福建省永春第一中学2019届高三毕业班高考前适应性训练数学（理）试题

福建省永春第一中学2019届高三毕业班高考前适应性训练数学（理）试题

永春一中高三年考前适应性训练（理科）数学（2019.05）‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知为虚数单位，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．记为等差数列的前项和，公差，成等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5. 若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。在 《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法。现有一 个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如右图所 示，财该五面体的体积为（ ）‎ ‎ A．18 B．‎22 C．24 D．28‎ ‎ 7．化简的结果是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于两点，若四边形是菱形，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设，，当取最小值时的的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 下图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（ ）‎ A． B． ‎ 第10题图 C． D．‎ ‎11．已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．在中，，，，则 ．‎ ‎14． 的展开式中的系数为 ．（用数字填写答案）‎ ‎15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围为 ．‎ ‎16．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则过点且与直线相切的圆的方程为 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列中，，，前n项和为，若．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前n项和为．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，是棱的中点，，在线段上，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，面面 ‎，求二面角的余弦值.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是坐标原点.‎ ‎（1）若直线过点且，求直线的方程；‎ ‎（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本。”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律。爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下：‎ 当时，建立了与的两个回归模型：模型①： ；模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为：．‎ ‎（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为亿元时的直接收益．‎ ‎（附：刻画回归效果的相关指数，．）‎ ‎（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于亿元时，国家给予公司补贴收益亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入亿元与亿元时公司实际收益的大小；‎ ‎（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式;）‎ ‎（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率大幅提高，服从正态分布，‎ 公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．‎ ‎（附：随机变量服从正态分布，则，．） ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若在上成立，求的取值范围. ‎ ‎（二）选考题：共10分．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线，曲线（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）在极坐标系中，已知射线与,的公共点分别为,，且，求的面积．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求实数的取值范围．‎ 永春一中高三年考前适应性训练（理科）数学（2019.05）‎ 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A D D A C B B C D D D 二、填空题 ‎ 13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题 ‎（17）解：（1）在数列中，①‎ ‎∵②且，∴①式÷②式得：，‎ ‎∴数列以为首项，公差为1的等差数列，‎ ‎∴ ……3分 当时，，‎ 当时，，也满足上式，‎ ‎∴数列的通项公式为. ……6分 （2） 由（1）知，，‎ 则 ①‎ ‎ ②‎ ①- ‎②得，‎ ‎ ‎ ‎ ……12分 ‎（18）解：（1）连接交于点，连接. …………1分 因为，所以，又因为，所以，‎ 所以， ………3分 又，，所以 …………4分 ‎（2）过作于，因为，所以是线段的中点.‎ 因为面面，面面，所以.连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以。如图以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标 ………6分 不妨设，则，，，，，‎ 由，得，的中点 ‎， ………7分 设面的一个法向量为，则 ‎，即，取得 ……9分 的一个法向量为，则 ‎ …………11分 所以二面角的余弦值为. …………12分 ‎ ‎ ‎（19） 解：（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为 ‎，与抛物线的交点坐标分别为，此时，不符合题意，故直线的斜率存在. …………1分 设直线方程为与联立得，‎ 当时，方程只有一根，不符合题意，故.‎ ‎，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得 ‎，解得， …………4分 所以方程为或 …………5分 法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为，‎ 与联立得，设 ‎ …………2分 由，解得， …………4分 所以方程为或 …………5分 ‎（2）设，‎ 设直线方程为与联立得 ‎ …………6分 由得，即 …………7分 整理得，即 整理得， …………9分 即，即 …………11分 故直线方程为过定点 …………12分 ‎（20）解：（1）由表格中的数据，有，即 1分 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好． 2分 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为 ‎（亿元） 3分 ‎ ‎（2）由已知可得：，所以 4分 ‎，所以 5分 所以 所以当亿元时，与满足的线性回归方程为： 6分 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值 所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元 所以技改造投入亿元时，公司的实际收益的更大 7分 ‎（3）因为 所以， 8分 因为，‎ 所以 9分 所以 10分 设每台发动机获得的奖励为（万元），则的分布列为：‎ 所以每台发动机获得奖励的数学期望为（万元） 12分 ‎（21）解：（1）解：，‎ 当时，，单调递增，当时，，，单调递减，故单调递增区间为，单调递减区间为 ……3分 ‎ ‎（2）法一：由得，即 令，则………5分 ‎，，在单调递增，‎ 又，，‎ 所以有唯一的零点， …………7分 且当时，，即，单调递减，‎ 当时，，即，单调递增，‎ 所以， …………9分 又因为所以 …………11分 所以，的取值范围是 …………12分 法二：由得，即…5分 令，因为，，‎ 所以存在零点； …………7分 令，则，当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增. ‎ 所以， …………10分 所以，所以的取值范围是 ……12分 ‎（22）解：（1）∵， ∴直线的极坐标方程是 ……2分 曲线的普通方程为，即 ……3分 所以曲线的极坐标方程为． …………4分 ‎（2）将分别代入，得：‎ ‎， …………6分 ‎∴ ∴ …………7分 ‎∵，∴ …………8分 ‎∴，， …………9分 所以 …………10分 ‎（23）解：（1）不等式，即.‎ 可得，或或 …………3分 解得，所以不等式的解集为. …………5分 ‎（2）当时，，所以， …………6分 由得，即， …………8分 则，该不等式无解，所以实数的取值范围是空集（或者） …………10分