2017-2018学年四川省泸县第二中学高二下学期期末模拟数学（文）试题-解析版

2017-2018学年四川省泸县第二中学高二下学期期末模拟数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 四川省泸县第二中学2017-2018学年高二下学期期末模拟数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 A． 1+i B． 1−i C． −1+i D． −1−i ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．‎ 详解：化简可得z= ‎ ‎∴z的共轭复数为1﹣i.‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．‎ ‎2．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，‎ 由古典概型公式，满足题意的概率值为.‎ 本题选择C选项.‎ 考点：古典概型 名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.‎ ‎3．设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为 A． 6 B． 19 C． 21 D． 45‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值．‎ 详解：由变量x，y满足约束条件，‎ 得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．‎ 当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．‎ 将其代入得z的值为21，‎ 故答案为：C．‎ 点睛：（1）本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析式，如：,直线的纵截距为,所以纵截距最小时，最大.‎ ‎4．的焦点到渐近线的距离为 A． B． 2 C． 1 D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵双曲线的方程为 ‎∴焦点坐标为，渐近线方程为 ‎∴双曲线的焦点到渐近线的距离为 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查有关双曲线的基本运算问题，解题的关键是分清双曲线中的各个量的含义及其关系，然后再根据题目的要求求解.‎ ‎5．三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角满足，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：求出，从而求出三角形的三边的关系，分别表示出大正方形和小正方形的面积，利用面积比，即可求解概率.‎ 详解：由题意，且，解得，‎ 不妨设三角形内的斜边的边长为5，则较小边直角边的边长为，‎ 较长直角边的边长为，所以小正方形的边长为1，‎ 所以打正方形的面积为，小正方形的面积为，‎ 所以满足条件的概率为，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解问题，其中解答中利用三角函数的基本关系式，求得大、小正方形的边长，得到大、小正方形的面积是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎6．函数的大致图像是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 函数为偶函数，排除B,D.‎ 当时，，排除C.‎ 故选A.‎ ‎7．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．‎ ‎【详解】‎ 首先根据函数的图象，则：函数的图象与的图象关于轴对称． 由于函数的图象关于直线对称，则：把函数的图象向右平移2个单位即可得到：． ∴所求得解析式为：‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的变换和对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平.‎ ‎8．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出，两点的坐标，从而求得，设，即可得到点到直线的距离：，由此能求出面积的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线分别与轴，轴交于，两点， ∴令，得，令，得， ∴，，.‎ ‎∵点在圆上 ‎∴设，则点到直线的距离：‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵面积为 ‎∴面积的取值范围为 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形面积，考查圆的参数方程，三角函数关系等基础知识，意在考查运算求解能力，考查函数与方程思想．解答本题的关键是设点，利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.‎ ‎9．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性求出，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后即可求解切线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数为奇函数 ‎∴，即.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，则.‎ ‎∴曲线在点处的切线的斜率为.‎ ‎∵‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求切线方程，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎10．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得。‎ 详解：由题可知 在中，‎ 在中,‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。‎ ‎11．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于,函数为增函数,且,函数为奇函数,故,即在上存在.画出的图象如下图所示,由图可知,,故选.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性与奇偶性,考查利用导数研究函数的单调性,考查恒成立问题的解题思路.给定一个函数的解析式,首先要分析这个函数的定义域,单调性与奇偶性等等性质,这些对于解有关函数题目可以有个方向,根据基本初等函数的单调性要熟记.‎ ‎12．已知函数，，若对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 令，则，‎ 所以在单调递减，单调递增，‎ 所以，‎ 则,‎ 所以，令，‎ 则，，‎ 则在区间上，，则单调递减，‎ 又，所以在单调递增，单调递减，‎ 所以，‎ 所以，故选A。‎ 点睛：本题考察导数的任意恒成立问题，先求的最大值为1，得，分离参数法得，通过双次求导得到，所以得到。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的_______________．‎ ‎【答案】6.‎ ‎【解析】‎ 分析：由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序运行过程，分析循环变量值的变化规律，即可求解答案．‎ 详解：执行如图所示的程序框图：‎ 第一次循环：，满足条件；‎ 第二次循环：，满足条件；‎ 第三次循环：，满足条件；‎ 第四次循环：，满足条件；‎ 第五次循环：，满足条件；‎ 第六次循环：，不满足条件，推出循环，此时输出；‎ 点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的运行与结果出的输出问题，解题是应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的计算结果，同时注意判断框的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎14．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,解得,根据中位数为,可知,故.‎ ‎15．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）各顶点都在同一球面上，且，，若此球的表面积等于，则_______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析：首先求得半径，然后结合空间几何关系求解AB的长度即可.‎ 详解：由题知球半径R=，记球心为O，△ABC外接圆圆心为O1，则OO1⊥平面ABC.‎ 设AB=a，则，AO=.‎ 在△ABC中，由余弦定理得，‎ 则BC=，由正弦定理得：，得AO1=a.‎ 在Rt△AO1O中，，‎ 即，解得a=2，即AB=2.‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ ‎16．若存在两个正实数，使等式成立（其中），则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：首先求得m的表达式，然后通过换元将原问题转化为研究函数最值的问题，最后结合题意求解不等式即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得：，‎ 则，‎ 令，构造函数，‎ 则，‎ 恒成立，则单调递减，‎ 当时，，‎ 则当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 则当时，取得最大值，据此有：或.‎ 综上可得：实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查导函数研究函数的单调性，导数研究函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．省环保厅对、、三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：‎ 城 城 城 优（个）‎ ‎28‎ 良（个）‎ ‎32‎ ‎30‎ 已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.‎ ‎（I）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在城中应抽取的数据的个数；‎ ‎（II）已知，，求在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1)由计算出,再由总数计算出,按比例计算得应抽人数.(2) 由（1）知，且，，利用列举法和古典概型计算公式计算得相应的概率.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由题意得，即.‎ ‎∴，‎ ‎∴在城中应抽取的数据个数为.‎ ‎（2）由（1）知，且，，‎ ‎∴满足条件的数对可能的结果有，，，，，‎ ‎，，共8种.‎ 其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有，，共3种.‎ ‎∴在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2） ‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）求单调区间只需求解导函数的不等式即可；（2）对于当时，恒成立，可先分离参数，然后求出新函数的最小值即可.‎ 详解：‎ ‎（1）函数的定义域为，‎ ‎∵，∴，解得或；，解得，‎ ‎∴的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）∵在恒成立 ‎∴，‎ 令，则，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∴.‎ 点睛：考查函数的单调区间的求法以及恒成立问题转化为最值问题求解的思维，分离参数的是解题关键，属于中档题.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，为与的交点，为棱上一点．‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）若平面，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知得 由此能证明平面 平面 ‎ （2）由已知得 ，取中点，连结，由此利用 可求得三棱锥 的体积．‎ 试题解析：（1）∵平面平面，‎ ‎∴．‎ ‎∵四边形是菱形，∴．‎ 又∵，∴平面．‎ 而平面，‎ ‎∴平面平面；‎ ‎（2）连接，‎ ‎∵平面，平面平面，‎ ‎∴．‎ ‎∵是的中点，∴是的中点．‎ 取的中点，连接，‎ ‎∵四边形是菱形，，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴平面，且，‎ 故.‎ 点睛：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的灵活应用．‎ ‎20．已知椭圆：过点，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ），是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一个点，求面积取得最大值时直线的方程.‎ ‎【答案】(1) 椭圆方程为;(2)面积取得最大值时直线的方程应该是.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由条件布列关于的方程组，得到椭圆的方程；（2）设：，分类，联立方程，利用根与系数关系表示面积，，然后利用均值不等式求最值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得，解得，‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（2）由题知直线的斜率存在，不妨设为，则：.‎ 若时，直线的方程为，的方程为，易求得，‎ ‎，此时.‎ 若时，则直线：.‎ 圆心到直线的距离为.‎ 直线被圆截得的弦长为.‎ 由 ，‎ 得，‎ 故 .‎ 所以 ‎ ‎ .‎ 当时上式等号成立.‎ 因为，‎ 所以面积取得最大值时直线的方程应该是.‎ 点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，证明： .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）分离参数法，转化为.（2））由（1）得，当时，有，即.所以只需证明，即证，.构造函数可证。右边构造函数可证。‎ 试题解析：（1）由，得 .‎ 整理，得恒成立，即.‎ 令.则.‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∴函数的最小值为.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（2）由（1），当时，有，即.‎ 要证，可证，，‎ 即证，.‎ 构造函数.‎ 则.‎ ‎∵当时，.∴在上单调递增.‎ ‎∴在上成立，即，证得.‎ ‎∴当时，成立.‎ 构造函数.‎ 则 .‎ ‎∵当时，，∴在上单调递减.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴当时，成立.‎ 综上，当时，有.‎ ‎【点睛】解题时要学会用第一问己得到的结果或结论，如本题证明左边可由（1），当时，有，即.要证，只需证，，即证，.‎ 同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形。‎ ‎22．[选修4–4：极坐标和参数方程选讲]‎ 在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.‎ ‎(Ⅰ)求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ) 记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据极坐标方程、参数方程与普通方程的对应关系即可得出答案； （2）由（1），，所以 ，即可得到的最大值.‎ 试题解析：（1）由题意得直线的普通方程为：，‎ 所以其极坐标方程为：.‎ 由得：，所以，‎ 所以曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）由题意，，‎ 所以 ，‎ 由于，所以当时，取得最大值：.‎ ‎23．[选修4–5：不等式选讲]‎ 已知.‎ ‎(Ⅰ)当时，求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；‎ ‎(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.‎ 详解：（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎（2）当时成立等价于当时成立．‎ 若，则当时；‎ 若，的解集为，所以，故．‎ 综上，的取值范围为．‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.‎