衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题十 直线与圆、圆与圆，相互依存故事多

衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题十 直线与圆、圆与圆，相互依存故事多

专题十 直线与圆 圆与圆 ‎【方法综述】‎ 直线与圆、圆与圆的位置关系问题，是考试命题的热点.高考要求，一是能熟练地解决圆的切线问题、弦长问题等，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．二是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.下面围绕圆的切线问题、弦长问题举例说明.‎ ‎1.圆的切线问题 例1.已知点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2上一点，l是过点M的圆的切线，求直线l的方程．‎ 解：设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则OM⊥MP.‎ ‎∴kOM·kMP＝－1，即·＝－1.‎ 整理，得x0x＋y0y＝x＋y.‎ ‎∵x＋y＝r2，‎ ‎∴切线l的方程为x0x＋y0y＝r2.‎ 当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用．‎ 结论1　过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.‎ 例2.求过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线l的方程．‎ 解：设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则CM⊥MP.‎ ‎∴kCM·kMP＝－1，‎ 即·＝－1.‎ 整理，得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)2＋(y0－b)2.‎ ‎∵(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，‎ ‎∴切线l的方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.‎ 当点M在直线x＝a和y＝b上时，可以验证上述方程同样适用．‎ 结论2　过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.‎ 例3.求过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点M(x0，y0)的切线l的方程．‎ 解：把圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0化为标准方程，‎ 得2＋2＝(D2＋E2－4F)．‎ 由结论2可知切线l的方程为(x＋)＋(y＋)＝(D2＋E2－4F)．‎ 整理，得x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.‎ ‎∴切线l的方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.‎ 结论3　过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点M(x0，y0)的切线l的方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.‎ ‎2.圆的弦长问题 ‎（1）若直线与圆相交的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝.‎ ‎（2）若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|＝2.‎ ‎（3）若直线l的斜率为k，与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|x1－x2|＝.‎ 例4.求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长．‎ 解:设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线的方程为y＝x.‎ 解方程组得 或 ‎∴|AB|＝ ‎＝ ‎＝2.‎ 点评：解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解．这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法．‎ 例5.求直线x＋2y＝0被圆x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长|AB|.‎ 解：把圆x2＋y2－6x－2y－15＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25，所以其圆心为(3,1)，半径r＝5.‎ 因为圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离 d＝＝，‎ 所以弦长|AB|＝2＝4.‎ 例6.求直线2x－y－2＝0被圆(x－3)2＋y2＝9所截得的弦长|AB|.‎ 解：设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，整理得 ‎5x2－14x＋4＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴|AB|＝ ‎＝＝.‎ 点评：通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y(或x)转化为关于x(或y)的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解．‎ ‎3.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系主要有五种，即相离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数．‎ 例7.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．‎ 分析：求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求．‎ 解：两圆方程作差，得x＋3y＝0.‎ 答案　x＋3y＝0‎ 点评：求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可．‎ 例8.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是________________________________________________________________________．‎ 分析：关于两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题．‎ 解：由平面几何知识，知AB的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，－3)与(3,0)两点的直线的方程．可求得直线的方程为3x－y－9＝0.‎ 答案　3x－y－9＝0‎ 点评：圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程，通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系．‎ 例9.已知圆A：(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆B：(x－2)2＋(y－2)2＝9，则圆A和圆B的公切线有________条．‎ 分析：判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数．‎ 解：因为圆心距|AB|＝＝，‎ R＝3，r＝2，且R＋r＝3＋2＝5，R－r＝3－2＝1，‎ 所以有R－r<|AB|

查看更多