【数学】2019届一轮复习人教A版圆锥曲线的定义、方程、几何性质学案
突破点12
圆锥曲线的定义、方程、几何性质
(对应 生用书第44页)
[核心知识提炼]
提炼1圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M(l为抛物线的准线).
提炼2 圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝；
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)；
②双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y2＝±2px(p＞0)的焦点坐标为，准线方程为x＝∓；
②抛物线x2＝±2py(p＞0)的焦点坐标为，准线方程为y＝∓.
提炼3弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝.
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝，y1y2＝－p2；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；③＋＝；④以弦AB为直径的圆与准线相切．
[高考真题回访]
回访1 椭圆及其性质
1．(2017·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B.
C. D.
B [∵椭圆方程为＋＝1，
∴a＝3，c＝＝＝.
∴e＝＝.
故选B.]
2．(2016·浙江高考)已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1
C．m
1 D．mn2.
∵m>1，n>0，∴m>n.
∵C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，
∴e1e2＝·
＝＝
＝＝>＝1.]
3．(2015·浙江高考)椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
[设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝x交于点M.
由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.
又O为线段F1F的中点，
∴F1Q∥OM，
∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，∴a＝＝c，
故e＝＝.]
4．(2014·浙江高考)如图121，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
图121
(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.
[解] (1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由消去y，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0. 2分
由于l与椭圆C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为. 4分
又点P在第一象限，
故点P的坐标为. 6分
(2)证明：由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离
d＝， 8分
整理，得d＝. 10分
因为a2k2＋≥2ab，
所以≤＝a－b， 12分
当且仅当k2＝时等号成立．
所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b. 15分
回访2 双曲线及其性质
5．(2016·浙江高考)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
(2，8) [∵双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，∴|F1F2|＝4，||PF1|－|PF2||＝2.若△F1PF2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－16>0，可化为(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|>16①.由||PF1|－|PF2||＝2，得(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1||PF2|＝4.故2|PF1||PF2|＝，代入不等式①可得(|PF1|＋|PF2|)2>28，解得|PF1|＋|PF2|>2.不妨设P在左支上，∵|PF1|2＋16－|PF2|2>0，即(|PF1|＋|PF2|)·(|PF1|－|PF2|)>－16，又|PF1|－|PF2|＝－2，
∴|PF1|＋|PF2|<8.故2<|PF1|＋|PF2|<8.]
6．(2015·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．
2 y＝±x [由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x轴上，且a2＝2，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，即c＝，∴焦距2c＝2，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.]
7．(2014·浙江高考)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
由得A，
由得B，
所以AB的中点C坐标为.
设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，
因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，
所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.
在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝＝.]
回访3 抛物线及其性质
8．(2015·浙江高考)如图122，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
图122
A. B.
C. D.
A [由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M
.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.]
9．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是________．
9 [设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，
∴点M到y轴的距离为9.]
10．(2016·浙江高考)如图123，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
[解] (1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离， 2分
由抛物线的定义得＝1，即p＝2. 4分
(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1.
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，
由消去x得y2－4sy－4＝0， 6分
故y1y2＝－4，所以B. 7分
又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为－，从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，所以N. 8分
设M(m,0)，由A，M，N三点共线得＝，
于是m＝＝2＋， 11分
所以m<0或m>2.
经检验，m<0或m>2满足题意．
综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞). 15分
(对应 生用书第46页)
热点题型1 圆锥曲线的定义、标准方程
题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”.
【例1】 (1)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( ) 【导 号：68334125】
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
(2)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A. B．3
C. D．2
(1)A (2)B [(1)若双曲线的焦点在x轴上，则
又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴
∴－13m2且n<－m2，此时n不存在．故选A.
(2)如图所示，因为＝4，所以＝，过点Q作QM⊥l垂足为M，则MQ∥x
轴，
所以＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.]
[方法指津]
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”
1．定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
2．计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
[变式训练1] (1)经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2017·金华十校第一 期调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，F为其焦点，准线与x轴交点为E，P为抛物线上任意一点，则( )
图124
A．有最小值 B．有最小值1
C．无最小值 D．最小值与p有关
(1)A (2)A [(1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由题意知＝1，解得k＝±，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1，
则有解得故选A.
(2)过点P作PF′垂直于准线交准线于F′.设P，故|PF′|＝＋，|EF′|＝y，因为＝≤1，此时有最小值，故选A.]
热点题型2 圆锥曲线的几何性质
题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于a，c的方程或不等式是求解的关键.
【例2】 (1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)(2017·杭州第二次质检)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB＝120°，弦AB的中点M在准线l上的射影为M1，则的最大值为________．
(1)A (2) [(1)如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．由PF⊥x轴得P.
设E(0，m)，又PF∥OE，得＝，
则|MF|＝. ①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝. ②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，所以e＝＝.
故选A.
(2)如图所示，由抛物线的定义以及梯形的中位线定理得|MM1|＝，在△ABF中，由余弦定理得|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF|·|BF|cos ＝|AF|2＋|BF|2＋|AF|·|BF|＝(|AF|＋|BF|)2－|AF|·|BF|≥(|AF|＋|BF|)2－2＝3|MM1|2，当且仅当|AF|＝|BF|时，等号成立，故取得最大值.]
[方法指津]
1．求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
[变式训练2] (1)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B.
C. D．2
(2)(名师押题)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) 【导 号：68334126】
A. B．2－
C.－2 D.－
(1)A (2)D [(1)法一：如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，
即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝.
法二：如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝.
在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得
tan∠MF2F1＝.
所以＝，即＝，即＝，
整理得c2－ac－a2＝0，
两边同除以a2得e2－e－1＝0.
解得e＝(负值舍去)．
(2)设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，
若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.
由椭圆的定义可知△F1AB的周长为4a，
∴4a＝2m＋m，m＝2(2－)a.
∴|AF2|＝2a－m＝(2－2)a.
∵|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
∴4(2－)2a2＋4(－1)2a2＝4c2，
∴e2＝9－6，e＝－.]
