运算、基本不等式、平面几何等方面的知识，以及解二次不等式等有关方面的运算能力，属于中高档题型，也是常考考点.此题巧妙地将三角函数、向量、基本不等式、平面几何等有关知识溶在一起，所以此题涉及的知识面广，但求解过程中所涉及的方法也是常用的运算方法.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎(1)在时有极值0，试求函数解析式；‎ ‎(2)求在处的切线方程.‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，可得f（1）=0，且f′（1）=0，得到a，b的方程，解方程可得a，b的值，进而得到f（x）的解析式；‎ ‎（2）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．‎ 试题解析：‎ ‎(1) ，‎ 因为在时有极值0，‎ 所以，解得.‎ 所以.‎ ‎(2) ，‎ 在处切线的斜率： ，‎ ‎.‎ 切线的方程： 即.‎ 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以 的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎18．近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到了如表的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为.‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整； ‎ ‎（2）是否有99%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由.‎ 参考格式：，其中.‎ 下面的临界值仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由列联表的特征结合题意补充完整题中的列联表即可；‎ ‎(2)由列联表可求得，则我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.‎ 试题解析：‎ ‎(1)根据在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得列联表补充如下：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（2），即，∴，又，∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.‎ 点睛：检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．‎ ‎19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）推导出，，从而，进而平面，由此能证明平面平面；（2）设，则四棱锥的体积，解得，可得所求侧面积.‎ ‎（1）∵在四棱锥中，，∴，，‎ 又，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知，平面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得，．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故． ‎ 从而，，．‎ 可得四棱锥的侧面积为．‎ ‎20．已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义求a，再根据a,b,c勾股关系求b,代入椭圆方程即可（2）先设A，B坐标，利用向量数量积表示，利用斜率公式表示，再根据直线方程得关于横坐标和与积的关系式，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理化简，根据条件可解得代入化简可得，最后根据判别式求范围，代入即得的取值范围.‎ 试题解析：解：(1) ‎ ‎ ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．已知函数， ，函数的图象在点处的切线平行于轴.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求函数的极小值；‎ ‎(3)设斜率为的直线与函数的图象交于两点， ， ，证明： .‎ ‎【答案】(1) (2) 函数的极小值为.(3) 见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，解得.（2）先求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定极小值点（3）先利用斜率公式化简所证不等式，再利用换元转化为，最后根据导数分别证明及 试题解析：解：(1)依题意得，则.‎ 由函数的图象在点处的切线平行于轴得：‎ ‎，所以.‎ ‎(2)由(1)得，‎ 因为函数的定义域为，令得或.‎ 函数在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，‎ 故函数的极小值为.‎ ‎(3)证法一：依题意得，‎ 要证，即证，‎ 因，即证，‎ 令，即证，‎ 令，则，所以在上单调递减，‎ 所以，即，所以①‎ 令，则，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，即②‎ 综①②得，即.‎ 证法二：依题意得，‎ 令，则，‎ 由得，当时， ，当时， ，‎ 所以在单调递增，在单调递减，又，‎ 所以，即.‎ ‎22．在直角坐标系xOy中.直线:x＝－2，圆：，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求，的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积 ‎【答案】(1)，；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）直角坐标化为极坐标方程可得的极坐标方程为，的极坐标方程为.‎ ‎（2）由极坐标的几何意义可得.据此可知是直角三角形，其面积为.‎ 详解：（1）因为，，‎ 所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为.‎ ‎（2）将代入，‎ 得，解得，.‎ 故，即.‎ 由于的半径为1，所以是直角三角形，其面积为.‎ 点睛：本题主要考查极坐标的应用，极坐标的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎23．设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明：‎ ‎（1）若ab > cd；则；‎ ‎（2）是的充要条件。‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)利用·综合法结合题中所给的条件即可证得;‎ ‎(2)结合题中的条件和(1)的结论分别证明充分性和必要性即可.‎ 详解：（1）因为，‎ 由题设得：‎ 因此 ‎（2）（ⅰ）若，则，‎ 即，‎ 因为，所以，‎ 由（1）得.‎ ‎（ⅱ）若，则，‎ 即，‎ 因为，所以，‎ 于是，‎ 因此.‎ 综上，是的充要条件.‎ 点睛：本题主要考查不等式的性质，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎