宁夏银川市宁大附中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

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宁夏银川市宁大附中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

宁夏大学附中2019-2020学年高二上学期期末考试 数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.‎ ‎1.双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线的的渐近线方程.‎ ‎【详解】a=4,b=3,所以渐近线方程,故选B.‎ ‎【点睛】考查双曲线的基本性质,渐近线的求法.属于基础题.‎ ‎2.抛物线的准线方程是,则其标准方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据准线方程,可知焦点在轴的负半轴,再设抛物线的标准形式为,根据准线方程求出的值,代入可得到答案.‎ ‎【详解】由题意可知,抛物线的焦点在轴的负半轴,‎ 设抛物线标准方程为:,‎ 因为抛物线的准线方程为,‎ 所以,‎ 得,‎ 则抛物线的标准方程为:.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质,属于基础题.‎ ‎3.命题“,”的否定是( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 命题“,”的否定是,‎ 选D.‎ ‎4.命题:若,则;命题:,则下列命题为真命题的是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当时,,即命题为假命题,因为恒成立,即命题为假命题,则、、为假命题,为真命题;故选D.‎ ‎5.下列命题中,正确是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,,则 D. 若,,则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式性质,结合特殊值,即可判断选项是否正确.‎ ‎【详解】对于A,因为在分母上,所以,因而.不等式两边同时乘以可得,所以A正确;‎ 对于B,若.当时, 不正确,所以B错误;‎ 对于C,当时满足,,但此时不满足,所以C错误;‎ 对于D, 时满足,,但此时不满足,所以D错误.‎ 综上可知,A为正确选项.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了不等式的基本性质,通过特殊值可快速检验不等式是否成立,属于基础题.‎ ‎6.等差数列中,,,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为,根据题意建立有关和的方程组,解出这两个量,即可求得的值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为,则,解得,‎ 因此,.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列项之和的计算,解题的关键就是建立首项和公差的方程组,利用方程思想求解,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎7.正项等比数列中,,,则的值是  ‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:设正项等比数列{an}的公比为q,由a3=2,a4•a6=64,利用通项公式解得q2,再利用通项公式即可得出.‎ 详解:设正项等比数列{an}的公比为q,∵a3=2,a4•a6=64,‎ ‎∴ ‎ 解得q2=4,‎ 则=42=16.‎ 故选C.‎ 点睛:本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.解决等差等比数列的小题时,常见的思路是可以化基本量,解方程;利用等差等比数列的性质解决题目;还有就是如果题目中涉及到的项较多时,可以观察项和项之间的脚码间的关系,也可以通过这个发现规律.‎ ‎8.在中,已知,,,则 ( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理,先求得.再根据正弦定理即可求解.‎ ‎【详解】中,已知,,,‎ 由余弦定理,‎ 代入可得,‎ 所以,‎ 由正弦定理可得,‎ 所以,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.‎ ‎9.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,则m=( )‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. -3 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】焦点在x轴上的椭圆,可得,‎ 椭圆的离心率为,可得: ,解得m=8‎ 故选A ‎10.设,则“”是“”的( )‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解可得,解可得,所以“”是“”的充分不必要条件.故选B.‎ ‎11.已知,,且,则的最小值是( )‎ A. -2 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件等式,变形后可得,代入中结合基本不等式即可求得的最小值.‎ ‎【详解】,,且,‎ 则 ‎ 所以 因为,由基本不等式可得 当且仅当即时取等号,‎ 所以的最小值为,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了根据条件等式求最值的应用,基本不等式求最值的用法,属于基础题.‎ ‎12.如图所示,直线为双曲线:的一条渐近线,,是双曲线的左、右焦点,关于直线的对称点为,且是以为圆心,以半焦距为半径的圆上的一点,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设焦点关于渐近线的对称点为,则 ‎,又点在圆上,,故选C.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为,则该双曲线的标准方程是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线方程设双曲线的方程,再代入点坐标得结果.‎ ‎【详解】因为渐近线方程为,所以设双曲线的方程为,‎ 因为双曲线过点(2,3),所以,‎ 因此,双曲线的标准方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查根据渐近线方程求双曲线的标准方程,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎14.抛物线上一点到其焦点的距离为6,则点M到y轴的距离为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线方程,先求得准线方程.结合抛物线定义即可求得点M到y轴的距离.‎ ‎【详解】抛物线,‎ 所以准线方程为,‎ 根据抛物线定义,点到其焦点的距离为6,则点到其准线距离也为6,‎ 即,可得,‎ 所以点M到y轴的距离为4,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线定义及抛物线方程简单应用,属于基础题.‎ ‎15.若数列满足,,________.‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推公式,依次代入即可求解.‎ ‎【详解】数列满足,,‎ 当时,可得,‎ 当时,可得,‎ 当时,可得,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了递推公式求数列项的方法,属于基础题.‎ ‎16.已知实数x,y满足不等式组,则的最小值为_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式组,画出可行域.将目标函数化为一次函数形式,将直线平移即可确定最小值.‎ ‎【详解】根据不等式组,画出可行域如下图所示:‎ ‎,化为,‎ 将直线平移后可知,当经过点时直线在轴上截距最小,即取得最小值.‎ 联立可解得,所以,‎ 代入可得,‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划在求最值中的应用,属于基础题.‎ 三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(1)求以双曲线右焦点为焦点的抛物线的标准方程;‎ ‎(2)已知双曲线C的离心率,与椭圆有公共焦点.求双曲线C的标准方程;‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由双曲线方程求得焦点坐标,即可由焦点重合求得抛物线标准方程.‎ ‎(2)由椭圆方程确定焦点坐标,再由离心率确定的值,即可求得双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】(1)双曲线,设抛物线标准方程为,‎ 所以,则右焦点为,‎ 即抛物线的焦点为,所以,‎ 解得,‎ 所以抛物线标准方程为.‎ ‎(2)椭圆,则焦点为,‎ 双曲线C与椭圆有公共焦点,且离心率,‎ 所以双曲中,则,‎ 即 ‎ 所以双曲线C的标准方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线标准方程与双曲线标准方程的求法,抛物线与双曲线几何性质的简单应用,属于基础题.‎ ‎18.已知是等差数列,是等比数列,且,,,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,运用通项公式,可得,进而得到所求通项公式; ‎ ‎(2)由(1)求得,运用等差数列和等比数列的求和公式,即可得到数列和.‎ ‎【详解】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,‎ 因为,可得,所以,‎ 又由,所以,‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎(2)由题意知,‎ 则数列的前项和为 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,以及数列的分组求和,其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎19.在中,角,,所对的边分别为,,,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,的面积为,求边.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接利用余弦定理的变换求出的余弦值.‎ ‎(2)利用(1)结论首先求出的值,进一步利用平面向量的模的运算求出,再利用三角形的面积公式求出,最后利用余弦定理的应用求出结果.‎ ‎【详解】解:在中,角,,所对的边分别为,,,且.‎ 则:,‎ 整理得:,‎ 所以:;‎ ‎(2)由于,,‎ 所以:,‎ 在中,由于:,‎ 则:,‎ 即:.‎ 由于的面积为,‎ 所以:,‎ 解得:,‎ 故:‎ ‎,‎ 解得:.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点:平面向量的模的运算的应用,余弦定理和三角形的面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题.‎ ‎20.设抛物线的焦点为F,准线为,直线l与C交于A,B两点,线段AB中点M的横坐标为2.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)若l经过F,求l的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据抛物线的准线方程,即可求得抛物线的标准方程.‎ ‎(2)作垂直准线交于,作垂直准线交于,交轴于,作垂直准线交于.当直线斜率不存在时,不合题意,当斜率存在时,设出直线方程,联立抛物线,化简后由韦达定理并结合中点的横坐标,即可确定斜率,进而求得直线方程.‎ ‎【详解】(1)抛物线的准线为,‎ 则,解得,‎ 所以抛物线.‎ ‎(2)作垂直准线交于,作垂直准线交于,交轴于,作垂直准线交于,几何关系如下图所示:‎ 因为线段AB中点M的横坐标为2.‎ 则,‎ 由梯形中位线可知 ‎ 由抛物线定义可知 直线经过F,当斜率不存在时,不合题意,‎ 所以直线斜率一定存在,‎ 抛物线,则焦点.‎ 设直线的方程为,‎ 联立抛物线,化简可得,‎ 则,‎ 解得,‎ 所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线标准方程的求法,直线与抛物线的位置关系及弦中点坐标用法,属于基础题.‎ ‎21.已知数列的前n项和为,且 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前n项和为.‎ ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据条件式,递推后可得,作差后即可确定数列为等比数列,由等比数列通项公式即可求解.‎ ‎(2)先求得数列的通项公式,再根据错位相减法即可确定数列的前n项和为.‎ ‎【详解】(1)数列的前n项和为,且 当时,,解得.‎ 而 两式相减可得,化简可得 即.‎ 所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,‎ 则.‎ ‎(2)由(1)可得,‎ 则 代入可得,‎ 则 两式相减可得 由等比数列求和公式化简可得 化简可得 ‎【点睛】本题考查了应用求数列通项公式,等比数列通项公式的求法,错位相减法求数列的前n项和应用,属于中档题.‎ ‎22.设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)设直线l:与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ,求k的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或 ‎【解析】‎ 分析:(Ⅰ)由题意结合椭圆的性质可得a=3,b=2.则椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由题意可得5y1=9y2.由方程组 可得.由方程组可得.据此得到关于k的方程,解方程可得k的值为或 详解:(Ⅰ)设椭圆的焦距为‎2c,由已知有,‎ 又由a2=b2+c2,可得‎2a=3b.由已知可得,,,‎ 由,可得ab=6,从而a=3,b=2.‎ 所以,椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).‎ 由已知有y1>y2>0,故.‎ 又因为,而∠OAB=,故.‎ 由,可得5y1=9y2.‎ 由方程组消去x,可得.‎ 易知直线AB的方程为x+y–2=0,‎ 由方程组消去x,可得.‎ 由5y1=9y2,可得5(k+1)=,‎ 两边平方,整理得,‎ 解得,或.‎ 所以,k的值为或 点睛:解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.‎
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