高中数学讲义微专题82 求二项式的展开项

高中数学讲义微专题82 求二项式的展开项

微专题 82 求二项式展开后的某项 一、基础知识： 1、二项式 展开式 ，从恒等式中我们可以发 现这样几个特点 （1） 完全展开后的项数为 （2）展开式按照 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项， 的指数呈此消彼长的 特点。指数和为 （3）在二项式展开式中由于按 的指数进行降幂排列，所以规定“ ”左边的项视为 ，右 边的项为 ，比如： 与 虽然恒等，但是展开式却不同，前者按 的指数降幂 排列，后者按 的指数降幂排列。如果是 ，则视为 进行展开 （4）二项展开式的通项公式 （注意是第 项） 2、二项式系数：项前面的 称为二项式系数，二项式系数的和为 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所 以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项 乘在一起便成为了展开时中的某项。对于 可看作是 个 相乘，对于 意 味着在这 个 中，有 个式子出 ，剩下 个式子出 ，那么这种出法一共有 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题 的结果。 3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数 注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的 ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由 决定。而系数是指展开并化简后最后项前面 的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如： 展开式中第 三项为 ，其中 为该项的二项式系数，而 化简后的结果 为该项的系数    na b n N     0 1 1 2 2 2n n n n r n r r n n n n n n na b C a C a b C a b C a b C b            na b  1n  a ,a b n a + a b  1 nx   1 nx x 1  na b   na b    1 r n r r r nT C a b   1r  0 1, , , n n n nC C C 2n  na b n  a b n r ra b n  a b  n r a r b r nC r nC r  52 1x   32 2 3 5 2 1T C x   2 5C  32 2 3 3 5 2 1 80T C x x    80 （2）二项式系数与系数的概念不同，但在某些情况下可以相等：当二项式中每项的系数均为 时（排除项本身系数的干扰），则展开后二项式系数与系数相同。例如 展开式的第 三项为 ，可以计算出二项式系数与系数均为 10 3、有理项：系数为有理数,次数为整数的项，比如 就是有理项，而 就不是有 理项。 4、 与 的联系：首先观察他们的通项公式： ： ： 两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数。其绝对值相等。所以在考虑 系数的绝对值问题时，可将其转化为求 系数的问题 5、二项式系数的最大值：在 中，数值最大的位于这列数的中间位置。若 为奇 数（共有偶数项），则最大值为中间两个，例如 时，最大项为 ，若 为偶数（共 有奇数数项），则最大值为中间项，例如 时，最大项为 证明：在 中的最大项首先要比相邻的两项大，所以不妨设最大项为 ，则有 所以解得： 即 所以当 为奇数时（ ），不等式变为 ，即 或 为中间项 当 为偶数时（ ），不等式变为 ，即 为中间项 6、系数的最大值：由于系数受二项式系数与项自身系数影响，所以没有固定的结论，需要计 算所得，大致分为两种情况： 型：不妨设项 的系数为 ，则理念与二项式系数最值类似，最大值首先要比相 1  51x   32 2 3 5 1T C x   2 12 ,5x x 3 , 5x x  na b  na b  na b 1 r n r r r nT C a b    na b    ' 1 1r rr n r r n r r r n nT C a b C a b        na b  na b 0 1, , , n n n nC C C n 5n  2 3 5 5C C n 6n  3 6C 0 1, , , n n n nC C C r nC             1 1 ! ! 1 1 ! ! 1 ! 1 ! 1 ! ! 1 1 ! ! 11 ! 1 ! r r n n r r n n n n r n r r n rC C r n r n nC C r n r n r rr n r                                1 2 1 2 nr nr     1 1 2 2 n nr   n 2 1n k  1k r k   1r k  r k n 2n k 1 1+2 2k r k   r k  _ _ n 1rT  1rP  邻项大，所以有 ，再根据通项公式代入解不等式即可 型：其展开式的特点为项的符号有正有负，所以在解决此类问题时有两种方法：一种 是只选取其中的正项进行比较，但序数相隔。即 ，在运算上较为复杂；一种是先 考虑系数绝对值的最大值，从而把问题转化为 的最大值问题，然后在考虑符号确定系 数最大值。 例 1：二项式 展开式中的常数项是_________ 方法一：思路：考虑先求出此二项式展开式的通项公式，令 的指数为 0，求出 的值再代入 计算即可 解： 依题意可得： 常数项为 方法二：思路：对 中的 8 个 因式所出的项进行分配，若最后结果为常 数项，则需要两个式子出 ，六个式子出 相乘， 所以常数项为： 答案：7 小 炼 有 话 说：通过本题说明求二项式展开式中某项的两种主流方法：一是通过通项公式，先 化简通项公式，再利用题目中所求项的特征求出 的值，进而求解；二是分析展开式中每一项 构成的本质，即每一个因式仅出一项，然后相乘得到，从而将寻找所求项需要的出项方案， 将其作为一个组合问题求解。 1 1 2 r r r r P P P P        _ _ n 1 1 1 3 r r r r P P P P         _ _ n 8 3 1 2 x x     x r   8 81 1 83 3 1 8 8 1 12 2 rr r rrr r r r xT C x C x x                        18 0 63r r r        2 6 6 7 8 1 1 72T C       8 3 1 2 x x     3 1 2 x x     2 x 3 1 x  62 2 8 3 1 72 xC x            r 例 2：在 的展开式中， 的系数是____________ 思路一：考虑二项展开的通项公式： 由所求可得： 思路二：可将其视为 6 个因式出项的问题，若要凑成 ，需要 个 ， 个 所以该项为： 答案： 小 炼 有 话 说 ： 利用二项式定理求某项，通常两种思路：一种是利用二项式展开的通项公式， 结合条件求出 的值再求出该项；另一种是将问题转化为因式如何安排出项的问题。 例 3：若二项式 的展开式中的第四项等于 7，则 的值是____________ 思路：条件中涉及到项的序数，那么只能考虑利用通项公式： ，第四项 中 ， ，解得： 答案： 例 4：已知 的展开式中 项的系数为 ，则实数 的值为__________ 思路：先利用通项公式求出 的项，在利用系数的条件求出 的值即可 解： 答案： 例 5：已知二项式 的展开式中各项二项式系数和是 16，则展开式中的常数项是____ 思路：要想求得展开式的某项，首先要先确定 的取值，先利用二项式系数和求出 ： 6 2 1x x     3x      6 2 62 1 12 3 1 6 6 6 r r r rr r r r rT C x x C x C x        12 3 3 3r r    3 3 3 4 6 20T C x x   3x 3 2x 3 1 x   3 33 2 3 6 1 20C x xx      20 r 71x x     x 7 1 7 1 r r r rT C x x        3r  3 3 4 4 7 1 7T C x x       1 5x   1 5x   91x ax     3x 21 2 a 3x a 9 9 2 1 9 9 1 1r r r r r r rT C x C xax a               9 2 3 3r r     3 3 3 3 4 9 3 1 84T C x xa a       3 84 21 22 aa      2a   2( )nx x n n 2 16n  即 ，再求 展开式的常数项为 答案： 例 6： 的展开式中， 项的系数为___________ 思路：已知表达式展开式中的每一项由两部分相乘而成，要想凑得 ，不妨从其中一个式子 切入进行分类讨论（以 为例） 1： 出 1，则 出 ，该项为： 2： 出 ，则 出 ，该项为： 3： 出 ，则 出 ，该项为： 综上所述：合并后的 项的系数为 5 例 7： 展开式中 项的系数为（ ） A. B. C. D. 思路：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为 10 个因式如何分配所出项的问题： 若要凑成 有以下几种可能： （1）：1 个 ，1 个 ，8 个 1，所得项为： （2）：3 个 ，7 个 1，所得项为： 所以 项的系数为 答案：A 例 8：二项式 展开式中，有理项的项数共有（ ）项 A. B. C. D. 思路：有理项是指变量的指数是整数，所以考虑从通项公式入手： ，其中 ， 的取值只需要让 ，则 ，所以共有 7 个有理项 4n  42( )x x 2 2 2 4 2 24C x x      24   521 1x x x   4x 4x  21 x x   21 x x   51 x 4x  44 4 51 1 5C x x      21 x x  x  51 x 3x  33 2 4 5 1 10x C x x       21 x x  2x  51 x 2x  22 2 3 4 5 1 10x C x x     4x  102 1x x  3x 210 210 30 30 3x 2x  x  1 2 1 8 8 3 10 9 8 1 90C x C x C x      x  33 7 7 3 10 7 1 120C x C x    3x 210 24 4 1x x     3 4 5 7 2424 1 1 364 4 2 4 24 24 1 r r rr rx C x x C x x                   0,1,2, ,24r   r 36 4 r Z  0,4,8,12,16,20,24r  小 炼 有 话 说：在整理通项公式时可将 的根式（或倒数）转化为分数指数幂，方便进行化简。 例 9：二项式 展开式中系数最大的项为___________ 思 路 ： 考 虑 展 开 式 的 通 项 公 式 为 ， 其 系 数 设 为 ， 即 ，若要 最大，则首先要大于相邻项，即 ，代入解得 的范围即 可确定出 的值，从而求出该项 解： 设 项的系数为 若 最大，则 解得： 　　　 或 经检验：系数最大的项为 答案： 例 10 ： 已 知 ， 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 思路：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在 中，与 相关的最高 次项为 ，故以此为突破口求 ，等式左边 的系数为 ，而右边 的 系数为 ，所以 ，只需再求出 即 可，同样选取含 的最高次项，即 ，左边 的系数为 ，右边 的系数为 ， 所以 。从而可解得 答案：D x  82 1x   82 1x  8 8 1 82 r r r rT C x    1rP  8 1 8=2 r r rP C  1rP  1 1 2 r r r r P P P P       r r  8 8 8 1 8 82 1 2rr r r r r rT C x C x       1rT  8 1 8=2 r r rP C  1rP      8 18 1 8 81 8 +18 +1 1 2 8 8 2 2 2 2 rr r r r r rr r r r r C CP P P P C C                          8 9 8 7 8! 8! 1 22 2! 8 ! 1 ! 9 ! 9 8! 8! 2 12 2! 8 ! 1 ! 7 ! 8 1 r r r r r r r r r r r r r r r r                       2 3r  2r  3r   5 3 4 1792T T x  51792x    2 10 9 0 1 2 10 0 1 9,g x a a x a x a x h x b b x b x                  19 101 1 2 1x x x g x h x     9a  0 1910 2 1810 2  183 2     101 x g x 9a 19x 9a 19x    19 1818 192 2C   19x  99 9 10 10 1a a C        9 19 189 18 9 10 10 191 2 2a a C C       10a 10a 20x 20x  192 20x 10a  19 10 2a   18 9 3 2a    小 炼 有 话 说：求 选择以哪项作为突破口很关键，要理解选最高次项的目的是为了排除其他 系数的干扰，如果选择项的次数较低，则等式中会出现 甚至 ，不 便于求解。本题选择 这项时，仅仅受到 的干扰，再寻找与 的相关项（最高次项）即 可解决。 9a 1 2 8, , ,a a a  1,2, ,9ib i   19x 10a 10a