高中数学选修2-2公开课课件1_4 生活中的优化问题举例

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高中数学选修2-2公开课课件1_4 生活中的优化问题举例

1.4 生活中的优化问题举例 一、如何判断函数的单调性? f(x) 为增函数 f(x) 为减函数 设函数 y=f(x) 在 某个区间内可导, 二、如何求函数的极值与最值? 求函数极值的 一般步骤 ( 1 )确定定义域 ( 2 )求导数 f′(x) ( 3 )求 f′(x)=0 的根 ( 4 )列表( 5 )判断 求 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上的最值的步骤 (1) 求 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内极值; (2) 将 y = f ( x ) 的各极值与 f ( a ) 、 f ( b )比较 , 从而确定函数的最值 生活中经常遇到求 利润最大 、 用料最省 、 效率最高 等问题,这些问题通常称为 优化问题 ,通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,本节我们运用导数,解决一些生活中的优化问题 . 1. 了解导数在实际问题中的应用; 2. 对给出的实际问题,如使利润最大、效率最高、用料最省等问题,体会导数在解决实际问题中的作用; 3. 利用导数知识解决实际中的最优化问题; (重点) 4. 将实际问题转化为数学问题,建立函数模型 . (难点) 探究点 1 海报版面尺寸的设计 例 1 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传 . 现让你设计一张如图 3.4-1 所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm 2 ,上、下两边各空 2dm ,左、右两边各空 1dm ,如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小? 图 3.4-1 分析:已知版心的面积,你能否设计出版心的高,求出版心的宽,从而列出海报四周的面积来? 因此, x=16 是函数 S(x) 的极小值点,也是最小值点 . 所以,当版心高为 16dm ,宽为 8dm 时,能使四周空白面积最小 . 你还有其他解法吗?例如用基本不等式行吗? 解法二: 由解法 ( 一 ) 得 2. 在实际应用题目中,若函数 f ( x ) 在定义域内 只有一个极值点 x 0 , 则不需与端点比较, f ( x 0 ) 即是所求的最大值或最小值 . 总结提升 1. 设出变量找出函数关系式; 确定出定义域; 所得结果符合问题的实际意义 . ( 所说的区间也适用于开区间或无穷区间 ) 规格( L ) 0.6 1.25 2 价格(元) 2.5 4.5 5.1 探究点 2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 例 2 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们的价格如下表所示,则 ( 1 )对消费者而言,选择哪一种更合算呢? ( 2 )对制造商而言,哪一种的利润更大? 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是 0.8 p r 2 分,其中 r 是瓶子的半径 ( 单位 :cm) ,已知每出售 1mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm , 问题: ( 1 ) 瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ( 2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小? 解: 由于瓶子的半径为 r, 所以每瓶饮料的利润为: r (0 , 2) 2 (2 , 6] f ' (r) 0 f (r) - + 减函数↘ 增函数↗ -1.07 p 因此,当 r>2 时, f′(r)>0, 它表示 f(r) 单调递增,即半径越大,利润越高; 当 r<2 时, f′(r)<0, 它表示 f(r) 单调递减,即半径越大,利润越低 . Ⅰ .半径为 2cm 时,利润最小 , 这时 f(2)<0, 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值; Ⅱ. 半径为 6cm 时,利润最大 . 2 3 从图中,你还能看出什么吗? 当 0 < r < 3 时,利润为负值;当 r = 3 时,利润为零;当 r > 3 时,利润为正值,并随着瓶子半径的增大利润也相应增大 . 例 3 磁盘的最大存储量问题 计算机把 信息 存储在磁盘上 . 磁盘是带有磁性介质的 圆盘,并 由 操作系统将其格式化成磁道和扇区 . 磁道 是指不同半径所构成的同心 圆 轨道,扇区是指被 圆 心角 分割所成的扇形区域 . 磁道上的定长弧可作为基本 存储单元,根据其磁化与否可分别 记录数据 0 或 1 ,这个基本单元 通常称为比特( bit ) . 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于 m , 每比特所占用的磁道长度不得小于 n. 为了数据检索 便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数 . 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径 介于 r 与 R 之间的环形区域. ⑴是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? ⑵ r 为多少时,磁盘具有最大存储量 (最外面的磁道不存储任何信息)? 解: 由题意知:存储量 = 磁道数 × 每磁道的比特数 . 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的 宽度必须大于 m ,且最外面的磁道不存储任何信息, 故磁道数最多可达 . 由于每条磁道上的比特数 相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满, 即每条磁道上的比特数可达 . 所以磁盘总存储量 (1) 它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以 判断,不是 r 越小,磁盘的存储量越大. (2) 为求 的最大值,计算 令 ,解得 当 时, ;当 时, . 因此当 时,磁盘具有最大存储量 , 此时最大存储量为    解决优化问题的方法之一:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具,其基本思路如以下流程图所示 : 优化问题 用函数表示数学问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 建立数学模型 解决数学 模型 作答 一、选择题 1 .三次函数当 x = 1 时,有极大值 4 ;当 x = 3 时, 有极小值 0 ,且函数过原点,则此函数是( ) A . y = + 6 + 9x B . y = - 6 + 9x C . y = - 6 - 9x D . y = + 6 - 9x B 解: f′(x) = - 3b = 3( - b) ,令 f′(x) = 0 ,即 - b = 0 , 由已知可得 b>0 , ∴ x = 或- ( 舍去 ) , 又 0< <1 ,∴ 00 D . b< A D C 二、填空题 5 .面积为 S 的一切矩形中,其周长最小的是 . 6. 在边长为 60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 解: 设箱高为 xcm ,则箱底边长为 (60 - 2x)cm ,则得箱子容积 V 是 x 的函数, V(x) = (60 - 2x) 2 · x(00 , 当 10
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