河南省许昌市第三高级中学2019-2020学年高二月考数学试卷

河南省许昌市第三高级中学2019-2020学年高二月考数学试卷

数学试卷二 一、单选题（共20题；共40分）‎ ‎1.已知函数,且方程在区间内有两个不等的实根,则实数m的取值范围(   )‎ A.                                 B.                                 C.                                 D. [2,4]‎ ‎2.武汉炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时时，原油温度（单位：)为 ， 那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（　　）‎ A. 8                                         B.                                          C. -1                                         D. -8‎ ‎3.设命题p： ，则p为（   ） ‎ A.                                            B.  C.                                           D.  ‎4.已知等比数列的公比为正数，且, ， 则(   )‎ A.                                          B.                                          C.                                          D. 2‎ ‎5.已知X～B（6， ），则P（X＝2）等于（   ） ‎ A.                                      B.                                      C.                                      D.  ‎6.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为96 ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（   ） ‎ A.                                       B. 16                                      C.                                       D. 32‎ ‎7.已知a=tan50°，b=1+cos20°，c=2sin160°，则这三个数的大小关系为（   ） ‎ A. b＜c＜a                             B. a＜b＜c                             C. c＜a＜b                             D. c＜b＜a ‎8.已知二次函数的导数为 ， ， 对于任意实数都有 ， 则的最小值为（ ）‎ A. 3                                           B.                                            C. 2                                           D.  ‎9.已知函数f（x）= ，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（   ） ‎ A. （﹣∞，1）                        B. （﹣∞，1]                        C. （0，1）                        D. [0，+∞）‎ ‎10.设a,b是两个实数，且a≠b，①② ， ③。上述三个式子恒成立的有（   ）‎ A. 0个                                       B. 1个                                       C. 2个                                       D. 3个 ‎11.已知平行于 轴的直线分别交两曲线 与 于   ，则 的最小值为（    ） ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D.  ‎12.如图， ， ， 分别是 的中点，将 沿直线 折起，使二面角 的大小为 ，则 与平面 所成角的正切值是（    ）‎ A.                                        B.                                        C.                                        D.  ‎13.设 、 分别为双曲线 的左、右顶点， 、 是双曲线 上关于 轴对称的不同两点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线 的离心率 是（    ） ‎ A.                                         B.                                         C.                                         D.  ‎14.抛物线的焦点为 ， 准线为 ， 经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点 ， ,垂足为 ， 则的面积是(   )‎ A.                                         B.                                         C.                                         D. 8‎ ‎15.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为 ,则 的范围是（    ） ‎ A.                              B.                              C.                              D.  ‎16.已知可导函数()满足，则当时，和的大小关系为 (  )‎ A.                     B.                     C.                     D.  ‎17.若角 满足 ，则 (    ) ‎ A.                                         B.                                         C.  或                                         D.  ‎18.已知向量 、 、 满足 ，且 ，则 、 、 中最小的值是（    ） ‎ A.                                   B.                                   C.                                   D. 不能确定 ‎19.给出下列四个命题: ①命题,则. ②当时,不等式的解集为非空.      ③当时,有. ④设复数z满足（1-i）z=2i，则z=1-i 其中真命题的个数是（   ）‎ A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4‎ ‎20.已知函数 ， ，若 有两点零点，则 的取值范围为（   ） ‎ A.                      B.                      C.                      D.  二、填空题（共5题；共5分）‎ ‎21.设e1、e2是两个不共线的向量， ＝2e1＋ke2 ， ＝e1＋3e2 ， 若A、B、C三点共线，则k＝________. ‎ ‎22.在平行六面体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为45°，则| |=________． ‎ ‎23.已知 ，且﹣π＜θ＜﹣ ，则 =________． ‎ ‎24.已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=（ ）n ， Sn=a1+‎3a2+‎32a3+…+3n﹣1an ， 利用类似等比数列的求和方法，可求得4Sn﹣3nan=________． ‎ ‎25.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量 =（1，﹣ ）， =（cosB，sinB）， ，且bcos C+ccos B=2asin A，则角C等于________． ‎ 三、解答题（共7题；共55分）‎ ‎26.求下列函数的导数． ‎ ‎（1） ； ‎ ‎（2） . ‎ ‎27.设关于 的一元二次方程 ． ‎ ‎（1）若 从0， 1， 2， 3四个数中任取的一个数， 是从0， 1， 2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； ‎ ‎（2）若 是从区间 上任取的一个数， 是从区间 上任取的一个数，求上述方程有实根的概率． ‎ ‎28.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与p，且乙投球2次均未命中的概率为 ． （Ⅰ）求乙投球的命中率p； （Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望． ‎ ‎29.设全集为 . （Ⅰ）求   C ； （Ⅱ）若 ，求实数 的取值范围. ‎ ‎30.某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API监测数据，统计结果如下： ‎ API ‎[0，50]‎ ‎（50，100]‎ ‎（100，150]‎ ‎（150，200]‎ ‎（200，250]‎ ‎（250，300]‎ ‎（300，350]‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；‎ ‎（Ⅱ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为w）的关系式为：‎ S= ‎ 若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．‎ ‎31.已知函数/ ，其中 . ‎ ‎（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； ‎ ‎（2）若函数 在区间 内恰有一个极大值和一个极小值，求实数 的取值范围. ‎ ‎32.某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题： ‎ ‎（1）求a并估计这次考试中该学科的中位数、平均值； ‎ ‎（2）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组…第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差不小于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据，如：[40，50），[70，80）这两组分数之差为30分），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率． ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】 C ‎ ‎2.【答案】 C ‎ ‎3.【答案】 A ‎ ‎4.【答案】 B ‎ ‎5.【答案】D ‎ ‎6.【答案】C ‎ ‎7.【答案】 C ‎ ‎8.【答案】 C ‎ ‎9.【答案】 A ‎ ‎10.【答案】 B ‎ ‎11.【答案】 A ‎ ‎12.【答案】D ‎ ‎13.【答案】 A ‎ ‎14.【答案】 C ‎ ‎15.【答案】 A ‎ ‎16.【答案】 A ‎ ‎17.【答案】 D ‎ ‎18.【答案】 B ‎ ‎19.【答案】 A ‎ ‎20.【答案】 A ‎ 二、填空题 ‎21.【答案】6 ‎ ‎22.【答案】 ‎ ‎23.【答案】 ‎ ‎24.【答案】 n ‎ ‎25.【答案】 ‎ 三、解答题 ‎26.【答案】 （1）解：∵ ， ‎ ‎∴ ＝（ ）'＝ ．‎ ‎ （2）解： ‎ ‎27.【答案】 （1）解：设“方程 有实根”为事件 ，‎ ‎∵ 从 四个数中任取的一个数， 是从 三个数中任取的一个数，‎ ‎∴记 为所取两数的一个组合，则所有可能的取法有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种且每种均等可能被抽到，其中满足条件 的有 ， ， ， ， ， ， ， ， 共9种，‎ ‎∴ ．‎ 答：方程 有实根的概率为 ．‎ ‎ （2）解：设“方程 有实根”为事件 ，‎ ‎∵ 从区间 上任取的一个数， 是从区间 上任取的一个数，‎ ‎∴记 为所取两数的一个组合，则 ， ，‎ ‎∴点 所在的区域为如图所示的矩形，‎ 又条件 可化为 ，即 ，‎ ‎∴满足条件 的点 所在的区域为如图所示的阴影部分区域 ‎∴ ．‎ 答：方程 有实根的概率是 ．‎ ‎28.【答案】解：（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为 ，两次是否投中相互之间没有影响， 设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得 解得 或 （舍去）， ∴乙投球的命中率为 ． （Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知 ξ可能的取值为0，1，2，3，    P（ξ=1）=P（A）P（ ）+ •P（B）P（ ）P（ ）=       ∴ξ的分布列为 ∴ξ的数学期望 ‎ ‎29.【答案】解：由 得 ，即 由 ，得 ，即 （Ⅰ）由已知得 C ，∴   C   （Ⅱ）∵ ，∴   ‎ 又∵ ，∴有   解得   所以 的取值范围为 ‎ ‎30.【答案】 解：（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值为  [25×2+75×4+125×5+175×9+225×4+275×3+325×3]= ； ‎ ‎（Ⅱ）由分段函数的表达式可知，若经济损失S大于200元且不超过600元，‎ 则得200＜4w﹣400≤600，即600＜4w≤1000，‎ 解得150＜w≤250，此时对应的天数为9+4=13，‎ 则对应的概率P= ‎ ‎31.【答案】 （1）解：当 时， ， ，‎ 所以切线方程为 ‎ （2）解：令 ，则 在 恰有一个极大值,‎ 和一个极小值可以转化为 在 有两个变号零点.‎ ，‎ ， 或 .‎ 所以g(x)在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，‎ 所以g(x)在 处取到极小值 ,在 处取到极大 .‎ 又g(0)=a+1,g(2π)= ,‎ 要想使函数恰有两个变号零点，‎ 只需满足 所以 ‎32.【答案】 （1）解：因为各组的频率和等于1， ‎ 故第四组的频率：‎ f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3，∴a=0.03，‎ 成绩在[40，70）的频率为：（0.01+0.015+0.015）×10=0.4，‎ 成绩在[40，80）的频率为：0.4+0.03×10=0.7，‎ ‎∴中位数在[70，80）内，‎ 设中位数为x，‎ ‎∵中位数要平分直方图的面积，‎ ‎∴x=70+ = 分，‎ 依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，‎ 频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75‎ 所以，抽样学生成绩的合格率是75%，‎ 利用组中值估算抽样学生的平均分为：‎ ‎45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6‎ ‎=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71‎ 估计这次考试的平均分是71分 ‎ （2）解：记选出的两组为“最佳组合”为事件A． ‎ 从六组中任选两组的基本事件是：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15，符合“最佳组合”条件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6， ‎ 所以，选出的两组为“最佳组合”的概率为 ‎