【数学】2020届一轮复习苏教版随机变量与分布列作业

【数学】2020届一轮复习苏教版随机变量与分布列作业

‎(二十三) 随机变量与分布列 A组——大题保分练 ‎1．(2018·南京学情调研)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个球．‎ ‎(1)若两个球颜色不同，求不同取法的种数；‎ ‎(2)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．‎ 解：(1)两个球颜色不同的情况共有C·42＝96(种)．‎ ‎(2)随机变量X所有可能的值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝.‎ 所以随机变量X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎2．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为p1＝，乙的命中率为p2.在射击比赛活动中，每人射击两发子弹，则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相同且都不少于一发，则称该射击小组为“和谐组”．‎ ‎(1)若p2＝，求该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率；‎ ‎(2)若计划在2019年每月进行1次检测，记这12次检测中该小组获得“和谐组”的次数为X，如果E(X)≥5，求p2的取值范围．‎ 解：(1)记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P，‎ 则P＝＋×·×＝.即该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为.‎ ‎(2)该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 P＝×Cp2(1－p2)＋p ‎＝p2－p.‎ 因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数X～B(12，P)，所以E(X)＝12P.‎ 由E(X)≥5得12≥5，‎ 解得≤p2≤.‎ 因为p2≤1，所以p2的取值范围为.‎ ‎3．从集合M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．‎ ‎(1)求a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；‎ ‎(2)记a，b，c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3,4,5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的概率分布及其数学期望E(ξ)．‎ 解：(1)从9个不同的元素中任取3个不同元素，其基本事件总数为n＝C.‎ 记“a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A.‎ 由题意，a，b，c均不相邻，可利用插空法．假设有6个元素排成一列，则6个元素之间和两端共有7个空位，现另取3个元素插入空位，共有C种插法，然后将这9个元素，从左到右编号，依次为1,2,3，…，9，则插入的这3个元素中任意两者之差的绝对值均不小于2，所以事件A包含的基本事件数m＝C.‎ 故P(A)＝＝.‎ 所以a，b，c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为.‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以ξ的概率分布为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎4．已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为 ‎，某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该实验小组共种 植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立)，用ξ表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值．‎ ‎(1)求随机变量ξ的概率分布和数学期望；‎ ‎(2)求不等式ξx2－ξx＋1>0的解集为R的概率．‎ 解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0,1,2,3,4，对应的未发芽的种子数为4,3,2,1,0，‎ 所以ξ的所有可能取值为0,2,4，‎ P(ξ＝0)＝C×2×2＝，‎ P(ξ＝2)＝C×3×1＋C×1×3＝，‎ P(ξ＝4)＝C×4×0＋C×0×4＝.‎ 所以随机变量ξ的概率分布为 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P 数学期望E(ξ)＝0×＋2×＋4×＝.‎ ‎(2)由(1)知ξ的所有可能取值为0,2,4，‎ 当ξ＝0时，代入ξx2－ξx＋1>0，得1>0，对x∈R恒成立，即解集为R；‎ 当ξ＝2时，代入ξx2－ξx＋1>0，得2x2－2x＋1>0，‎ 即22＋>0，对x∈R恒成立，即解集为R；‎ 当ξ＝4时，代入ξx2－ξx＋1>0，得4x2－4x＋1>0，其解集为x≠，不满足题意．‎ 所以不等式ξx2－ξx＋1>0的解集为R的概率P＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝2)＝.‎ B组——大题增分练 ‎1．(2018·镇江期末)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是，该学生各学科等级成绩彼此独立．规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科获A等级则加5分．记X1表示该生的加分数，X2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值．‎ ‎(1)求X1的数学期望；‎ ‎(2)求X2的分布列．‎ 解：(1)记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai，i＝0,1,2,3,4.‎ X1的可能取值为0,1,2,3,5.‎ 则P(Ai)＝Ci4－i，‎ 即P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，则X1的分布列为 X1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ P 所以E(X1)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝.‎ ‎(2)X2的可能取值为0,2,4，则 P(X2＝0)＝P(A2)＝；‎ P(X2＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝＋＝；‎ P(X2＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝＋＝.‎ 所以X2的分布列为 X2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎2.(2018·南京、盐城、连云港二模)甲、乙两人站在点P处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(1)设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)求甲、乙两人共击中目标数为2个的概率．‎ 解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ‎ ‎(2)设Y表示乙击中目标的个数，‎ 由(1)可知，P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝.‎ 则P(X＝0，Y＝2)＝×＝，‎ P(X＝1，Y＝1)＝×＝，‎ P(X＝2，Y＝0)＝×＝， ‎ 所以P(X＋Y＝2)＝P(X＝0，Y＝2)＋P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝.‎ 所以甲、乙两人共击中目标的个数为2的概率为. ‎ ‎3.如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.‎ ‎(1)求S＝的概率；‎ ‎(2)求S的分布列及数学期望E(S)．‎ 解：(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，‎ 所以P＝＝.‎ ‎(2)S的所有可能取值为，，.S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，‎ 所以P＝＝.‎ S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，‎ 所以P＝＝.‎ 又由(1)知P＝＝，‎ 故S的分布列为 S P 所以E(S)＝×＋×＋×＝.‎ ‎4．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．‎ ‎(1)求概率P(X＝0)的值；‎ ‎(2)为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．‎ 解：(1)事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，‎ 则P(X＝0)＝3××2＝.‎ ‎(2)依题意得，X的可能值为k，－1,1,0，‎ 且P(X＝k)＝3＝，P(X＝－1)＝3＝，P(X＝1)＝3×2×＝，‎ 结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为 E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝，‎ 为使收益X的数学期望不小于0元，‎ 所以k≥110，即kmin＝110.‎ 故k的最小值为110.‎