2017-2018学年福建省厦门外国语学校高二6月月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年福建省厦门外国语学校高二6月月考数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 福建省厦门外国语学校2017-2018学年高二6月月考数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知为虚数单位，复数，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得故选B.‎ ‎2．设椭圆=的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为F(2,0),所以c=2,再由离心率为，所以m=4,所以所以.‎ 考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质.‎ 点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而,因而椭圆方程确定.‎ 视频 ‎3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，算得，χ2≈7.8.附表：‎ P(χ2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是(　 　)‎ A. 有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B. 有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”‎ D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：直接由题目给出的k值结合附表得答案．‎ 详解：由列联表算得k≈7.8，‎ ‎∵6.635＜7.8＜10.828，‎ ‎∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查独立性检验，对附表的理解是解答该题的关键，是基础题．‎ ‎4．如图所示，阴影部分的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求区间上对应的阴影部分的面积，再求区间上对应的阴影部分的面积，最后求和即可．‎ 详解：‎ ‎=.‎ 点睛：本题考查定积分的应用，意在考查学生的计算能力．‎ ‎5．已知空间四面体的每条棱长都等于1，点分别是的中点，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据三角形法则得到，再根据已知条件，应用向量的点积运算得到最终结果.‎ 详解：根据向量的基本定理得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为：B.‎ 点睛：这个题目考查的是向量基本定理，以及空间向量的加减法运算，向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ ‎6．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据古典概型概率公式求解．‎ 详解：从10部专著中选择2部的所有结果有种．‎ 设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为．‎ 由古典概型概率公式可得．‎ 故选A．‎ 点睛：解答古典概型概率问题时要注意两点：一是对概率类型的判定；二是准确求出所有的基本事件个数和事件A包含的基本事件的个数，然后按照公式求解．‎ ‎7．甲命题：若随机变量，若，则.乙命题：随机变量，且，，则，则正确的是（ ）‎ A．甲正确乙错误 B．甲错误乙正确 C．甲错误乙也错误 D．甲正确乙也正确 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，随机变量，所以图象关于对称，又，则，所以是正确的；又随机变量，且，，解得，所以是正确的，故选D．‎ 考点：命题的真假判定．‎ ‎8．展开式中常数项为 （ ）‎ A. －252 B. 252 C. －160 D. 160‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析： 展开式通项公式 令5﹣r=0，解出r即可得出．‎ 详解：‎ ‎ 展开式通项公式，‎ 当且仅当r=5时，T6=﹣ =﹣252 为常数项．‎ 故选：A．‎ 点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.‎ ‎9．把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，例如 ‎，若，则=（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的，根据规律求得．‎ 详解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，‎ 根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的 所以第9行的最后一个项的项数为92=81，即为a81；‎ 所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；‎ 所以若=a98，一定在10行，即m=10，‎ 所以a82是第所以第10行的第一个数，98-82+1=7，‎ 所以m-n=7．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查学生利用数列的递推式解决数学问题的能力，会根据图形归纳总计得到一组数的规律，属中档题，解决数列的小题，涉及到数列中的某一项的问题，可以寻求数列通项，若通项不好找则直接通过一直想归纳猜想.‎ ‎10．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）‎ A. 72 B. 96 C. 108 D. 144‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：依题意可知个位的选择有2,4,6三种选法，‎ 第一种情况，5在十位上，此时有种排法；‎ 第二种情况，5在百位上，此时有种排法；‎ 第三种情况，5在千位上，此时有种排法；‎ 第四种情况，5在万位上，此时有种排法；‎ 第五种情况，5在十万位上，此时组合数有种排法；‎ 所以由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是36+12+12+12+36="108" 个。‎ 考点：本小题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用.‎ 点评：应用两个原理解决问题时，通常是先分类再分步，分类时要做到不重不漏.‎ 视频 ‎11．设椭圆的左、右焦点分别为点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：当P，E，F1共线时，此时△PEF2的周长的最小，即可得到a=2b，再根据离心率公式计算即可．‎ 详解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|=|PE|+|PF2|+|EF1|，‎ 当P，E，F1共线时，此时周长最小，‎ ‎∴|PE|+|PF2|+|EF1|=|PF2|+|PF1|=2a=4b，‎ ‎∴a=2b，‎ ‎∴e= ‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).‎ ‎12．已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设点在的图象上，则点在的图象上， ，即在上有解，亦即与的图象有交点，当与的图象相切时，设切点为，如图所示， ，于是有，即，而函数，在上单调递增，且，从而，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、导数的应用以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．由于￢p是￢q的必要不充分条件，可得q是p的必要不充分条件．即可得出．‎ 详解：命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．‎ ‎∵￢p是￢q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件．‎ ‎∴ 且等号不能同时成立．‎ 解得．‎ 则实数a的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，对于含参的二次不等式问题，先判断二次项系数是否含参，接着讨论参数等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能够因式分解则进行分解，再比较两根大小,结合图像得到不等式的解集.‎ ‎14．的展开式中的系数是5，则__________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】的展开式中的系数是，‎ 所以 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎15．已知为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：令辅助函数F（x）=，求其导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出由不等式 的关系，利用不等式的性质得到结论．‎ 详解：令F（x）=，（x＞0），‎ 则F′（x）= ，‎ ‎∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，‎ ‎∴F（x）为定义域上的减函数，‎ 由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，‎ 得：，‎ ‎∴＜x，∴x＞1，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减．此题为中档题．‎ ‎16．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得：，‎ ‎∵，∴，则，‎ 设的倾斜角为，则，‎ 当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，‎ 设直线的方程为，代入，可得，即，‎ ‎∴，即，∴，双曲线的实轴长为，‎ ‎∴双曲线的离心率为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，有一定的难度；过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义结合，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，求出点坐标，利用双曲线的定义，即可求出双曲线的离心率.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近13年的宣传费和年销售量 数据作了初步处理，得到散点图及一些统计量的值．‎ 由散点图知，按建立关于的回归方程是合理的．令，则，经计算得如下数据：‎ ‎ ‎ ‎10.15‎ ‎109.94‎ ‎0.16‎ ‎-2.10‎ ‎0.21‎ ‎21.22‎ 最小二乘法求线性回归方程系数公式 ‎（Ⅰ）根据以上信息，建立关于的回归方程；‎ ‎（Ⅱ）已知这种产品的年利润与的关系为．根据（1）的结果，求当年宣传费时，年利润的预报值是多少？‎ ‎【答案】（1）（2）1090.4‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意计算、，即可写出y关于ω的回归方程；（2）由题意写出利润函数，计算x=20时的值即可．‎ 详解：（1） ，，‎ 则关于的回归方程为．‎ ‎（2）依题意 ，‎ 当时，， 所以年利润的预报值是1090.4.‎ 点睛：本题主要考查了变量间的相关关系与线性回归方程的应用问题，是中档题；计算回归方程，注意样本中心始终在回归方程上，通过这一隐含条件可得到.‎ ‎18．设函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.‎ ‎【答案】（1）a=4,b=24（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）根据曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，建立条件关系即可求a，b的值；（2）利用函数单调性，极值与导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间与极值点.‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵,‎ 当时，，函数在上单调递增，‎ 此时函数没有极值点.‎ 当时，由，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∴此时是的极大值点，是的极小值点.‎ 点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及导数的应用，要求熟练掌握函数的单调性，极值和最值与导数之间的关系，研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方法，即同增异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.‎ ‎19．如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（1）通过证明AD⊥DE，，推出平面，得到平面平面；； （2）由（1）知，是二面角的平面角．以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ 详解：‎ ‎（1）证明：∵，由勾股定理得：‎ 又正方形中，且 ‎∴平面，又∵面，‎ ‎∴平面平面 ‎（2）由（1）知是二面角的平面角 作于，则 且由平面平面，平面平面，面 所以，面 取中点，连结，则，如图，建立空间直角坐标系，‎ 则 ‎∴‎ 又，知的一个方向向量 设面法向量，则 取，得 又面一个法向量为：∴‎ 设平面与平面所成锐二面角为，则 点睛：本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．‎ ‎20．已知．‎ ‎（Ⅰ）若时，在上为单调递增函数，求实数的取值范围 ‎（Ⅱ）若存在两个极值点且，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】分析：（1）求出函数的导数，使得导函数大于等于0，从而求出参数范围；（2）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值，判断是否符合题意，从而判断出m的范围即可.‎ 详解：（1） ‎ ‎（2）， ∴， ‎ 令,时，无极值点，‎ 时，令得：或， ‎ 由的定义域可知且， ‎ ‎∴且，解得：， ∴为的两个极值点，‎ 即 且，得：‎ ‎=， ‎ 令，‎ ‎①时,，∴，∴，‎ ‎∴在递减，， ‎ 即时，成立，符合题意；‎ ‎②时，，∴,‎ ‎∴在（0，1）递减，， ∴时，，不合题意， ‎ 综上，．‎ 点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.‎