河北省邯郸市大名县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次半月考数学试题

河北省邯郸市大名县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次半月考数学试题

高二第二学期第一次半月考数学试卷 考试范围：计数原理、排列组合、二项式定理、古典概型、离散型随机变量及其分布列；‎ 一、单选题（每题5分，共50分）‎ ‎1．随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如图所示，天花板上挂着3串玻璃球，射击玻璃球规则：每次击中1球，每串中下面球没击中，上面球不能击中，则把这6个球全部击中射击方法数是（ ）‎ A．78 B．‎60 ‎C．48 D．36‎ ‎3．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎4．从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有（ ）‎ A．17个 B．18个 C．19个 D．20个 ‎5．2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知等差数列的第6项是二项式展开式的常数项，则=（ ）‎ A．160 B．－‎160 ‎C．320 D．－320‎ ‎7．年月日，某地援鄂医护人员，，，，，，人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎8．若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）‎ ‎ A．36 B．‎48 ‎C．72 D．108‎ ‎10．展开并合并同类项后的项数是（ ）‎ A．11 B．‎66 C．76 D．134‎ 二、多选题（每题5分，共10分）‎ ‎11．如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( )‎ A．取每一个可能值的概率都是非负数 B．取所有可能值的概率之和是1‎ C．的取值与自然数一一对应 D．的取值是实数 ‎12．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）.‎ A． B． C． D．18‎ 三、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．‎ ‎14．的展开式中，含项的系数为______.‎ ‎15．在一次比赛中，某队的六名队员均获得奖牌，共获得4枚金牌2枚银牌，在颁奖晚会上，这六名队员与1名领队排成一排合影，若两名银牌获得者需站在领队的同侧，则不同的排法共有______种．（用数字作答）‎ ‎16．设n为正整数，展开式的二项式系数最大值为x，展开式的二项式系数的最大值为y，若，则n=__________.‎ 四、解答题 ‎17．（满分10分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券2张，每张可获价值50元的奖品；有二等奖券2张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：‎ ‎（1）该顾客中奖的概率；‎ ‎（2）该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列.‎ ‎18．（满分10分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ 设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为‎4”‎，求事件A发生的概率；‎ 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．‎ 高二半月考数学答案 单选1——10 DBBAD DDCCB ‎ 多选11、ABD 12、BC ‎ 填空题13——16 36、30、3360、6‎ ‎17、【分析】‎ ‎（1）根据题意先求出该顾客没有中奖的概率，再根据与对立事件的概率和为1，即可得到该顾客中奖的概率.（2）根据题意得的取值可能为0，10，20，50，60，100，根据古典概率公式分别求出其概率，进而求出X的概率分布列.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）该顾客获奖的概率为.‎ ‎（2）根据题意得，的取值可能为0，10，20，50，60，100‎ ‎,,,‎ ‎,,.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎18、【分析】‎ ‎（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为‎4”‎的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；‎ ‎（2）由题意知随机变量的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知有，‎ 所以事件的发生的概率为；‎ ‎（2）随机变量的所有可能的取值为0，1，2；‎ ‎；；‎ ‎；‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 高二第二学期第一次半月考解析 一、单选题 ‎1．随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【来源】福建省三明市第二中学2016-2017学年高二第二学期阶段（1)考试数学（理)试题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 由题意，由所有概率的和为可得，‎ ‎，故选.‎ ‎2．如图所示，天花板上挂着3串玻璃球，射击玻璃球规则：每次击中1球，每串中下面球没击中，上面球不能击中，则把这6个球全部击中射击方法数是（ ）‎ A．78 B．‎60 ‎C．48 D．36‎ ‎【来源】北京市第十二中学2019-2020学年高二下学期5月月考理科数学试题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，假设6个小球为A、B、C、D、E、F，要求C在B之前，B在A之前，且E在D之间被击中，先不考虑限制条件，计算将6个小球按被击中的顺序排成一排的情况，进而计算ABC、DE之间的顺序，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，如图：假设6个小球为A、B、C、D、E、F，要求C在B之前，B在A之前，且E在D之前被击中，‎ 若不考虑限制条件，将6个小球按被击中的顺序排成一排，有A66＝720种情况，‎ ABC之间的顺序有A33种，DE之间的顺序有A22种，‎ 其中C在B之前，B在A之前，且E在D之间，则把这6个球全部击中射击方法数是60种；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的应用，解题的关键在于将原问题转化为有固定顺序的排列问题．‎ ‎3．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【来源】2020届湘赣皖长郡十五校高三联考第二次考试数学（理)试题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以确定所有可能事件的数量为，然后确定满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为，最后根据“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为，‎ 满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为，‎ 因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查超几何分布的相关概率计算，考查对立事件的灵活应用，考查推理能力，体现了基础性和综合性，是简单题.‎ ‎4．从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有（ ）‎ A．17个 B．18个 C．19个 D．20个 ‎【来源】湖北省松滋市第一中学人教版高中数学选修2-3练案：‎2.1.1　‎离散型随机变量 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎2支竹签上的数字是1~10中的两个，若其中一个为1，另一个可取2~10，相应X可取得3~11，同理一个为2，另一个可取3~10，相应X可取得5~12，以此类推，可看到X可取得3~19间的所有整数，共17个.‎ ‎5．2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【来源】2020届山东省枣庄市高三模拟考试（二调)数学试题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法写出所有基本事件即可得概率．‎ ‎【详解】‎ 不超过16的素数有2,3，5,7，11,13共6个，任取2个的基本事件有：‎ ‎，共15个，其中可组成孪生素数的有共3个，∴所求概率为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型，解题关键是写出所有的基本事件．‎ ‎6．已知等差数列的第6项是二项式展开式的常数项，则=（ ）‎ A．160 B．－‎160 ‎C．320 D．－320‎ ‎【来源】齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟考试理科数学试题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 二项式展开式的常数项是由个和个相乘得到的，所以常数项为 所以，由等差数列的性质可得，故选D.‎ ‎7．年月日，某地援鄂医护人员，，，，，，人（其中是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻，而不相邻的排法种数为（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【来源】2020届河北省邯郸市高三第二次模拟数学（理)试题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分步进行分析：①领导和队长站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，②中间人分种情况讨论：若相邻且与相邻，若相邻且不与相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 让这名医护人员和接见他们的一位领导共人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且相邻 分2步进行分析：‎ ‎①领导和队长站在两端，有种情况，‎ ‎②中间人分种情况讨论：‎ 若相邻且与相邻，有种安排方法，‎ 若相邻且不与相邻，有种安排方法，‎ 则中间人有种安排方法，‎ 则有种不同的安排方法；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了带有限制的排列问题，解题关键是掌握分步计数原理和特殊元素优先排列，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎8．若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【来源】2020届浙江省温州市高三下学期4月二模数学试题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分，根据对称性得到答案.‎ ‎【详解】‎ 展开式的通项为：，故，‎ ‎，‎ 根据对称性知：.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.析】‎ 计算 ‎9．如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）‎ ‎ ‎ A．36 B．‎48 ‎C．72 D．108‎ ‎【来源】山东省菏泽市东明县第一中学2018-2019学年高二下学期期中数学试题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对面与面同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 当面与面同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有2种方法，即种 当面与面不同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有1种方法，即种 即不同的染色方法总数为种 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了计数原理的应用，属于中档题.‎ ‎10．展开并合同类项后的项数是（ ）‎ A．11 B．‎66 C．76 D．134‎ ‎【来源】2016届河南省洛阳市高三考前综合练习五理科数学试卷（带解析)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：展开后有11项，再将展开后有，故共有项，选B.‎ 考点：二项展开式定理 二、多选题 ‎11．如果是一个随机变量，则下列命题中的真命题有( )‎ A．取每一个可能值的概率都是非负数 B．取所有可能值的概率之和是1‎ C．的取值与自然数一一对应 D．的取值是实数 ‎【来源】江苏省无锡市天一中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机变量及其分布列性质即可判断.‎ ‎【详解】‎ 根据概率性质可得取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；‎ 取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；‎ 的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确.‎ 故选：ABD ‎【点睛】‎ 此题考查随机变量概念辨析，需要数量掌握随机变量及其分布列的性质，根据性质辨析得解.‎ ‎12．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）.‎ A． B． C． D．18‎ ‎【来源】2020届山东省日照第一中学高三上学期期中数学试题 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：‎ ‎（1）分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；‎ ‎（2）分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，‎ 有2种解法：‎ ‎（1）分2步进行分析：‎ ‎①先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；‎ ‎②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；‎ 则没有空盒的放法有种；‎ ‎（2）分2步进行分析：‎ ‎①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；‎ ‎②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；‎ 则没有空盒的放法有种；‎ 故选：BC．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．‎ 三、填空题 ‎13．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．‎ ‎【来源】【全国市级联考word】河南省洛阳市2017-2018学年高三年级第一次统考数学理试题 ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ 先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有．‎ ‎14．的展开式中，含项的系数为______.‎ ‎【来源】江西省稳派教育2020届高三下学期调研考试（三)数学（理科)试题 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出此展开式的通项，由确定r，再根据展开式中含的项及y的次数求得含项的系数.‎ ‎【详解】‎ 展开式的通项为，‎ 令，则展开式中含的项为，‎ 所以含项的系数为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求二项展开式中特定项的系数，属于中档题.‎ ‎15．在一次比赛中，某队的六名队员均获得奖牌，共获得4枚金牌2枚银牌，在颁奖晚会上，这六名队员与1名领队排成一排合影，若两名银牌获得者需站在领队的同侧，则不同的排法共有______种．（用数字作答）‎ ‎【来源】2020年浙江省新高考名校联考信息卷（六)‎ ‎【答案】3360‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用插空法，先将两名银牌获得者及领队排好顺序后，再将四名金牌获得者依次进行插空处理，进而求出结果.‎ ‎【详解】‎ 将四名金牌获得者分别记为，两名银牌获得者分别记为甲、乙，‎ 考虑两名银牌获得者甲、乙及领队的顺序，有种情况，‎ 三人排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个安排，有4种情况，‎ 四人排好后，有5个空位，在5个空位中任选个安排，有5种情况，‎ 五人排好后，有6个空位，在6个空位中任选1个安排，有6种情况，‎ 六人排好后，有7个空位，在7个空位中任选1个安排，有7种情况，‎ 则除甲、乙及领队外，剩余四人的排法有（种），‎ 故不同的排法共有（种）.‎ 故答案为：3360.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查排列数的应用以及排列数的计算问题，属于中档题.一些常见类型的排列组合问题的解法：‎ ‎（1）特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；‎ 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；‎ ‎（2）分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏；‎ ‎（3）间接法（排除法），从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法；‎ ‎（4）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列；‎ ‎（5）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空；‎ ‎（6）去序法或倍缩法；‎ ‎（7）插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有；‎ ‎（8）分组、分配法：有等分、不等分、部分等分之别.‎ ‎16．设n为正整数，展开式的二项式系数最大值为x，展开式的二项式系数的最大值为y，若，则n=__________.‎ ‎【来源】江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题 ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式系数的性质求出x和y，代入，计算即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知，，‎ ‎，，即 ‎，‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 考查二项式系数的性质及组合数的运算，基础题.‎ 四、解答题 ‎17．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券2张，每张可获价值50元的奖品；有二等奖券2张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：‎ ‎（1）该顾客中奖的概率；‎ ‎（2）该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列.‎ ‎【来源】山东省淄博市英才中学2019-2020学年度高二下学期期中考试数学试题 ‎【答案】（1）；（2）的分布列为 ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意先求出该顾客没有中奖的概率，再根据与对立事件的概率和为1，即可得到该顾客中奖的概率.（2）根据题意得的取值可能为0，10，20，50，60，100，根据古典概率公式分别求出其概率，进而求出X的概率分布列.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）该顾客获奖的概率为.‎ ‎（2）根据题意得，的取值可能为0，10，20，50，60，100‎ ‎,,,‎ ‎,,.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型事件的概率求解.‎ 古典概型的特点：‎ ‎①有限性（所有可能出现的基本事件只有有限个）；②等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）.‎ 基本事件的特点：‎ ‎①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.‎ ‎18．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ 设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为‎4”‎，求事件A发生的概率；‎ 设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列 ‎【来源】江苏省扬州市邗江中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为‎4”‎的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；‎ ‎（2）由题意知随机变量的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知有，‎ 所以事件的发生的概率为；‎ ‎（2）随机变量的所有可能的取值为0，1，2；‎ ‎；；‎ ‎；‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．‎