安徽省蚌埠市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

安徽省蚌埠市第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 埠二中2019-2020学年第一学期期中考试 高一数学试题 一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先弄清楚阴影部分集合表示的含义，并解出集合、，结合新定义求出阴影部分所表示的集合。‎ ‎【详解】由题意知，阴影部分区域表示的集合，‎ 集合，，‎ ‎，，‎ 因此，阴影部分区域所表示的集合为，故选：C。‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算、集合的表示法以及集合中的新定义，考查二次不等式以及对数不等式的解法，解题的关键就是要弄清楚Venn图表示的新集合的意义，在计算无限集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中等题。‎ ‎2.下列函数中，是同一函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 逐一考查所给函数的性质：‎ A．与函数对应关系不一致，不是同一个函数；‎ B．两函数的对应关系不一致，不是同一个函数；‎ C．函数的定义域为，函数的定义域为R，不是同一个函数；‎ D．函数与定义域和对应关系都相同，是同一个函数.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简).‎ ‎3.下列函数中，满足“”的单调递增函数是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 举出反例可知选项A,D错误，由函数的单调性可知选项C错误，据此即可确定满足题意的函数.‎ ‎【详解】逐一考查所给的函数：‎ 对于A选项，取，则，不满足题中的条件，舍去；‎ 对于B选项，，且函数单调递增，满足题中的条件；‎ 对于C选项，函数单调递减，不满足题中的条件，舍去；‎ 对于D选项，取，则，不满足题中的条件，舍去；‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的递推关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，若，则在上单调递减，‎ 又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D.‎ 若，则在上是增函数，‎ 函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，‎ 因此B项不正确，只有选项A满足.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5.若函数y＝ (a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则loga＋loga＝(　　)‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析得到a＞1，再求出a=2,再利用对数的运算求值得解.‎ ‎【详解】由题意可得a－ax≥0，ax≤a，定义域为[0，1]，‎ 所以a>1，‎ y＝在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，‎ 所以f(0)＝＝1，f(1)＝0，‎ 所以a＝2，‎ 所loga＋loga＝log2＋log2＝log28＝3.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6.已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对任意的实数，都有成立，可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，即函数为减函数，可得：，解得，故选D.‎ 点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及对数函数的性质的应用，考查基本知识的应用；要使分段函数单调递减，‎ 必须满足左段单调递减，右段单调递减，同时最容易遗漏的是左端的最小值不小于右段的最大值.‎ ‎7.已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则( )‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用得到函数的周期性，再利用函数的奇偶性和对数运算进行求解．‎ ‎【详解】因为函数满足，所以，即函数是以为周期的周期函数，又函数是定义在上的奇函数，且时，，所以．故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用以及对数运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．本题的易错点在于“正确根据判定函数是以为周期的周期函数，而不是图象关于直线对称”，在处理函数的周期性和对称性时，要注意以下结论：若函数满足或，则函数的图象关于直线对称；若函数满足或，则函数是以为周期的周期函数.‎ ‎8.规定，设函数，若存在实数x0，对任意实数x都满足，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据新定义求出函数，然后确定函数的单调性，求得最小值点．‎ ‎【详解】据题意时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，所以．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，把新定义问题转化为我们熟悉的函数的最值．‎ ‎9.已知奇函数是定义在上的减函数，且，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数运算性质和对数函数单调性可得，根据指数函数单调性可知；利用为减函数可知，结合为奇函数可得大小关系.‎ ‎【详解】，‎ 即：‎ 又是定义在上的减函数 ‎ 又为奇函数 ‎ ‎，即：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性，结合奇偶性比较函数值的大小关系，关键是能够通过函数得单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系.‎ ‎10.已知函数，则方程的根的个数为（ ）‎ A. 7 B. 5 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，先求出方程的三个根，，，然后分别作出直线，，与函数的图象，得出交点的总数即为所求结果.‎ ‎【详解】令，先解方程.‎ ‎（1）当时，则，得；‎ ‎（2）当时，则，即，解得，.‎ 如下图所示：‎ 直线，，与函数的交点个数为、、，‎ 所以，方程的根的个数为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根，再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于难题。‎ ‎11.设定义在区间上的函数是奇函数（，，且），则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，所以，，因为，所以，由得，所以，，故选A．‎ 考点：函数的奇偶性．‎ ‎【名师点晴】已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f（x）±f（－x）＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．‎ ‎12.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像，将的零点问题转化为与有个交点问题来解决，画出图像，根据图像确定的取值范围.‎ ‎【详解】当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以 ‎.令，易知，所以，将函数有个零点问题，转化为函数图像，与直线有个交点来求解.画出的图像如下图所示，由图可知，而，故.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数图像与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知，求值a2＋a－2=________‎ ‎【答案】47‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑和、之间的关系.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ ‎【点睛】本题考查同底数的化简计算，难度较易.记住一个特殊形式：.‎ ‎14.设为非零实数,m=+++，则的所有值组成的集合为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据的正负，分类讨论，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】因为为非零实数，‎ 所以时，+++；‎ 当中有一个小于0时，不妨设，‎ 此时+++；‎ 当中有一个小于0时，不妨设，‎ 此时+++；‎ 当中有一个小于0时，此时+++，‎ 所以的所有值组成的集合为 ‎【点睛】本题主要考查了集合的运算与集合的表示，其中解答中分别根据的正负，分类讨论，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且它们在上的图象如图所示，则不等式在上的解集是________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式的解集，与f（x）g(x)0且g（x）0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.‎ ‎【详解】将不等式转化为f（x）g(x)0且g（x）0，‎ 如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]‎ ‎∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数∴f（x）g（x）是奇函数,‎ 故在y轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2](-1,0) ‎ 故不等式在上的解集是(-3,-2](-1,0)（1,2]‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.‎ ‎16.已知函数定义域为，若满足① 在内是单调函数；存在使 在上的值域为，那么就称为“半保值函数”，若函数且 是“半保值函数”，则的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据半保值函数的定义,将问题转化为与的图象有两个不同的交点，即有两个不同的根,换元后转化为二次方程的实根的分布可解得.‎ ‎【详解】因为函数且是“半保值函数”，且定义域为，‎ 由时，在上单调递增，在 单调递增，‎ 可得为上的增函数；‎ 同样当时，仍为上的增函数，‎ ‎ 在其定义域内为增函数，‎ 因为函数且是“半保值函数”，‎ 所以与的图象有两个不同的交点，‎ 所以有两个不同的根，‎ 即有两个不同的根,‎ 即有两个不同的根,‎ 可令，，‎ 即有有两个不同的正数根，‎ 可得，且，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“半保值函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ 三、解答题（共6小题共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.计算：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）－3；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）原式；‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.已知全集为，函数的定义域为集合，集合.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过解不等式求得集合再求交集；（2）根据集合的子集关系求参数的范围.注意讨论空集的情况.‎ 试题解析：（1）由 得， 函数 的定义域,又， 得，.‎ ‎（2）,①当 时，满足要求， 此时， 得;②当 ‎ 时，要，则，解得，由①② 得，，实数 的取值范围.‎ 点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.‎ ‎(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.‎ ‎(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求证：是定值；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎【答案】（1）2，2；（2）见证明；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的解析式，通过，分别求解，的值；（2）利用函数的解析式化简，即可证明是定值；（3）利用（2）的结论分组，即可求解的值．‎ ‎【详解】（1）函数．‎ 时，，．‎ ‎（2）因为，‎ 所以．‎ ‎（3）‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将多项和问题转化为两项和问题是解题的关键.‎ ‎20.已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）判断函数的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）当时，恒成立，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）单调递减，见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.‎ ‎（2）化简得到，，计算，得到是减函数.‎ ‎（3）化简得到，参数分离，求函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为在定义域R上是奇函数.所以，‎ 即，所以．又由，即，‎ 所以，检验知，当，时，原函数是奇函数.‎ ‎（2）在上单调递减.证明：由（1）知，‎ 任取，设，则，‎ 因为函数在上是增函数，且，所以，又，‎ 所以，即，‎ 所以函数在R上单调递减.‎ ‎（3）因为是奇函数，从而不等式等价于，‎ 因为在上是减函数，由上式推得，‎ 即对一切有恒成立，设，‎ 令，‎ 则有，，所以，‎ 所以，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数解析式，单调性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.‎ ‎21.目前，某市出租车的计价标准是：路程以内（含）按起步价8元收取，超过后的路程按1.9元收取，但超过后的路程需加收的返空费（即单价为元）‎ ‎（1）若，将乘客搭乘一次出租车的费用（单位：元）表示为行程（单位：）的分段函数；‎ ‎（2）某乘客行程为，他准备先乘一辆出租车行驶，然后再换乘另一辆出租车完成余下路程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全程更省钱？‎ ‎【答案】（1）（2）换乘更省钱 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）仔细审题，由题意即可列出乘客搭乘一次出租车的费用f（x）（元）表示为行程x的分段函数．（2）求出只乘一辆车的车费，换乘2辆车的车费，通过比较即可得到结论.‎ ‎【详解】解：（1）由题意得车费关于路程x的函数为：‎ ‎（2）只乘一辆车的车费为：‎ 换乘2辆车车费为：‎ ‎40.3＞38.8‎ 该乘客换乘比只乘一辆车更省钱。‎ ‎【点睛】本题考查分段函数在生产实际中的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．‎ ‎22.已知函数满足．‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求a的取值范围 ‎（Ⅲ）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）或；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当时等价于解出即可。‎ ‎（Ⅱ）解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一正解的问题。‎ ‎（Ⅲ）当时，，所以在上单调递减函数，在区间上的最大值与最小值分别为，，即转化成对任意 恒成立的问题。‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意可得，得，解得。‎ ‎（Ⅱ）方程有且仅有一解， 等价于有且仅有一正解，‎ 当时，符合题意；‎ 当时，，此时方程有一正、一负根，满足题意，‎ 当时，要使得有且仅有一正解，则：，‎ 解得：，则方程的解为，满足题意。‎ 综上，或 ‎（Ⅲ）当时，，‎ 所以在上单调递减 函数在区间上的最大值与最小值分别为，，‎ 即对任意 恒成立，‎ 因为， 所以函数在区间上单调递增，‎ 所以时，y有最小值，‎ 由，得 故的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查了解对数不等式、方程解的根的个数问题以及复合函数的单调性与最值的问题，其中解对数不等式主要注意两点一是真数大于0。二是对数函数的单调性。方程的根的个数问题一般转化成一元二次方程根的问题或函数图像交点的问题。复合函数单调性：同增异减。‎ ‎ ‎