2021年成都市七年级数学下册培优专题

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漫画释义 爸爸怎么样啦？ 知识互联网 全等中的基本模型全等中的基本模型 暑期班 第二讲 16 模块一 平移型全等 知识导航 把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变， 即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲 我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型 夯实基础 【引例】如图， A E F B、 、 、 四点在一条直线上， AC CE ，BD DF ， AE BF ， AC BD ． 求证：CF DE 【解析】∵ AC CE ， BD DF ∴ 90ACE BDF     在 Rt ACE△ 和 Rt BDF△ 中 AC BD AE BF    ∴  Rt Rt HLACE BDF△ ≌ △ ∴CE DF ， AEC BFD   ∴ CEF DFE   在 CEF△ 和 DFE△ 中 CE DF CEF DFE EF FE       ∴ CEF DFE△ ≌△ ∴CF DE 能力提升 【例 1】 如图1， A 、 B 、C 、 D 在同一直线上， AB CD ， DE AF∥ ，且 .DE AF 求证： AFC DEB△ ≌△ 如果将 BD 沿着 AC 边的方向平行移动，图 2 ，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右 侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成 立，请说明理由． 图1 F E D C B A 图2 F E D ( C ) B A 图3 F E D C B A 模块二 对称型全等 知识导航 常见轴对称模型 夯实基础 【例 2】 ⑴如图，△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，BD 和 CE 交于点 O，AO 的延长线交 BC 于 F，则图中全等直角三角 形的对数为（ ） A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对 ⑵如图， ABE△ 和 ADC△ 是 ABC△ 分别沿着 AB ， AC 翻折到 18 同一平面内形成的．若 1: 2: 3 15: 2:1    ，则 4  ________． 能力提升 【例 3】 如图， AB AC ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点， AM CD 于 M ， AN BE 于 N ． 求证： AM AN ． 模块三 旋转型全等 知识导航 常见旋转模型： 夯实基础 【引例】如图，在 ABC△ 中， : : 3:5:10A B ACB    ，若将 ACB△ 绕点 C 逆时针旋转，使旋转后的 A B C △ 中的顶点 B 在原三 角形的边 AC 的延长线上时，求 BCA 的度数． 【解析】∵ : : 3:5:10A B ACB    ∴ 10180 10018ACB     ∵由 ACB△ 绕点 C 旋转得到 A'B'C△ ∴ 100A'CB'   ∵ 180ACB A'CB' BCA'       ∴ 100 2 180 20BCA'       E D N M C B A 能力提升 【教师铺垫】如图，点 C 为线段 AB 上一点， ACM△ 、 CBN△ 是等边三 角形．请你证明： ⑴ AN BM ； ⑵ 60MFA   ； ⑶ DEC△ 为等边三角形； ⑷ DE AB∥ . 【例 4】 如图 1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M、N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE， △AMN 是等边三角形． ⑴当把△ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若 不成立请说明理由； ⑵当把△ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给 出证明；若不是，请说明理由． M D N E C B F A 20 【例 5】 如图 1，若四边形 ABCD、GFED 都是正方形，显然图中有 AG=CE，AG⊥CE． ⑴当正方形 GFED 绕 D 旋转到如图 2 的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证 明，若不成立，请说明理由； ⑵当正方形 GFED 绕 D 旋转到 B，D，G 在一条直线 （如图 3）上时，连结 CE，设 CE 分别交 AG、AD 于 P、H，求证：AG⊥CE． 模块四 辅助线添加初步 知识导航 辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有 极大价值的直线或者线段. 添辅助线的作用：凸显和集散 1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的 辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推 导出结论的目的. 2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换 和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而 推导出要求的结论. 3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形 中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化 繁为简、化难为易的目的. 4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元 素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分 发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的. 5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件 所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和 角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等. 能力提升 【例 6】 如图△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分 BC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F. ⑴说明 BE=CF 的理由； ⑵如果 AB= a ，AC=b ，求 AE、BE 的长. 22 【例 7】 如图 1，已知 ABC△ 中， 1AB BC  ， 90ABC  ∠ ，把一块含30 角的直角三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上(直角三角板的短直角边为 DE ，长直角边为 DF )，将 直角三角板 DEF 绕 D 点按逆时针方向旋转．直线 DE 交直线 AB 于 M ，直线 DF 交直 线 BC 于 N ． ⑴ 在图 1 中， ①证明 DM DN ； ②在这一旋转过程中，直角三角板 DEF 与 ABC△ 的重叠部分为四边形 DMBN ，请说 明四边形 DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生 变化，求出其面积； ⑵ 继续旋转至如图 2 的位置， DM DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不 成立，请说明理由； ⑶ 继续旋转至如图 3 的位置， DM DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明． N M 探索创新 【例 8】 如图所示： AF CD ， BC EF ， AB DE ， A D   ． 求证： BC EF∥ ． A B C D E F 24 思维拓展训练(选讲) 训练 1. 如图所示： AB AC ， AD AE ， CD 、 BE 相交于点 O . 求证： AO 平分 DAE . 训练 2. 如图，BD CE、 分别是 ABC△ 的边 AC 和 AB 边上的高，点 P 在 BD 的延长线上， BP AC ，点 Q 在 CE 上， CQ AB ． 求证：⑴ AP AQ ；⑵ AP AQ ． 训练 3. 在凸五边形中， B E   ， C D   ， BC DE ， M 为CD 中点．求证： AM CD ． 训练 4. 如图， AB AE ， ABC AED   ， BC ED ，点 F 是CD 的中点．求证： AF CD ． F E D C B A A B C D E O M E D C B A 实战演练 题型一 平移型全等 巩固练习 【练习 1】 ⑴ 如图⑴，若 AB CD ， A E F C、 、 、 在一条直线上， AE CF ，过 E F、 分别作 DE AC ， BF AC ．求证： BD 平分 EF ． ⑵ 若将 DEC△ 的边 EC 沿 AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论 是否成立？请说明理由． 题型二 对称型全等 巩固练习 【练习 2】 如图，已知 Rt△ABC ≌Rt△ADE， 90ABC ADE     ，BC 与 DE 相交于点 F，连 接 CD、EB． ⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举； ⑵求证：CF=EF． 题型三 旋转型全等 巩固练习 26 【练习 3】 如图，在 Rt ABC△ 中，AB AC AD BC ， ，垂足为 D ．E F、 分别是CD AD、 上的点，且CE AF ．如果 62AED   ，那 么 DBF  __________． 【练习 4】 如图，已知 ABD△ 和 AEC△ 都是等边三角形， AF CD 于 F ， AH BE 于 H ，请问： AF 和 AH 有何 关系？请说明理由． 题型四 辅助线添加初步 巩固练习 【练习 5】 如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在 一起．现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O (点O 也是 BD 中 点)按顺时针方向旋转． ⑴ 如图②，当 EF 与 AB 相交于点 M ， GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量 BM ， FN 的长度，猜想 BM ， FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； ⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相 交于点 M ，线段 BD 的延长线与G 的延长线相交于点 N ，此时，⑴中的猜想还成 立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． F E D C B A 第十五种品格：创新 创新会更好 汉斯是德国的一个农民，他爱动脑筋，所以常常花费比别人更少的力气有更大的收获. 一次，又到了土豆收获季节，村里的农民进入了最繁忙的工作期. 他们不仅要把土豆从地里收回来，而且还要把土豆按个头分成大、中、小三类.这样劳 动量实在太大了，每人都起早摸黑地干，希望能早点把土豆运到城里去卖. 汉斯一家与众不同，他们根本不做土豆分拣工作，而是直接把土豆装进麻袋就运走.但 是，在向城里运送土豆时，他们不走平坦的公路，而是偏走颠簸不平的山路. 数英里路下来，因为车子不断颠簸，小的土豆落到麻袋的最底部，而大的自然就留在了 上面.到了市场，汉斯再把大小土豆进行分类出售.由于节省了时间，汉斯的土豆在市场上上 市最早，卖出了比别人更理想的价位. 俗话说，时间就是金钱，你有没有想到利用一些自然的方法加快你前进的脚步呢？ 知道事物应该是什么样，说明你是聪明的人；知道事物实际是什么样，说明你是有经验的人； 知道怎样使事物变得更好，说明你是有才能的人. 今天我学到了