【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理余弦定理作业

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【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理余弦定理作业

‎【课时训练】第21节 正弦定理、余弦定理 一、选择题 ‎1.如图,测量员在水平线上点B处测量得塔AD塔顶仰角为30°,当他前进10 m到达点C处时,测得塔顶仰角为45°,则塔高为 (  )‎ A.15 m         B.10 m C.(5+5)m D.(5-5)m ‎【解析】选C.设塔高为x m,因为在点B处测量得塔AD塔顶仰角为30°,点C处测塔顶仰角为45°,所以BD= x,CD=x.因为BC=10,‎ 所以 x-x=10,所以x=5(+1).‎ ‎2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是 (  )‎ A.小时 B.小时 ‎ C.小时 D.小时 ‎【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,‎ 由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD ‎=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×=28x2-20x+100,‎ 所以当x=时两船相距最近.‎ ‎3.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,此时测得点A的仰角为45°.再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是 (  )‎ A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m ‎【解析】选B.设塔高为x米,根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°,‎ ‎∠ACB=45°,AB=x,从而有BC=x,‎ 在△BCD中,CD=10,∠BCD=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°,‎ 由正弦定理可得=,可以求得BC==10=x,所以塔AB的高为10 m.‎ ‎1.(2018山西晋中一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2+bc,A=,则角C=(  )‎ A.  B.  ‎ C.或 D.或 ‎【答案】B ‎【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos A=,即=,所以b2+c2-a2=bc.又b2=a2+bc,所以c2+bc=bc,即c=(-1)b<b,则a=b,所以cos C==,解得C=.故选B.‎ ‎2.(2018湖南娄底二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是(  )‎ A.a=c   B.b=c C.2a=c D.a2+b2=c2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由余弦定理,得cos A===,则A=30°.又b=a,由正弦定理得sin B=sin A=sin 30°=,所以B=60°或120°.‎ 当B=60°时,△ABC为直角三角形,且2a=c,可知C,D成立;当B=120°时,C=30°,所以A=C,即a=c,可知A成立.故选B.‎ ‎3.(2018太原模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=60°,b=1,S△ABC=,则c=(  )‎ A.1  B.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵S△ABC=bcsin A,∴=×1×c×,∴c=4.‎ ‎4.(2018武汉调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若<cos A,则△ABC为(  )‎ A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 ‎【答案】A ‎【解析】根据正弦定理得=<cos A,‎ 即sin C<sin Bcos A,∵A+B+C=π,‎ ‎∴sin C=sin(A+B)<sin Bcos A,整理得sin Acos B<0.又在三角形中sin A>0,‎ ‎∴cos B<0,∴<B<π.∴△ABC为钝角三角形.‎ ‎5.(2018广西来宾一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=3,c=2,则A=(  )‎ A.   B. ‎ C. D. ‎【答案】C ‎【解析】∵cos A===,且A∈,∴A=.故选C.‎ ‎6.(2018江苏泰州调研)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a2+b2-c2)tan C=ab,则角C的大小为(  )‎ A.或   B.或 C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由题意知,=⇒cos C=,∴sin C= ‎.又C∈(0,π),∴C=或.故选A.‎ ‎7.(2018南京模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2 sin B,则A=(  )‎ A.150°  B.120°‎ C.60° D.30°‎ ‎【答案】D ‎【解析】由a2-b2=bc,得sin2A-sin2B=sin B·sin C,‎ ‎∵sin C=2 sin B,∴sin A=sin B,∴c=2 b,a=b,‎ 由余弦定理得cosA==,∴A=30°.故选D.‎ ‎8.(2018安徽池州一模)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=(  )‎ A.   B. ‎ C. D. ‎【答案】C ‎【解析】∵b=c,∴B=C.‎ 又由A+B+C=π得B=-.由正弦定理及a2=2b2(1-sin A)得sin2A=2sin2B·(1-sin A),即sin2A=2sin2(1-sin A),即sin2A=2cos2(1-sin A),即4sin2cos2=2cos2(1-sin A),‎ 整理得cos2=0,即cos2(cos A-sin A)=0.‎ ‎∵0<A<π,∴0<<,∴cos≠0,‎ ‎∴cos A=sin A.又0<A<π,∴A=.‎ 二、填空题 ‎9.(2018江西九校联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC=________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为角A,B,C依次成等差数列,所以B=60°.由正弦定理,得=,解得sin A=.因为0°<A<180°,所以A=30°或150°(舍去),此时C=90°,所以S△ABC=ab=.‎ ‎10.(2018山西名校联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2+c2=2a2,则cos A的最小值为________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为b2+c2=2a2,则由余弦定理可得a2=2bccos A,所以cos A==×≥×=(当且仅当b=c时等号成立),即cos A的最小值为.‎ 三、解答题 ‎11.(2018河北衡水模拟)如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acos A=bcos C+ccos B.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,求AD的长.‎ ‎【解】(1)由题意及正弦定理得2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A. ‎ ‎∵sin A≠0,∴cos A=.∵A∈(0,π),∴A=.‎ ‎(2)在△ABC中,由余弦定理得,‎ BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,即16=4+AC2-2AC,‎ 解得AC=1+,或AC=1-(负值,舍去).‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,‎ ‎∴==,∴AD=AC=.‎ ‎12.(2019武汉武昌区调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2B+cos B=1-cos Acos C.‎ ‎(1)求证:a,b,c成等比数列;‎ ‎(2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.‎ ‎【解】(1)在△ABC中,cos B=-cos(A+C).‎ 由已知,得(1-sin2B)-cos(A+C)=1-cos Acos C,‎ ‎∴-sin2B-(cos Acos C-sin Asin C)=-cos Acos C,化简,得sin2B=sin Asin C.‎ 由正弦定理,得b2=ac,∴a,b,c成等比数列.‎ ‎(2)由(1)及题设条件,得ac=4.‎ 则cos B==≥=,‎ 当且仅当a=c时,等号成立.‎ ‎∵0<B<π,∴sin B=≤=.‎ ‎∴S△ABC=acsin B≤×4×=.‎ ‎∴△ABC的面积的最大值为.‎
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