2017-2018学年宁夏吴忠中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年宁夏吴忠中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年宁夏吴忠中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为，，‎ 所以，故选B.‎ ‎【考点】1.集合的运算；2.简单不等式的解法.‎ ‎2．2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：选项B是偶函数，选项C、D是偶函数，故选A．‎ ‎【考点】函数的奇偶性．‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )‎ A. 2＋π B. 2＋π C. 2＋(1＋)π D. 2＋π ‎【答案】A ‎【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥， 半圆锥的底面直径为2，高 故半圆锥的底面半径 ，母线长为 ， 半圆锥的表面积 ‎ 选A ‎4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )‎ A. B. － C. － D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据向量垂直坐标关系得等量关系，解得实数λ的值.‎ 详解：因为向量λa＋b与a－2b垂直，‎ 所以 ‎ ‎ 选B.‎ 点睛：平面向量的垂直问题 ‎1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 第一，计算出这两个向量的坐标；‎ 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．‎ ‎2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为( )‎ A. 4 B. 8 C. 16 D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据条件依次执行程序，并进行判断是否继续循环，直至跳出循环，输出结果.‎ 详解：执行循环得 结束循环，输出 选B.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎6．已知函数 (>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据周期计算，再根据正弦函数单调性求f(x)的单调递增区间.‎ 详解：因为最小正周期为π，所以 ‎ 由 得，选D.‎ 点睛：函数的性质 ‎(1).‎ ‎(2)周期 ‎(3)由 求对称轴 ‎(4)由求增区间; ‎ ‎7．已知具有线性相关关系的两个变量， 之间的一组数据如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 且回归方程是，则（ ）‎ A. 2.5 B. 3.5 C. 4.5 D. 5.5‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由题意得，根据表中的数据，‎ 可知，且，‎ 所以，解得，故选C.‎ ‎8．在所有的两位数10～99（包括10与99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：在所有两位数中能被3整除的共有30个，所有的两位数中能被整除的共有45个，其中所有两位数能被6整除的共有15个，所以所有的两位数中能被2或3整除的共有，10～99所有的两位数共有90个，所求概率为 ‎【考点】古典概型概率公式 ‎9．给出下列四个命题：‎ ‎①命题“若，则”的逆否命题为假命题；‎ ‎②命题．则，使；‎ ‎③“”是“函数为偶函数”的充要条件；‎ ‎④命题“，使”；命题“若，则”，那么为真命题．‎ 其中正确的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：逐个验证命题真假，判断逆否命题的真假可从原命题真假出发，命题的否定注意否定的形式.‎ 详解：①命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题为真命题；‎ ‎②命题．则，使；‎ ‎③“”是“函数为偶函数”的充要条件；‎ ‎④因为命题“，使”为假命题；命题“若，则”，为假命题，所以为假命题．‎ 综上②③正确，选B.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是 的充要条件．‎ ‎10．如果实数满足不等式组则的最小值是( )‎ A. 25 B. 5 C. 4 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数几何意义结合图像确定最小值取法，进而求得结果.‎ 详解：先作可行域，而表示可行域内点P(x,y)到坐标原点距离的平方，所以的最小值是坐标原点到A(1,2)距离的平方，即为5，选B.‎ 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎11．已知x>0, y>0, 若>m2＋2m恒成立, 则实数m的取值范围是(　　)‎ A. m≥4或m≤－2 B. m≥2或m≤－4 C. －20，所以c＝3.‎ 故△ABC的面积为bcsinA＝.‎ ‎【考点】平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.‎ ‎18．已知数列的前项和满足，数列满足，（）.‎ 求数列和的通项公式；‎ 设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】分析：(1)先根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义以及通项公式得的通项公式，再代入得的通项公式；（2）先利用错位相减法得，进而得最大值，最后解不等式得实数的取值范围.‎ 详解：‎ ‎ ①‎ 当 ②‎ ‎①-②： ，即：‎ 又 对都成立，所以是等比数列，‎ ‎ （） ‎ ‎ ‎ ‎ ① ‎ ‎ ②‎ ‎①-②： ‎ ‎,对都成立 ‎ ‎ 实数的取值范围为.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.‎ ‎（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；‎ ‎（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?‎ ‎（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附：‎ ‎【答案】（1）820人；（2）在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；（3）分布列见解析，期望为1．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，当前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列时，以下的频率为，故全年级视力在以下的人数约为；‎ ‎（Ⅱ）由，因此在犯错误的概率不超过 的前提下认为视力与学习成绩有关系；‎ ‎（Ⅲ）依题可取，，，，则，，‎ ‎，，‎ 所以的数学期望.‎ 试题解析：（Ⅰ）设各组的频率为，‎ 依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故 ‎，，‎ 所以由得，‎ 所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83，‎ 故全年级视力在5.0以下的人数约为 ‎(Ⅱ)‎ 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.‎ ‎（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，‎ 可取0，1，2，3，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的分布列为 X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的数学期望 ‎【考点】频率分布直方图、独立性检验、分布列与数学期望．‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且.点 是棱的中点，平面与棱交于点.‎ ‎（1）求证：∥；‎ ‎（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）推导出，从而平面，由此能证明． （2）取中点，连接，，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的二面角的余弦值．‎ 试题解析：（1）证明：∵是菱形，∴，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵四点共面，且面面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）解：取中点，连接，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴面，‎ ‎∴，在菱形中，∵，，是中点，‎ ‎∴，‎ 如图，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，‎ 由得，，，，，‎ ‎，.‎ 又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，‎ ‎∴，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则有，，取，则.‎ ‎∵平面，∴是平面的一个法向量，‎ ‎，二面角的余弦值为，‎ ‎∴平面与平面所成的二面角的余弦值为.‎ ‎21．已知椭圆： 的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为 ‎.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得： ，则椭圆方程为．‎ ‎ (2)分类讨论：①当轴时，．‎ ‎②当与轴不垂直时，设处直线的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆的半焦距为，依题意 ‎，所求椭圆方程为．‎ ‎（2）设，．‎ ‎①当轴时，．‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为．‎ 由已知，得．‎ 把代入椭圆方程，整理得 ，‎ ‎，‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ 当时，，综上所述．‎ 当时，取得最大值，面积也取得最大值．‎ ‎.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为.‎ ‎（1）求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）圆C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为；（2）4．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由消去参数可得圆的普通方程，由可化直线极坐标方程为直角坐标方程；（2）把点的极坐标化为直角坐标后，知这两点在直线，计算，因此只要求得点到直线的距离的最小值即能得面积的最小值．可用点到直线距离公式，也可用几何法求得圆心到直线的距离得最小值．‎ 试题解析：（1）由 得 消去参数t，得，‎ 所以圆C的普通方程为．‎ 由，‎ 得，‎ 即，‎ 换成直角坐标系为，‎ 所以直线l的直角坐标方程为．‎ ‎（2）化为直角坐标为在直线l上，‎ 并且，‎ 设P点的坐标为，‎ 则P点到直线l的距离为，‎ ‎，‎ 所以面积的最小值是 ‎【考点】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式．‎