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文档介绍
湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学(文)(四)试卷
湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学(文)(四)试卷 文科数学 测试范围:学科内综合.共150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知全集是不大于5的自然数集,,,则 ( ) A. B. C. D. 2.在复平面内,复数在复平面内对应的点分别为,则复数的共轭复数的虚部为 ( ) A. B. C. D. 3.《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为 ( ) A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸 4.执行如图所示程序框图输出的值为 ( ) A. B. C. D. 5.某研究员为研究某两个变量的相关性,随机抽取这两个变量样本数据如下表: 0.2 1 2.2 3.2 1.1 2.1 2.3 3.3 4.2 若依据表中数据画出散点图,则样本点都在曲线附近波动.但由于某种原因表中一个值被污损,将方程作为回归方程,则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为 ( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 6.下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( ) A. B. C. D. 7.已知变量满足约束条件,若恒成立,则实数的最大值为 ( ) A.40 B.9 C.8 D. 8.已知是双曲线的左、右焦点,是双曲线右支上一点,是线段的中点,是坐标原点,若周长为(为双曲线的半焦距),,则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 9.某简单组合体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. B. C. D. 10.在三棱锥中,平面,若该三棱锥的外接球的体积为,则的最大值为 ( ) A. B.32 C.50 D.64 11.在中,,,,,若的面积为,则 ( ) A. B. C. D. 12.若()恰有1个零点,则实数的取值范围为 ( ) A. B. C D. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.) 13.已知非零向量,,向量在向量上的投影为,,则 . 14.某中学为了了解学生年龄与身高的关系,采用分层抽样的方法分别从高一400名,高二300名,高三250名学生中共抽取19名学生进行调查,从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为,若圆与圆外切,则实数的值为 . 15.已知函数图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为,则在区间的值域为 . 16.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线自下到上于,是抛物线准线上一点,若,则以为直径的圆的方程为 . 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(12分)已知数列前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)若=,求数列的前项和. 18.(12分)中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化,在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛,为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况,从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩(满分100分)作为样本,将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如下图所示,已知抽取的人员中成绩在[50,60)内的频数为3. (1)求的值和估计参赛人员的平均成绩(保留小数点后两位有效数字); (2)已知抽取的名参赛人员中,成绩在[80,90)和[90,100]女士人数都为2人,现从成绩在[80,90)和[90,100]的抽取的人员中各随机抽取1人,求这两人恰好都为女士的概率. 19.(12分)在多面体中,为菱形,,为正三角形. (1)求证:; (2)若平面平面,,求点到平面的距离. 20.(12分)已知是椭圆的左、右焦点,离心率为,是平面内两点,满足,线段的中点在椭圆上,周长为12. (1)求椭圆的方程; (2)若过的直线与椭圆交于,求(其中为坐标原点)的取值范围. 21.(12分)已知. (1)已知函数在点的切线与圆相切,求实数的值. (2)当时,,求实数的取值范围. 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22.(10分)选修4—4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴非负半轴为极轴,长度单位相同,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线过点,倾斜角为. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,写出直线的参数方程的标准形式; (2)已知直线交曲线于两点,求. 23.(10分)选修4—5不等式选讲 (1)已知函数,当时,恒成立,求实数的最小值. (2)已知正实数满足,,求的最小值. 文科数学答案与解析 1.【答案】B【解析】由题可知,,,,则,故选B. 2.【答案】B【解析】由题知,,所以,其共轭复数为,故虚部为,故选B. 3.【答案】B【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为,是其前项和,则尺,所以尺,由题知,所以,所以公差,所以尺,故选B. 4.【答案】D【解析】由程序框图知,输出 ,故选D. 5.【答案】C【解析】由表中数据额可得,,由线性回归方程 得,,即,解得,故选C. 6.【答案】B【解析】由任意,都有知是奇函数,由任意且,都有知是增函数,因为在定义域上是奇函数,但在定义域上不是单增函数,故A错;因为是奇函数,,所以在定义域上是增函数,故B正确;由增性排除C,D.故选B. 7.【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,设表示可行域内点与点距离的平方减去1,由题知,过作直线的垂线,由图可知,垂足在线段上,因为点到直线的的距离,所以,故选D. 8.【答案】C【解析】连接,因为是线段的中点,由三角形中位线定理知,由双曲线定义知,因为周长为,所以,解得 ,在中,由余弦定理得 , 即,整理得,,所以,所以双曲线的渐近线方程为,故选C. 9.【答案】A【解析】由三视图知,该三视图对应的几何体为如图所示的四棱锥和一个底面半径为4高为3的四分之一圆锥组成的组合体,四棱锥可以看成是以两直角边分别为的直角三角形为底面,高为4的棱柱截去一个体积为棱柱体积的棱锥得到的,故该几何体的体积为,故选A. 第9题图 第12题图 10.【答案】B【解析】平面,,,平面, ,取的中点为,则,是三棱锥外接球球心,因为该三棱锥的外接球的体积为,所以该球的半径为5,所以AD=10,在中,,,,,,当且仅当时,取最大值32,故选B. 11.【答案】A【解析】设,则在直线上, 且,,由得,,所以 ,解得,所以, 由余弦定理知,, 解得,由正弦定理得,,所以,故选A.. 12. 【答案】B【解析】由恰有1个零点,方程恰有1个解,即方程恰有1个解,即函数的图象与直线在上恰有1个交点,因为,当时,,当时,,所以在区间上都是减函数,在是增函数,当时,取极小值,直线过点,斜率为,显然是函数的图象与直线的一个交点,这两个图象不能有其他交点,作出函数与的图象,由图可知,当时,直线应在函数()的图象上方,设, 即恒成立,因为,只需为减函数,所以, 即恒成立,设,设,则, ,当且仅当,即,即, 即时,,所以,当时,直线与相切,也适合,故满足题意的取值范围为,故选B. 13.【答案】2【解析】,,,由向量在向量上的投影为知,, 14.【答案】0或16【解析】由分层抽样方法知,抽样比例为50:1,所以分别为,所以圆的圆心为(8,6),半径为5,圆的圆心为,半径为5,由两圆外切知:,解得或. 15.【答案】【解析】由题知,,,所以,解得,由,,解得,所以,所以 ,因为,所以,所以,所以,所以在区间的值域为. 16.【答案】【解析】过作抛物线准线的垂线,垂足为,由抛物线定义知,,因为,所以点在直线上,且,显然,所以,即,所以,即,所以,所以,所以的中点即圆心坐标为,所以以为直径圆的方程为. 17.【解析】 (1)由题知=,即, 即,,, 数列是首项为3,公比为3的等比数列,(4分) ,;(6分) (2)由(1)知,,(7分) , ①(8分) ②(9分) ①-②得,,(11分) .(12分) 18.【解析】 (1)由频率分布直方图知,成绩在频率为 , 成绩在[50,60)内频数为3,抽取的样本容量,(2分) 参赛人员平均成绩为.(4分) (2)由频率分布直方图知,抽取的人员中成绩在[80,90)的人数为0.0125×10×40=5, 成绩在[90,100]的人数为0.0100×10×40=4,(6分) 设抽取的40人中成绩在[80,90)之间男士为,女士为, 成绩在[90,100]之间的男士为,女士为,(7分) 从成绩在[80,90),[90,100]的被抽取人员中各随机选取1人,有{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}, {,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}, 共有20种不同取法,其中选中的2人中恰好都为女士的取法有{,},{,},{,},{,}共4种不同取法,(10分) 故选中的2人中恰好都为女士的概率为.(12分) 19.【解析】 (1)取的中点为,连接, 为正三角形,, 为菱形,,为正三角形,, ,平面,.(5分) (2)由(1)知,, 平面平面,平面,(6分) 在等边和中,, 在中,, 在中,, ,,(9分) 设到平面的距离为,, ,即, 解得,到平面的距离为.(12分) 20.【解析】 (1)连接,,, 是线段的中点,是线段的中点,, 由椭圆的定义知,, 周长为, 由离心率为知,,解得,, 椭圆的方程为.(4分) (2) 当直线的斜率不存在时,直线,代入椭圆方程解得, 此时,(5分) 当直线的斜率存在时,设直线的方程为, 椭圆的方程整理得,, 设,则,, ,解得(8分) =, =, ,,,, ,(11分) 综上所述,的取值范围为.(12分) 21.【解析】 (1)由题知,,, 在点的切线斜率为, 在点的切线方程为,即,(2分) 由题知,,解得.(4分) (2)设,,(5分) 设,, 当时,,,, 即在上是增函数,,(7分) 当时,,则当时,, 函数在上是增函数, 当时,,满足题意,(9分) 当时,, 在上是增函数,趋近于正无穷大时,趋近于正无穷大, 存在上,使, 当时,,函数在是减函数, 当时,,不满足题意,(11分) 综上所述,实数的取值范围为.(12分) 22.【解析】 (1)由得,, 将代入上式整理得, 曲线的直角坐标方程为,(3分) 由题知直线的标准参数方程为(是参数).(5分) (2)设直线与曲线交点对应的参数分别为, 将直线的标准参数方程为(是参数)代入曲线方程整理得, ,,(8分) .(10分) 23.【解析】 (1),(2分) 在区间上是减函数,在区间是增函数, ,在区间上的最大值为8, ,实数的最小值为8.(5分) (2),,, , 当且仅当且,即时,取最小值8. 的最小值为8.(10分)查看更多