江苏省镇江一中大港南三等八校2020届高三上学期调研数学试题

江苏省镇江一中大港南三等八校2020届高三上学期调研数学试题

‎2020届江苏省镇江一中、大港、南三等八校高三年级调研 试题数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 ‎1.已知集合，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合的基本运算即可求解.‎ ‎【详解】因为，，所以 故答案为 ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，比较基础．‎ ‎2.是虚数单位，复数________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的化简：“分母实数化”即可求解 ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题．‎ ‎3.如图伪代码的输出结果为________.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序语句，找出判断语句：若满足，则执行下一步；否则输出S ‎【详解】读程序图可知 ‎【点睛】本题主要考查程序语句，解答本题的关键是读懂程序．‎ ‎4.为了解学生课外阅读的情况，随机统计了名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示，若在中的频数为100，则值为________.‎ ‎【答案】1000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由频率分布直方图求出中的频率，再由频率等于频数除以样本总数即可求出． ‎ ‎ ‎ ‎【详解】由频率分布直方图可知在之间的频率为，‎ 又因为，所以 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，掌握住频率分布直方图中频率=小矩形的面积，比较基础．‎ ‎5.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有 ‎（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为.‎ 点睛：此题主要考查有关计数原理、古典概型概率的计算等有关方面的知识和运算技能，属于中低档题型，也是高频考点.在计算古典概型中任意一随机事件发生的概率时，关键是要找出该试验的基本事件总数和导致事件发生的基本事件数，在不同情况下基本事件数的计算可能涉及排列、组合数的计算和使用分类计数、分步计数原理.‎ ‎6.已知是第三象限角，其终边上一点，且，则的值为________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的定义即可求解．‎ ‎【详解】因为 ，所以，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查三角函数定义，在求解中注意所在的象限．‎ ‎7.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角函数的图像的变换解答得解.‎ ‎【详解】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），‎ 得到，‎ 再将所得的函数图象向左平移个单位，‎ 得到.‎ 故答案.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎8.已知函数满足，则________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的特征，讨论值所在的区间，代入相应解析式即可求解．‎ ‎【详解】当时，， 且满足，即；‎ 当时，，，不满足，故（舍去）．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，注意求的值在所讨论的区间内，不满足的需舍去．‎ ‎9.已知实数，满足，则最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把方程利用基本不等式转化为含的不等式，解不等式即可．‎ ‎【详解】，，‎ 又，，‎ 当且仅当时，等号成立， 即，‎ ‎，所以，‎ 又因均为正实数，所以，所以，‎ 即的最大值为．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值，运用基本不等式时注意“一正、二定、三相等”．‎ ‎10.已知，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把式子中的角化为同角，利用同角三角函数的基本关系化为 ‎，再由二倍角公式化简即可．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 又因为，所以，‎ 因为，所以，即，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查三角函数化简，需灵活运用公式．‎ ‎11.直角中，点为斜边中点，，，，则________.‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立直角坐标系，写出点的坐标；由向量的坐标运算即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：以为坐标原点，，分别为，轴的正半轴，建立直角坐标系 ‎∵，∴，‎ ‎∵为中点∴‎ 令，则∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查求向量数量积，把平面几何问题转化代数运算，体现了数学中“数”与“形”结合的解题技巧．‎ ‎12.已知奇函数满足，若当时且 ‎，，则实数________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性和对称性求出函数的周期为4，利用周期求出，‎ 把代入求解即可．‎ ‎【详解】解：∵是奇函数∴∴‎ ‎∵∴‎ ‎∴∴‎ 即：‎ ‎∴的周期为4‎ ‎∴‎ ‎∵为奇函数∴∴‎ ‎∵‎ ‎∴∴‎ ‎∵∴‎ ‎∵当时，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴∴∴.‎ ‎【点睛】本题考查用函数的周期性求值，难度适中．‎ ‎13.已知，函数，（为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线和均相切，则最大值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用导数求曲线的切线方程，因为切线相同，可求出的表达式，然后利用导数研究的表达式的单调性，再求最值即可．‎ ‎【详解】解：设上的切点 ‎∴，则 ‎∴切线：‎ 即：‎ 设上的切点 ‎∴，则 ‎∴切线：‎ 即：‎ ‎∵相同的切线 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 令 显然，是的根 记，则 ‎∵，∴‎ ‎∴，∴单调递减 即：单调递减 ‎∴是方程的唯一根 ‎∴当时，，则单调递增 当时，，则单调递减 ‎∴当时，‎ 即：的最大值是.‎ ‎【点睛】本题考查导数在求函数最值的应用，同时也要求较高的计算能力，难度一般．‎ ‎14.若关于的方程有且仅有3个不同实数解，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把方程根的个数转化为函数交点个数，利用数形结合的思想即可求的取值范围．‎ ‎【详解】解：∵‎ ‎∴‎ 令，∴------（*）‎ 令 ‎∴‎ ‎①当时，‎ ‎∴当时，，单调递增 当时，，单调递减 ‎②当时，‎ ‎∴，则单调递增 画出的图像如下 由原方程有3个不同实根，知 ‎（*）方程一根在之间，另一根在之间 或（*）方程在上有两个相等的实根 或（*）方程一根为，另一个根为0‎ 或（*）方程一根为，另一根大于 令 由得：‎ 由得：且此时满足（*）方程在上 由得： 此时无解 由得： 此时无解 故、均不成立．‎ 综上：.‎ ‎【点睛】本题考查数形结合思想在解题中的应用，难度一般．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ‎15.已知集合，‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在函数有意义的条件下，解一元二次不等式、绝对值不等式即可．‎ ‎（2）从集合的角度理解充分不必要条件，再由集合的包含关系求解即可．‎ ‎【详解】解：（1）∵‎ ‎∴，则 ‎∴，∴.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴由可得：或 ‎∴或 ‎∴或 ‎∵：，：，‎ 且是的充分不必要条件 ‎∴或 ‎∴或 ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的解法以及充分条件与必要条件，属于基础题．‎ ‎16.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，且，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由线面平行的判定定理即可证明．‎ ‎（2）由线面垂直的判断定理即可证明．‎ 详解】‎ 证明：（1）取中点，连接，‎ ‎∵在中，点，分别是，中点 ‎∴，且 ‎∵，‎ ‎∴且 ‎∴四边形为平行四边形 ‎∴‎ ‎∵平面，平面 ‎∴平面.‎ ‎（2）∵底面，平面 ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 又∴，平面，‎ 平面 ‎∴平面 ‎∵平面 ‎∴‎ ‎∵在中，，为的中点 ‎∴‎ ‎∵，平面，‎ 平面 ‎∴平面.‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何中线面平行、线面垂直的证明；‎ ‎（1）要证线面平行，需先证线线平行．‎ ‎（2）要证线面垂直，先证线线垂直，同时注意是平面两条相交直线．‎ ‎17.在中，角、、的对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）设向量，，且，，求的值 ‎【答案】（1）3（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量的数量积与三角形的面积公式即可求解．‎ ‎（2）由共线向量的坐标运算及正弦定理即可求解．‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵在中，且 ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ 且 ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵在中，‎ ‎∴，则 ‎∵在中，‎ ‎∴‎ 又∵且由正弦定理 ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查向量的运算及解三角形，属于基础题．‎ ‎18.梯形顶点在以为直径的圆上，米.‎ ‎（1）如图1，若电热丝由这三部分组成，在上每米可辐射1单位热量，在上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；‎ ‎（2）如图2，若电热丝由弧和弦这三部分组成，在弧上每米可辐射1单位热量，在弦上每米可辐射2单位热量，请设计的长度，使得电热丝辐射的总热量最大.‎ ‎【答案】（1）9单位；（2）米.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取角为自变量,设∠AOB＝θ，分别表示AB，BC,根据题意得函数8cosθ+8 sin,利用二倍角余弦公式得关于sin二次函数 ,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求最值（2）取角为自变量,设∠AOB＝θ，利用弧长公式表示,得函数4θ＋8cosθ,利用导数求函数单调性,并确定最值 ‎【详解】设，则，，‎ 总热量单位 当时，取最大值，‎ 此时米，总热量最大9（单位）.‎ 答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.‎ ‎（2）总热量单位，，‎ 令，即，，‎ 当时，，为增函数，当时，，为减函数，‎ 当时，，此时米.‎ 答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的实际应用，同时考查利用二次函数和导数求函数的最值问题.‎ ‎19.设常数，函数 ‎（1）当时，判断在上单调性，并加以证明；‎ ‎（2）当时，研究的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（3）当时，若存在区间使得在上的值域为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上是单调递增.证明见解析（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数的单调性定义即可证明．‎ ‎（2）由函数的奇偶性定义即可证明．‎ ‎（3）首先证明函数的单调性，当时证明函数在上单调递增，即，解关于一元二次方程即可；‎ 同理当时，求出单调区间，当函数是单调递减时，则代入化简即可求解．‎ ‎【详解】解：（1）当时，‎ 任取 则 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 即：‎ ‎∴在上是单调递增.‎ ‎（2）①当时，‎ ‎∵‎ ‎∴为偶函数 ‎②当时，‎ ‎，则 当且时，的定义域为 定义域不关于原点对称 ‎∴为非奇非偶函数 当时，，的定义域为 定义域关于原点对称 ‎∴为奇函数.‎ ‎（3）①当时，定义域为 ‎∵单调递增，∴单调递减 ‎∴在上单调递增 由题意得：‎ ‎∴‎ ‎∴，是一元二次方程：‎ 的两个不等的正根 ‎∴‎ ‎②当时，定义域为 ‎∵当时，的值域为 ‎∴，‎ 当时，‎ ‎∵单调递增，∴单调递减 ‎∴在上单调递减 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 综上所述：的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性证明、奇偶性证明及利用单调性求值，属于基础题．‎ ‎20.设函数（，）.‎ ‎（1）当时，在上是单调递增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，讨论函数的单调区间；‎ ‎（3）对于任意给定的正实数，证明：存在实数，使得 ‎【答案】（1）（2）答案不唯一，见解析 （3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用即可求解．‎ ‎（2）根据可把解析式化为，然后对函数求导，由于导函数中含有参数，故讨论参数的取值范围，即可求出单调区间．‎ ‎（3）根据题干只需证明存在，故不妨先证时，，限制，利用不等式中的放缩法即可证出．‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ ‎∴‎ ‎∵在上单调递增 ‎∴在上恒成立 ‎∴恒成立，则 ‎∴.‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎①当时，令，得 的单调递增区间为 的单调递减区间为 ‎②当时，令，得 的单调递增区间为 的单调递减区间为 ‎③当时，令，‎ 得，‎ 当，即时，，∴在上单调递增 当，即时，‎ 的单调递增区间为和；的单调递减区间为 当，即时，的单调递增区间为和；的单调递减区间为.‎ ‎（3）易证：时，‎ 限制 ‎∴‎ ‎∴‎ 此时 令 取，则 故得证.‎ ‎【点睛】本题考查单调性求参数、求单调区间及不等式的证明，综合性比较强．‎ 数学Ⅱ试题 ‎【选做题】本题包括A，B，C三小题，每小题10分，请选定其中两题（并将所选题代号填在括号内），并在相应的答题区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎21.已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.‎ ‎【答案】（1）2（2）特征值为－1与3. 特征向量；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数的值 ‎（2）先求矩阵的特征多项式．令，从而可得矩阵的特征值，进而可求特征向量．‎ ‎【详解】解：（1）由，∴.‎ ‎（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为 ‎，‎ 令，得矩阵的特征值为－1与3.‎ 当时，，‎ ‎∴矩阵的属于特征值－1的一个特征向量为；‎ 当时，，‎ ‎∴矩阵的属于特征值3的一个特征向量为.‎ ‎【点睛】本题主要考查考查矩阵的特征值及其对应的特征向量．关键是写出特征多项式，从而求得特征值．‎ ‎22.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：直线方程化为普通方程为，圆 化为普通方程为，所以直线与圆相切.‎ 试题解析：‎ 把直线方程化为普通方程为． ‎ 将圆 化为普通方程为，‎ 即． ‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以直线与圆相切.‎ 点睛：本题考查参数方程与极坐标方程的普通方程求解．一般的，我们可以将参数方程和极坐标方程都转化为普通标准方程，因为普通方程才是我们熟悉的方程形式，然后利用普通方程解题即可．‎ ‎23.已知、、是正实数，求证：‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造完全平方式，由完全平方式均是非负数，利用不等式相加即可证明．‎ ‎【详解】解：∵‎ 即 即 ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查不等式证明，属于不等式中的常见题型．‎ ‎【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24.‎ 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求乙投球的命中率；‎ ‎（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的数学期望 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．‎ 试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.‎ 由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.‎ ‎（II）由题设知（I）知，，，，‎ 可能取值为 故，‎ ‎，‎ 的分布列为 ‎ ‎ 考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.‎ ‎25.设是给定正整数，有序数组同时满足下列条件：‎ ‎①,； ②对任意的,都有．‎ ‎（1）记为满足“对任意的，都有”的有序数组的个数，求；‎ ‎（2）记为满足“存在，使得”的有序数组的个数，求．‎ ‎【答案】(1)因为对任意的，都有，‎ 所以，；‎ ‎(2)因为存在，使得，所以或，‎ 设所有这样的为，‎ 不妨设，则（否则）；‎ 同理，若，则，‎ 这说明的值由的值（2或2）确定，‎ 其余的对相邻的数每对的和均为0,∴‎ ‎．‎ ‎【解析】‎ 略 ‎ ‎