山西省大同市2020届高三模拟考试数学（文）

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数学（文科）试卷 ‎(满分150分，答题时间120分钟) ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知集合，，，则的元素个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一"幅十字绣赠送给 当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下:‎ 小明说:“鸿福齐天”是我制作的；‎ 小红说:“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；‎ 小金说:“兴国之路”不是我制作的.‎ 若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ）‎ A．小明 B．小红 C. 小金 D．小金或小明 ‎5. 函数在上的图像大致为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎6. 为了了解公司名员工对公司食堂组建的需求程度，将这些员工编号为，对这些员工使用系统抽样的方法等距抽取人征求意见，有下述三个结论:‎ ‎①若号员工被抽到，则号员工也会被抽到；‎ ‎②若号员工被抽到，则到号的员工中被抽取了人；‎ ‎③若号员工未被抽到，则号员工一定未被抽到.‎ 其中正确的结论个数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 已知向量，若，则与夹角的余弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 框图与程序是解决数学问题的重要手段.实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决.例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，则图中空白框中应填入（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别为，点.若线段与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且的面积是的倍，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11. 在中，角所对的边分别为.若时，则的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，其中，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题， 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分 ‎13. 曲线在处的切线方程为 ．‎ ‎14. 设为正项等比数列的前项和，若，则 ．‎ ‎15. 函数在上的值域为 ．‎ ‎16. 已知四棱锥中的外接球的体积为，平面，四边形 为矩形，点在球的表面上运动，则四棱锥体积的最大值为 ．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17. 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示. ‎ 求的值；‎ 求地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数以及中位数；‎ 不经过计算，直接给出地区家实体店经济损失的平均数与的大小关系.‎ ‎18. 记为等差数列的前项和，且.‎ 求数列的通项公式以及前项和；‎ 记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. ‎ ‎19. 四棱锥如图所示，其中四边形是直角梯形，平面与交于点，直线与平面所成角的余弦值为，点在线段上.‎ 若直线平面，求的值；‎ 若，求点到平面的距离.‎ ‎20. 已知函数 判断函数在上的单调性；‎ 若，求证:当时，‎ ‎21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.‎ 若线段的中点坐标为，求直线的斜率；‎ 若三点共线，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。‎ 22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；‎ 若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知.‎ 求证:.‎ 若，求证:.‎ 文科数学参考答案和评分标准 一、选择题 ‎1.【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查复数的运算、复数的概念，考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】依题意，，故，故选.‎ ‎2. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查集合的表示、集合的运算，考查推理论证能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】依题意，，则，故，则的元素个数为，故选 .‎ ‎3．【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查指对数的大小比较，考查推理论证能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】依题意，故选.‎ ‎4. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及分类讨论思想.‎ ‎【解析】依题意，三个人制作的所有情况如下所示:‎ 鸿福齐天 小明 小明 小红 小红 小金 小金 国富民强 小红 小金 小金 小明 小红 小明 兴国之路 小金 小红 小明 小金 小明 小红 若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则满足；若小金的说法正确，则满足.故天“鸿福齐天”的制作者是小红，故选.‎ ‎5. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查函数的图像与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】依题意，，故函数为偶函数，‎ 图像关于轴对称，排除；而，排除，排除.故选.‎ ‎6. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查系统抽样，考查数学建模能力以及必然与或然思想.‎ ‎【解析】依题意，将这人分为组，每组人，即分段间隔为；因为，故①正确；‎ 若号员工被抽到，则到号的员工中被抽取的号码为.共计人，故②错误；若号员工未被抽到，则号员工可能被抽到，故③错误.故选.‎ ‎7. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查向量的坐标运算、向量的数量积应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】依题意，，而，即，解得，则，故选.‎ ‎8. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查诱导公式、两角差的正切公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】，，故选.‎ ‎9. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】程序框图是为了计算个数的方差，即输出的，观察可知，选.‎ ‎10. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】不妨设即为双曲线的焦点到渐近线的距离，故，因为的面积是的倍，故，不妨设，则直线，故.而，则，则.即，故，故选.‎ ‎11. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查解三角形，考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】因为，且，解得，，而，‎ ‎，所以，，故 因为，，故，故，故选.‎ ‎12. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】设，由知，由在椭圆上，可知四边形为矩形，； 由，可得 由椭圆的定义可得，平方相减可得，‎ 所以，而，即，‎ 由，可得，由，‎ 可得.所以，所以，故选 二、填空题 ‎13. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】依题意，，故.故所求切线方程为. ‎ ‎14. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查等比数列的通项公式.前项和公式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】记数列的公比为，显然，则，解得；而，故，故，解得，故 ‎ ‎15. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质，考查运算求解能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】依题意，，当时，‎ ‎ 故，故 ‎ ‎16. 【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查组合体与球，考查空间想象能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】依题意，，将四棱锥补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，设长方体的长、宽、高分别为，且，由于，又，当且仅当时等号成立，此时，，要使得四棱锥的体积最大，只需点为平面的中心与球心所在的直线与球的交点，又，故体积的最大值为.‎ 三、解答题 ‎17.【命题意图】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征，考查运算求解能力以及必然与或然思想.‎ ‎【解析】依题意.，‎ 解得.‎ 由图可知，地区家实体店该品牌洗衣机的月经济损失的众数为，‎ 第一块小矩形的面积，第二块小矩形的面积，‎ 故所求中位数在之间，故所求中位数为 ‎18. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式.前项和公式、等比数列的前项和公式.考查运算求解能力以及函数与方程思想. ‎ ‎【解析】记数列的公差为，‎ 故， ‎ 故，‎ 依题意，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，，，所以 ‎19. 【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、空间几何体的结构特征、空间想象能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】连接.‎ 因为，故 设，得 因为平面，平面平面平面，‎ 故，故 在平面内作于点，‎ 因为平面，所以，‎ 又，得平面 .‎ 因为平面，所以.‎ 又，所以平面.‎ 因为直线与平面所成角的余弦值为 即 又，故 则，而，得 ‎，即点到平面的距离为 ‎20. 【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查推理论证能力以及函数与方程思想.‎ ‎【解析】依题意，‎ 令，则，‎ 故当时，，当时，‎ 故，故在上恒成立，‎ 故，‎ 即函数在上单调递减.‎ 依题意，‎ 下面证明:①当时，；②当时，；‎ 事实上，，则，所以在上单调递增，‎ 故，则，‎ 又，则 令，则 由，得的极小值点为.若.则 则，故，‎ 若，即，则在上单调递减.故.‎ 综上所述，当时，，‎ 则，‎ ‎21. 【命题意图】本题考查直线与椭圆的关系、基本不等式，考查运算求解能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】设.则，‎ 两式相减，可得 即 解得，即直线的斜率为 显然直线的斜率不为，设直线，‎ 联立，消去整理得，‎ 显然，故 故的面积 令，其中 ‎22. 【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义，考查推理论证能力以及数形结合思想.‎ ‎【解析】依题意，曲线即，‎ 故，即 因为，故，‎ 即，即.‎ 将，代入，得，‎ 将，代入，得，‎ 由，得.即 解得.则 又，故，‎ 故的面积 ‎23. 【命题意图】本题考查证明不等式的方法、基本不等式，考查推理论证能力以及化归与转化思想.‎ ‎【解析】要证 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证， ‎ 该式显然成立，当且仅当时等号成立，‎ 故 由基本不等式得 ‎，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 将上面四式相加，可得，‎ 即.‎