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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版(理)4-3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式学案
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式 考纲展示► 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 考点1 三角函数公式的基本应用 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=________________; cos(α∓β)=________________; tan(α±β)=. 答案:sin αcos β±cos αsin β cos αcos β±sin αsin β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=________________; cos 2α=______________=______________=______________; tan 2α=. 答案:2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α (1)[教材习题改编]计算:sin 108°cos 42°-cos 72°sin 42°=________. 答案: (2)[教材习题改编]已知cos α=-,α∈,则sin的值是________. 答案: 解析:因为cos α=-,α∈,所以sin α=,所以sin=sin αcos+cos αsin=×+×=. 公式使用中的误区:角的范围;公式的结构. (1)若函数f(α)=,则α满足2tan α≠1,且α≠________. 答案:kπ+(k∈Z) 解析:要使函数f(α)=有意义,则1-2tan α≠0,tan α有意义,所以2tan α≠1,则α≠kπ+(k∈Z). (2)化简:sin x-cos x=________. 答案:sin 解析:sin x-cos x=cos sin x-sin cos x=sin. [典题1] (1)[2017·江西新余三校联考]已知cos=-,则sin的值为( ) A. B. C.± D.± [答案] C [解析] 因为cos =cos=, 所以有sin2=×=, 从而求得sin的值为±,故选C. (2)已知cos θ=-,θ∈,则sin的值为________. [答案] [解析] 由cos θ=-,θ∈得 sin θ=-=-, 故sin=sin θcos -cos θsin =-×-× =. (3)设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是________. [答案] [解析] ∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α, ∴cos α=-. 又α∈,∴sin α=,tan α=-, ∴tan 2α==-=. [点石成金] 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值. 考点2 三角函数公式的逆用与变形应用 公式的常用变形 (1)tan α±tan β=tan(α±β)(________); (2)________=,________=; (3)1+sin 2α=(________)2,1-sin 2α=(________)2,________=sin. 答案:(1)1∓tan αtan β (2)cos2α sin2α (3)sin α+cos α sin α-cos α sin α±cos α (1)[教材习题改编]计算:sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°=________. 答案: 解析:原式=sin(43°-13°)=sin 30°=. (2)[教材习题改编]已知sin θ=,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为________. 答案:- 解析:∵sin θ=,θ为第二象限角, ∴cos θ=-, ∴sin 2θ=2sin θcos θ=2××=-. 辅助角公式. (1)函数f(x)=sin x+cos x的最大值为________. 答案: 解析:sin x+cos x= =sin≤ . (2)一般地,函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数),可以化为f(α)=________或f(α)=________. 答案:sin(α+φ) cos(α-φ) 解析:一般地,函数f(x)=asin α+bcos α(a,b为常数)可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ). [典题2] (1)[2017·贵州贵阳监测]已知sin+sin α=,则sin的值是( ) A.- B. C. D.- [答案] D [解析] ∵sin+sin α=, ∴sin cos α+cos sin α+sin α=, ∴sin α+cos α=, 即sin α+cos α=. 故sin=sin αcos +cos αsin =-=-. (2)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为( ) A.- B. C. D.- [答案] B [解析] 由tan Atan B=tan A+tan B+1, 可得=-1, 即tan(A+B)=-1, 又A+B∈(0,π), 所以A+B=, 则C=,cos C=. (3)[2017·陕西西安模拟]计算:-sin 10°·=________. [答案] [解析] 原式=-sin 10°· =- = = = =. [点石成金] 三角函数公式活用的技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用. (3)注意切化弦思想的运用. 1.已知sin=,则cos的值是( ) A. B. C.- D.- 答案:D 解析:∵sin=, ∴cos=cos =1-2sin2=, ∴cos=cos =cos =-cos=-. 2.化简:(0<α<π)=________. 答案:cos α 解析:原式= = =. 因为0<α<π,所以0<<, 所以cos >0,所以原式=cos α. 考点3 角的变换 角的变换技巧 2α=(α+β)+(α-________); α=(α+________)-β;β=________; =________. 答案:β β - - [典题3] 已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-. (1)求sin(α-β)的值; (2)求cos β的值. [解] (1)∵α,β∈, ∴-<α-β<. 又tan(α-β)=-<0, ∴-<α-β <0. ∴sin(α-β)=-. (2)由(1)可得,cos(α-β)=. ∵α为锐角,且sin α=, ∴cos α=. ∴cos β=cos [α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =×+× = . [题点发散1] 在本例条件下,求sin(α-2β)的值. 解:∵sin(α-β)=-,cos(α-β)=, cos β=,sin β=. ∴sin(α-2β)=sin [(α-β)-β] =sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β =-. [题点发散2] 若本例中“sin α=”变为“tan α=”,其他条件不变,求tan(2α-β)的值. 解:∵tan α=,tan(α-β)=-, ∴tan(2α-β)=tan = ==. [点石成金] 利用角的变换求三角函数值的策略 (1)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值. 解:∵0<β <<α<π, ∴<α-<π, -<-β<, ∴sin==, cos==, ∴cos =cos =coscos+sinsin =×+×=, 则由二倍角公式,可得 cos(α+β)=2cos2-1=-. 真题演练集训 1.[2015·新课标全国卷Ⅰ]sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=( ) A.- B. C.- D. 答案:D 解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°·cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D. 2.[2016·四川卷]cos2-sin2=________. 答案: 解析:由二倍角公式,得 cos2 -sin2 =cos=. 3.[2015·四川卷]sin 15°+sin 75°的值是________. 答案: 解析:sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15° = =(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°) =sin 60°=×=. 4.[2015·江苏卷]已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为________. 答案:3 解析:tan β=tan[(α+β)-α]= ==3. 课外拓展阅读 三角恒等变换的综合问题 1.三角恒等变换与三角函数性质的综合应用 利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再求其周期、单调区间、最值等,一直是高考的热点. [典例1] [改编题]已知函数f(x)=2sin ωx-4sin2+2+a(其中ω>0,α∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在区间[6,16]上的最大值为4,求a的值. [解] (1)f(x)=2sin ωx-4sin2+2+a=2sin+a, 由题意,知2ω+=,得ω=. 所以最小正周期T==16. (2)f(x)=2sin+a, 因为x∈[6,16],所以x+∈. 由图象可知(图略),当x+=, 即当x=16时, f(x)的最大值, 由2sin +a=4,得a=2. 2.三角恒等变换与三角形的综合 三角恒等变换经常出现在解三角形中,与正弦定理、余弦定理相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等,是高考热点内容. 根据所给条件解三角形时,主要有两种途径: (1)利用正弦定理把边的关系化成角,因为三个角之和等于π,可以根据此关系把未知量减少,再用三角恒等变换化简求解; (2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系,再用三角恒等变换化简求解. [典例2] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2. (1)求C; (2)设cos Acos B=,=,求tan α的值. [解] (1)因为a2+b2+ab=c2, 由余弦定理,得cos C===-.故C=. (2)由题意,得 =, 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)=, tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=, tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B=.① 因为C=,A+B=, 所以sin(A+B)=. 因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B, 即-sin Asin B=, 解得sin Asin B=-=. 由①得tan2α-5tan α+4=0, 解得tan α=1或tan α=4. 3.三角恒等变换与向量的综合 三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题,一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,往往是两向量平行或垂直的计算,即令a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,a∥b⇔x1y2=x2y1,a⊥b⇔x1x2+y1y2=0,把向量形式化为坐标运算后,接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用. [典例3] 已知△ABC为锐角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量q=(sin A-cos A,1+sin A),是共线向量. (1)求角A; (2)求函数y=2sin2B+cos 的最大值. [思路分析] (1)→ → (2)→ [解] (1)因为p,q共线,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A), 则sin2A=. 又A为锐角,所以sin A=,则A=. (2)y=2sin2B+cos =2sin2B+cos =2sin2B+cos =1-cos 2B+cos 2B+sin 2B =sin 2B-cos 2B+1 =sin+1. 因为B∈,所以2B-∈, 所以当2B-=时,函数y取得最大值, 解得B=,ymax=2.查看更多