江苏省淮安市淮阴区2020届高三下学期期初模拟训练(一)数学试题 Word版含解析

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江苏省淮安市淮阴区2020届高三下学期期初模拟训练(一)数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 淮阴区2020届高三第二学期期初模拟训练一 数学 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卡相应的位置上)‎ ‎1.设集合,,则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解出集合的范围,再由交集的计算求解即可.‎ ‎【详解】由题意,因为,所以集合,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查交集的运算,属于简单题.‎ ‎2.已知复数,其中i是虚数单位,则的值是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.‎ ‎【详解】复数z=(1+i)(1+3i)=1﹣3+4i=﹣2+4i,‎ ‎∴|z|==.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎3.函数的定义域为________.‎ ‎【答案】(-2,2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 根据对数真数大于零,解一元二次不等式求得函数的定义域.‎ ‎【详解】由于对数的真数要大于零,故,解得,即函数的定义域为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.考查函数的定义域往往通过以下几个方面来考虑:一个是对数的真数大于零,一个是分母不能为零,一个是偶次方根被开方数要为非负数,一个是零次方的底数不能为零.定义域要写成集合或者区间的形式.‎ ‎4.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速,所得数据均在区间中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的200辆汽车中,时速在区间内的汽车有______辆 ‎【答案】80‎ ‎【解析】‎ 试题分析:时速在区间内的汽车有 考点:频率分布直方图 ‎5.如图所示的算法流程图中,最后输出值为______.‎ - 25 -‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ 分析:由流程图可知,该算法为先判断后计算的当型循环,模拟执行程序,即可得到答案.‎ 详解:程序执行如下 ‎1‎ ‎5‎ 输出 ‎ 故不成立时,‎ 故答案为25.‎ 点睛:本题考查了循环结构的程序框图,正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键 - 25 -‎ ‎6.从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)作为代表,则这2名代表都是女同学的概率为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数,利用古典概型概率公式计算可得答案.‎ ‎【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有=10种选法;‎ 其中选出的2名都是女同学的有=3种选法,‎ ‎∴2名都是女同学的概率为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率计算,解题的关键是求得符合条件的基本事件个数.‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则实数p的值为_____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标,因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,所以抛物线的焦点坐标可知,再根据抛物线中焦点坐标为(,0),即可求出p值.‎ ‎【详解】∵ 中a2=4,b2=3,∴c2=1,c=1‎ ‎∴右焦点坐标为(1,0)‎ ‎∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,‎ - 25 -‎ 根据抛物线中焦点坐标为(,0),‎ ‎∴,则p=2.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法,属于圆锥曲线的基础题.‎ ‎8.在正四棱锥中,点是底面中心,,侧棱,则该棱锥的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2,利用正方形的性质得出底面边长为4,再由锥体的体积公式加以计算,即可得到该棱锥的体积.‎ ‎【详解】∵在正四棱锥S﹣ABCD中,侧棱SA=2,高SO=2,‎ ‎∴底面中心到顶点的距离AO==2‎ 因此,底面正方形的边长AB=AO=4,底面积S=AB2=16‎ 该棱锥的体积为V=SABCD•SO=×16×2=.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长,求它的体积.着重考查了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识,属于基础题.‎ ‎9.等比数列的各项均为正数,其前n项和为,已知,,则=_______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本元的思想,将两个已知条件转化为的形式,解方程组求得的值,进而求得的值.‎ - 25 -‎ ‎【详解】由于数列为等比数列,故,解得,故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量,利用等比数列的通项公式和前项和公式,列出方程组,即可求得数列的通项公式.解题过程中主要利用除法进行消元,要注意解题题意公比为正数这一条件.‎ ‎10.函数且的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:由题意可知,令x+3=1,则y=-1,即x=-2,y=-1,所以A(-2,-1),可得2m+n=1,‎ 所以,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为 考点:本题考查基本不等式求最值 点评:解决本题的关键是求出A点坐标,注意利用基本不等式的条件 ‎11.在平面直角坐标系xOy中,若曲线(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线垂直,则2a+3b的值是_______.‎ ‎【答案】﹣8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ 由曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直,可得y|x=2=﹣5,且y′|x=2=﹣,解方程可得答案.‎ ‎【详解】∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=,‎ ‎∴切线的斜率为﹣,‎ 曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直,‎ ‎∴y′=2ax﹣,‎ ‎∴,‎ 解得:a=﹣1,b=﹣2,‎ 故2a+3b =﹣8,‎ 故答案为﹣8‎ ‎【点睛】本题考查知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,其中根据已知得到y|x=2=﹣5,且y′|x=2=﹣,是解答的关键.‎ ‎12.已知,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,再代入求解..‎ ‎【详解】∵已知 所以,‎ - 25 -‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变换,还考查了运算求解的能力,属于基础题.‎ ‎13.如图,在平面四边形中,,,,.若点为边上的动点,则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示,以为原点,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,求出, ,的坐标,根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出.‎ ‎【详解】如图所示:‎ 以为原点,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,‎ 过点作轴,过点作轴,‎ ‎∵,,,,‎ ‎∴,,,,‎ 设,则,,‎ - 25 -‎ 故,故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了向量在几何中的应用,考查了运算能力和数形结合的能力,属于中档题.‎ ‎14.已知函数,且在上的最大值为,若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 若,则在上递增, 有最小值,不合题意, ,要使在的最大值为,如果,即,则,得矛盾,不合题意;如果,则, , ,若有四个零点,则与有四个交点,只有开口向上,即,当与有一个交点时,方程有一个根, 得,此时函数有三个不同的零点,要使函数 - 25 -‎ 有四个不同的零点, 与有两个交点,则抛物线的开口要比的开口大,可得, ,即实数的取值范围为,故答案为.‎ 二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.如图,在四面体中,,点E是的中点,点F在线段上,且.‎ ‎(1)若平面,求实数的值;‎ ‎(2)求证:平面平面.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由线面平行的性质得出,可以判断点F为的中点,从而求出的值;‎ ‎(2)由,点E是的中点,得到,,由面面垂直的判断定理即可证明平面平面.‎ ‎【详解】(1)因为平面,得平面,‎ 平面平面,‎ 所以,‎ 又点E是的中点,点F在线段上,‎ 所以点F为的中点,‎ 由,得;‎ - 25 -‎ ‎(2)因为,点E是的中点,‎ 所以,,‎ 又,平面,平面,‎ 所以平面,‎ 又平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明,考查学生空间想象能力,属于基础题.‎ ‎16.已知为坐标原点,,,,若.‎ ‎⑴ 求函数的最小正周期和单调递增区间;‎ ‎⑵ 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求函数在上的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意得到,进而可得函数周期和单调增区间;(2)根据图象变换得到,根据的范围得到的取值范围,然后可得的最小值.‎ ‎【详解】(1)由题意,,‎ 所以, ‎ - 25 -‎ 所以函数的最小正周期为, ‎ 由,‎ 得,‎ 所以的单调递增区间为. ‎ ‎(2)由(1)得,‎ 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),得到的图象对应的函数为;再将得到的图象向左平移个单位,得到的图象对应的函数为 ‎,‎ ‎∴, ‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴当,即时,有最小值,且,‎ ‎∴函数在上的最小值为2.‎ ‎【点睛】(1)解决三角函数的有关问题时,一般将所给的函数化为的形式,然后将作为一个整体,并结合正弦函数的相关性质进行求解.‎ ‎(2)求函数在给定区间上的最值或范围时,先由所给的范围得到的范围,然后结合函数的图象求解.‎ ‎17.如图,在平面直角坐标系中,过椭圆:的左顶点作直线,与椭圆 - 25 -‎ 和轴正半轴分别交于点,.‎ ‎(1)若,求直线的斜率;‎ ‎(2)过原点作直线的平行线,与椭圆交于点,求证:为定值.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)设直线,代入椭圆方程得由,有,可得出直线的斜率;‎ ‎(2)设直线l斜率为k,联立方程组分别求出AP,AQ,MN,代入计算化简即可得出结论.‎ 试题解析:(1)依题意,椭圆的左顶点,‎ ‎ ‎ 设直线的斜率为 ,点的横坐标为,‎ ‎ 则直线的方程为.① ‎ 又椭圆:, ②‎ 由①②得,,‎ - 25 -‎ ‎ 则,从而. ‎ 因为,所以.‎ 所以,解得(负值已舍). ‎ ‎(2)设点的横坐标为.结合(1)知,直线的方程为.③‎ 由②③得,. ‎ 从而 ,即证.‎ ‎18.如图,某森林公园有一直角梯形区域ABCD,其四条边均为道路,AD∥BC,∠ADC=90°,AB=5千米,BC=8千米,CD=3千米.现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往D地,甲的路线是AD,速度为6千米/小时,乙的路线是ABCD,速度为v千米/小时.‎ ‎(1)若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟,求乙的速度v的取值范围;‎ ‎(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米.若乙先到达D,且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话,求乙的速度v的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由路程、速度、时间关系可得关系式:,解简单含绝对值不等式即可,注意单位统一(2)首先乙先到达D地,故<2,即v>8.然后乙从A到D的过程中与甲最大距离不超过5千米:分三段讨论①当0<vt≤5,由余弦定理得甲乙距离(6t)2+(vt)2-2×6t×vt×cos∠DAB≤25,②当5<vt≤13,构造直角三角形得甲乙距离(vt-1-6t)2+9≤25,②当5<vt≤13,由直角三角形得甲乙距离(12-6t)2+(16-vt)2‎ - 25 -‎ ‎≤25,三种情况的交集得8<v≤.‎ 试题解析:解:(1)由题意,可得AD=12千米. ‎ 由题可知 解得.‎ ‎(2)经过t小时,甲、乙之间的距离的平方为f(t).‎ 由于乙先到达D地,故<2,即v>8.‎ ‎①当0<vt≤5,即0<t≤时,‎ f(t)=(6t)2+(vt)2-2×6t×vt×cos∠DAB=(v2-v+36) t2.‎ 因为v2-v+36>0,所以当t=时,f(t)取最大值,‎ 所以(v2-v+36)×()2≤25,解得v≥.‎ ‎②当5<vt≤13,即<t≤时,‎ f(t)=(vt-1-6t)2+9=(v-6)2(t-)2+9.‎ 因为v>8,所以<,(v-6)2>0,所以当t=时,f(t)取最大值,‎ 所以(v-6)2(-)2+9≤25,解得≤v≤.‎ ‎③当13≤vt≤16,≤t≤时,‎ f(t)=(12-6t)2+(16-vt)2,‎ 因为12-6t>0,16-vt>0,所以当f(t)在(,)递减,所以当t=时,f(t)取最大值,‎ ‎(12-6×)2+(16-v×)2≤25,解得≤v≤.‎ 因为v>8,所以 8<v≤.‎ 考点:实际应用题,分段函数求函数最值 ‎19.设函数,其中,.‎ ‎(1)若,求的极值;‎ - 25 -‎ ‎(2)若曲线与直线有三个互异的公共点,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)极大值为,极小值为;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把代入后求导,判断的单调性,进而可以求得极值;‎ ‎(2)将公共点转化为零点问题,构造函数,求导判断的单调性,结合零点定理即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】(1)当时,,‎ ‎,‎ 令,解得,或;‎ 当变化时,,的变化情况如下表;‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 ‎∴的极大值为,‎ 极小值为;‎ ‎(2)由题意,曲线与直线有三个互异的公共点,‎ 可转化为 - 25 -‎ 令,可得;‎ 设函数,‎ 即函数有三个不同的零点;‎ ‎,‎ 当时,恒成立,此时在上单调递增,不合题意 当时,令,解得,;‎ ‎,解得,或,‎ ‎,解得,‎ ‎∴在和上单调递增,在上单调递减,‎ ‎∴的极大值为;‎ 极小值为 若,由的单调性可知,函数至多有两个零点,不合题意;‎ 若,即,解得 此时,,‎ ‎,‎ 从而由零点定理知,‎ 在区间,,内各有一个零点,符合题意;‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值,构造函数和零点定理的应用,考查学生的转化和计算能力,属于中档题.‎ ‎20.设数列的前项和为.已知,设 - 25 -‎ ‎.‎ ‎⑴ 求证:当时,为常数;‎ ‎⑵ 求数列的通项公式;‎ ‎⑶ 设数列是正项等比数列,满足:,,求数列的前n项的和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2);(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意求出,然后通过作差可得,故结论成立;(2)根据(1)中的结论,即是常数列且,可得;(3)由题意得,所以,故利用错位相减法求和.‎ ‎【详解】(1)证明:由题意知,当n=1时,,‎ ‎∴; ‎ 当时,, ‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴, ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ - 25 -‎ ‎,‎ ‎∴当时,为常数0. ‎ ‎(2)由(1)得,是常数列.‎ ‎∵,‎ ‎∴, ‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ ‎(3)由(2)知,‎ ‎∵数列是正项等比数列,‎ ‎∴公比为2,‎ ‎∴.‎ ‎∴……③,‎ ‎∴……④,‎ ‎③④得:, ‎ 设……⑤,‎ ‎∴……⑥,‎ ‎⑤⑥得:, ‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】用错位相减法求和的注意事项 ‎(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;‎ ‎(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;‎ ‎(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ 数学(附加卷)‎ 注:本卷共三大题共4小题,共计40分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.‎ 两小题,每题10分,共计20分. ‎ ‎[选修4—2:矩阵与变换] ‎ ‎21.已知矩阵,其中,若点在矩阵的变换下得到的点 ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)求矩阵的逆矩阵.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据点P在矩阵A的变化下得到的点,写出题目的关系式,列出关于a,b的等式,解方程即可,‎ ‎(2)计算,从而得到矩阵的逆矩阵.‎ ‎【详解】(1)因 , ‎ 所以,所以 . ‎ - 25 -‎ ‎(2), ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题考查二阶矩阵与逆矩阵,属于基础题.‎ ‎[选修4—4:坐标系与参数方程] ‎ ‎22.在直角坐标系中,已知直线的参数方程是(t是参数),若以为极点,轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.求直线l被曲线C截得的弦长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 消去参数即可求直线l的普通方程,利用极坐标与直角坐标的互化求解曲线C的直角坐标方程,利用直线与圆的位置关系,通过点到直线的距离以及圆的半径以及半弦长的关系求解|AB|.‎ ‎【详解】消去参数,得直线的普通方程为, ‎ 即,两边同乘以得, ‎ 所以, ‎ 圆心到直线的距离, ‎ 所以弦长为.‎ ‎【点睛】本题考查直线的参数方程以及圆的极坐标方程的应用,考查直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力.‎ ‎23.将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习. ‎ ‎(1)求4名大学生恰好在四个不同公司的概率;‎ - 25 -‎ ‎(2)随机变量X表示分到B公司的学生的人数,求X的分布列和数学期望E(X).‎ ‎【答案】(1);(2)分布列见解析,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将4人安排四个公司中,共有44=256种不同放法,记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A,则事件A包含=24个基本事件,由此能求出4名大学生恰好在四个不同公司的概率;‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和E(X).‎ ‎【详解】(1)将4人安排四个公司中,共有44=256种不同放法.‎ 记“4个人恰好在四个不同公司”为事件A,‎ 事件A共包含个基本事件,‎ 所以,‎ 所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率. ‎ ‎(2)方法1:X的可能取值为0,1,2,3,4,‎ ‎,,,‎ ‎,. ‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以X的数学期望为:.‎ 方法2:每个同学分到B公司的概率为,. ‎ - 25 -‎ 根据题意~,所以,4,‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以X的数学期望为.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.‎ ‎24.设且,集合的所有个元素的子集记为.‎ ‎(1)当时,求集合中所有元素之和;‎ ‎(2)记为中最小元素与最大元素之和,求的值.‎ ‎【答案】(1)30;(2)2019.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当n=4时,因为含元素的子集有个,同理含的子集也各有个,从而得到结果;‎ ‎(2)分类讨论明确最小元素的子集与最大元素的子集个数,从而得到,进而得到结果.‎ ‎【详解】(1)因为含元素的子集有个,同理含的子集也各有个,‎ 于是所求元素之和为; ‎ ‎(2)集合的所有个元素的子集中:‎ 以为最小元素的子集有个,以为最大元素的子集有个;‎ - 25 -‎ 以为最小元素的子集有个,以为最大元素的子集有个;‎ ‎ ‎ 以为最小元素的子集有个,以为最大元素的子集有个. ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了子集的概念,组合的概念及性质,分类讨论的思想方法,考查推理、计算能力.两题中得出含有相关数字出现的次数是关键.‎ - 25 -‎ - 25 -‎
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